19.2二次根式的乘法与除法 同步练习2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2二次根式的乘法与除法同步练习 一、单选题 1．（    ） A．14 B． C． D． 2．下列各式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式中，一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 5．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 6．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 二、填空题 7．计算的结果为 ． 8．把化为最简二次根式，结果是 ． 9．计算 ． 10．计算：的结果为 ． 11．已知，长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 12．已知x是的整数部分，是的小数部分，则的值是 ． 13．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 14．化简的结果为 ． 三、解答题 15．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1)． (2)． 17．计算： (1)． (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 20．利用这一性质，可将根号内开得尽方的因数（或因式）开出来，反之，还可将非负数平方后移到根号内．如，，． (1)仿照上面的方法化简下列各式： ①； ②． (2)比较大小： ①3______；     ②______． 21．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为，此公式称为“海伦公式”．请你运用该公式解决下面的问题： 已知张大爷有一块三角形的菜地，如图．现测得，，，求张大爷这块菜地的面积． 22．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B 2．C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须同时满足以下条件：“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.”是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式； B. ，不是最简二次根式； C. 是最简二次根式； D. 当时，不是最简二次根式， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法，根据二次根式的性质，二次根式乘法法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 4．D 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法法则，利用完全平方公式因式分解，正确理解二次根式的性质是解题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．分别利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A、只有当且时，即时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； B、只有当时， 才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； C、，只有当时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； D、，故选项成立，符合题意， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 7． 【分析】本题考查了二次根式运算，利用平方差公式展开后，由二次根式的性质即可求解；掌握，（）是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 8．/ 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题关键． 9．3 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据乘法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：3． 10． 【分析】先根据二次根式的性质化简根号，再根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 11． 【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 根据长方形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：依题意，这个长方形的宽为：． 故答案为：． 12．/ 【分析】本题考查无理数的估算，先求出x和y，代入根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 14．/ 【分析】本题主要考查二次根式的运算及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；根据二次根式的运算及积的乘方的逆用进行求解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 15．(1)4 (2)－3 (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根、立方根、二次根式的化简与分母有理化，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用算术平方根的定义，直接计算平方等于的非负数； （2）利用立方根的定义，直接计算立方等于的数； （3）利用二次根式的化简，将被开方数拆为平方数与另一个数的乘积，然后化为最简二次根式； （4）将二次根式的分母有理化，分子分母同乘分母的根式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 16．(1) (2) 【分析】（1）可利用二次根式的除法运算法则，逐步化简计算； （2）结合二次根式的乘除运算法则，先将乘除统一为乘法，再化简计算． 【详解】（1）解：根据二次根式除法性质，从左到右依次计算： 原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算法则，解题关键是熟练运用、的性质，将式子统一化简后计算． 17．(1)21 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先把各二次根式化简，然后计算即可； （2）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，再把各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) 【分析】（）先进行二次根式的乘除法运算，再利用二次根式的性质化简后合并即可； （）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 20．(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和比较大小． （1）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算即可； （2）按照已知条件中的方法，把根号外的整数变成非负数平方后移到根号内，进行计算，然后比较即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：①∵，，， ∴， 故答案为：； ②∵，，， ∴， 故答案为：． 21． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法应用，熟练掌握该知识点是关键． 先求出的值，再利用海伦公式求解即可． 【详解】解：，，， ， ． 故张大爷这块菜地的面积为． 22．(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $