精品解析：河南周口市郸城县 2025 —2026学年第一学期期末学情调研试卷 九年级数学

2025—2026学年第一学期期末学情调研试卷九年级数学 注意事项： 1．本卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色签字笔直接答在试卷或答题卡上． 2．答题前请将姓名、准考证号填涂清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 日出东方 C. 守株待兔 D. 画饼充饥 3. 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 5. 在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 6. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 8. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 无法确定 9. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线对应的图象是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，再连接，交于点M，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则锐角______ 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为________． 13. 如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是_____． 14. 小区新增了一家快递店，已知该快递店第一天揽件200件，第三天揽件288件．设该快递店揽件日平均增长率为x，则可列方程：______． 15. 如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛物线上两点，则．其中正确的结论有______． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 18. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）当时，x的取值范围为______． 19. 如图，在中，，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 《义务教育课程方案和课程标准（年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为，则另一个正方形配件的周长为 （请用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 21. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．泌阳县某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器（），测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：，，． 22. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 23. 在中，，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值，并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，在中，已知，，点P是外一点，，，，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学情调研试卷九年级数学 注意事项： 1．本卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用黑色签字笔直接答在试卷或答题卡上． 2．答题前请将姓名、准考证号填涂清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，这样的二次根式叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．中被开方数是分数，不是最简二次根式； D．，不是最简二次根式． 故选：B． 2. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 日出东方 C. 守株待兔 D. 画饼充饥 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：A．水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意； B．日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意； C．守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意； D．画饼充饥，是不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A. 2，0， B. 2，2， C. 2，2，1 D. 2，0，1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 4. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由比例的内项积等于外项积得到，代入，即可求值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 5. 在中，，，，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出的长，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：，，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解题的关键是正确理解余弦的定义． 6. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 7. 若是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是（ ） A. 5 B. 3 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程根的定义求参数，涉及解一元一次方程、解一元二次方程，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 将已知根代入一元二次方程，得到关于参数的一元一次方程，求解即可得到参数，再将值代入一元二次方程求解即可得到另一个根． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， 解得， ∴关于的一元二次方程为， 则， 解得或， 则方程的另一个根是， 故选：C． 8. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先利用乘法分配律化简原式，再通过估算结果的取值范围，推导得出原式的取值范围． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴原式的值在5和6之间． 故选：A． 9. 将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线对应的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，由二次函数图象的平移可得平移后解析式为，则有顶点坐标为，又，则平移后二次函数图象开口向上，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴平移后解析式为， ∴顶点坐标为， ∵， ∴平移后二次函数图象开口向上， 选项图象符合题意， 故选：． 10. 如图，在中，D，E分别为边的中点，连接并延长至点F，使得，再连接，交于点M，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意易证是的中位线，设，求出，，证明，推出，即可解答． 【详解】解：、E分别是、的中点， 是的中位线， ，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， E是的中点，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知，则锐角______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点的横坐标和纵坐标均互为相反数是解题的关键． 直接利用关于原点对称的点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的横坐标为，纵坐标为，即的坐标为． 故答案为：． 13. 如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 14. 小区新增了一家快递店，已知该快递店第一天揽件200件，第三天揽件288件．设该快递店揽件日平均增长率为x，则可列方程：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 设该快递店揽件日平均增长率为x，可知第三天揽件件，根据第三天揽件288件列方程即可． 【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为， 则第二天揽件件， 第三天揽件件 ∵第三天揽件288件， ∴． 故答案为：． 15. 如图是二次函数的图象一部分，对称轴是直线，且过点，以下几种说法：①；②；③；④关于x的一元二次方程有两个相等的实数根；⑤若、是抛物线上两点，则．其中正确的结论有______． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象，结合二次函数的性质，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①：由抛物线开口向上，可知， 对称轴，可得， 图象与y轴交点在y轴负半轴，可知， ∴，故①正确； ②：∵抛物线过点，将，代入中，可得， 又∵， 把代入，得到，即，故②正确； ③：∵对称轴是直线，且过点， 根据二次函数图象的对称性，可知抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，对应的点在x轴上方，即，故③错误； ④：由抛物线与x轴有两个交点和，可知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④错误； ⑤：点关于对称轴的对称点为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的结论有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三、解答题（本大题共8题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元二次方程． （1）先计算负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，再计算加减即可； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ， 解得，． 17. 甲骨文是目前中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，嘉嘉在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同）．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）嘉嘉从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“自”的概率为______． （2）嘉嘉从中随机抽取一张卡片不放回，琪琪再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，嘉嘉从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“自”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 18. 已知二次函数的y与x的部分对应值如表： x … 1 3 … y … 0 1 0 … （1）求该二次函数的表达式； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （3）当时，x的取值范围为______． 【答案】（1）； （2） 解：根据表格，描点并连线，函数图象如图： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）运用待定系数法，由表格可得当时，；当时，；当时，，把它们分别代入表达式即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：由表格可得，当时，；当时，； ∴， 解得， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，解得：， 由图象可得，当时，． 故答案为：． 19. 如图，在中，，于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，于， ． ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出． （1）由两直角相等结合，即可证出； （2）根据相似三角形的性质即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，即， ． 20. 《义务教育课程方案和课程标准（年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为，则另一个正方形配件的周长为 （请用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 【答案】（1） （2） 小杰的想法不能实现， 理由：两个正方形配件面积之和等于， 可得：， 整理得： ， ∵ ∴方程无实数解， 两个正方形配件面积之和不能等于， 小杰的想法不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． 用铁丝的总长度减去即可得到另一个正方形配件的周长； 根据两个正方形配件面积之和等于，可列方程，一元二次方程的解不符合实际情况，所以小杰的想法不能实现． 【小问1详解】 解：铁丝的总长度为，正方形配件的周长为， 另一个正方形配件的周长为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也使节能环保的举措得以落实．泌阳县某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，测倾器（）的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器（），测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：，，． 【答案】7.7米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 延长交于点，设米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 则米，米，， 设米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， 解得， 经检验是原方程的根， 米， （米）． 答：电池板离地面的高度约为7.7米． 22. 在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． （1）请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； （2）小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】（1）该抛物线对应的函数表达式为； （2） 小罗此次射门不能射入球门内， 理由：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 略 23. 在中，，，点P是外一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接． 观察猜想： （1）如图1，当时，的值为______； 类比探究： （2）如图2，当时，求出的值，并说明理由； 拓展应用： （3）如图3，在中，已知，，点P是外一点，，，，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ，即， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先判断和是等边三角形，进而得出，，进而判断，即可得出答案． （2）先判断和是等腰直角三角形，进而得出，进而，判断即可求出答案． （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，由题意得：，进而得到，得出，再判断，得到，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， ， 由旋转知， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）略 （3）将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，作交于点，如图： 由题意得：， ∵，， ∴，， ， ∴， ，， ∴， ， 同理可得：， ， ，即， ∴， ， ∵， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $