精品解析：江苏常州市第一中学2025-2026学年高一第一学期期末质量调研数学试题

常州市第一中学2025-2026学年第一学期期末质量调研 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集定义，即可求解. 【详解】， 则． 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，命题“”为存在量词命题， 其否定为：． 3. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数诱导公式结合同角三角函数关系式计算求值. 【详解】已知是第四象限角，，则， ， . 故选：D 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、三角函数的性质，确定，，的取值范围，判断即可. 【详解】在上单调递增， ， ， 在单调递减， ， ， ， 在区间单调递增， ， ， . 故选：B 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数真数大于0求出函数定义域，利用对数底数确定外层函数单调性，令，分析在定义域内的单调区间，最后利用复合函数单调性同增异减求出函数的单调区间． 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，， 即， 由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 7. 如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量的线性运算，将和用、表示，再结合向量数量积的计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以， 所以， 又点为边的中点，所以， 所以， 又四边形为菱形，所以，， 所以， 又菱形的边长为，， 所以 . 故选：D 8. 若定义在上的函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】的零点个数，即与的交点个数，在同一坐标系分别作出与的图象，然后确定交点的个数即可. 【详解】函数的定义域为，而，即是周期为2的周期函数， 函数在上递增，且， 在上递减，且，在上递增，且， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图， 由得，即函数在内的零点个数是函数的图象在[-6,6]内的交点个数， 观察图象知，函数的图象在内有12个交点， 所以函数在内有12个零点. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为0或3 B. 函数的最小值为2 C. 不等式解集为或 D. 一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据元素与集合的关系，列式判断；B.利用换元，再根据对勾函数的单调性判断选项；C.将分式不等式转化为一元二次不等式，即可判断；D.根据一元二次不等式与函数的关系，列式求解. 【详解】对于A，当时，，与集合元素互异性矛盾， 当时，解得或， 时，，与集合元素互异性矛盾，时，，符合题意， 所以，故A错误； 对于B，设，则在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，故B错误； 对于C，不等式，等价于， 解得或，故C正确； 对于D，一元二次不等式恒成立，即， 解得：，故D错误． 故选：ABD． 10. 已知函数（），且满足，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. ， D. 将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据得出正弦函数取得最小值时，满足，再结合得出，故A正确；根据正弦函数求出单调递增区间判断B即可；因为，得出，即可得证C；根据图像的平移得出，再求的取值范围即可. 【详解】因为（），且满足， 则，此时，解得， 结合（），当时；故A正确； ，求其单调递增区间即， 化简得，当时， 同理单调递减区间为， 当时，，因此在区间上不单调，故B不正确； 因为，， 故，C选项正确； 将的图象向右平移个单位长度得到的图象， 故， 故,， 即，选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件判断为周期为4的偶函数，，然后根据已知等式逐项判断计算即可. 【详解】因为的函数图象关于直线对称，所以的图象关于轴对称， 所以是偶函数，则，故A正确； 因为函数图象关于点对称，所以. 因为，所以，又， 所以，所以，所以. 所以函数的周期为4，所以. 因为，由得， 由及得. 所以，C错误； 因为，所以，又，，所以. 所以，B正确； 由可得，. 因为，所以，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由分段函数的性质结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】因为函数， 则，， 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为 ​, 则由题意可得： ， 因为，所以. 14. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，定义域为， ，所以为奇函数. 因为，在上递增，易知函数在上为增函数， 因为，， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，. （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可. （2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可. 【小问1详解】 因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. 【小问2详解】 因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 16. 设集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式对应方程的判别式可得满足即可，可求出实数的取值范围. （2）依题意可得是的真子集，再对集合是否为空集进行分类讨论，解不等式即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，有解， 因此可得， 得， 因此实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可得是的真子集， ， ， 当时，，符合题意； 当，即时， （i）当时，， 因此，此情况无解； （ii）当时，， 所以， 综上，的取值范围是. 17. 已知幂函数在上单调递增，二次函数. （1）求实数的值. （2）当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义与单调性，分别建立方程与不等式，可得答案； （2）由题意等价转化为不等式恒成立问题，分一次函数与二次函数两种情况，分别求得不等式所构造的函数的最值，可得答案. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递增， 则且，整理可得且， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知，由，则， 由题意可得在上恒成立，即， 当时，不等式为在上显然成立，符合题意； 当时，令， 当且时，可得，解得，所以； 当时，二次函数的对称轴为直线，则， 可得，解得，此时. 综上可得. 18. 已知函数的部分图象如图． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由函数的图像，求得，得到，再由，求得，进而得到函数的解析式； （2）根据三角函数的图象变换，求得，结合三角函数的图象与性质，即可求得的单调递增区间； （3）令，得到，转化为方程在有且仅有两个实根，结合余弦函数的性质，求得方程的根，进而的对答案. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 由函数的图像，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 又因为，所以，解得， 因为，所以令，可得， 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 解：函数的图象先向右平移个单位长度， 得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象，所以， 令，解得， 所以函数的单调递增区间． 【小问3详解】 令，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或， 所以方程的较小的三个正根从小到大排列分别是， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 19. 已知函数为奇函数，函数满足，且． （1）求和的解析式； （2）若在区间上的最小值为2，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求出解析式，从而得到的解析式； （2）结合（1）可得函数，利用单调性的定义得到单调性，换元后结合二次函数的单调性讨论即可. 【小问1详解】 由题可得的定义域为， 因为函数为奇函数， 所以，解得：， 当时，，则函数为奇函数， 所以的解析式为， 则， 当，即时， 由，可得， 又，符合题意， 所以的解析式为. 【小问2详解】 将函数代入，则 ， 由于，不妨设，则， 因为，所以，则， 所以在上单调递增，则，即， 令，则， 所以在区间上的最小值为2， 等价于在区间的最小值为2， 由于的对称轴为， 当，即，解得，满足条件； 当，即，方程无解； 当，即，，解得，不满足条件， 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市第一中学2025-2026学年第一学期期末质量调研 高一数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是第四象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，且时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为0或3 B. 函数的最小值为2 C. 不等式解集为或 D. 一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 10. 已知函数（），且满足，则（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. ， D. 将的图像向右平移个单位长度得到的图象，那么 11. 已知函数，的定义域均为，的函数图象关于对称，函数图象关于点对称，且，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则_______ 13. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 14. 已知函数，则满足的实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，. （1）若，且，求和的值； （2）若，求的值. 16. 设集合， （1）若，求实数的取值范围. （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 已知幂函数在上单调递增，二次函数. （1）求实数的值. （2）当时，的图象恒在图象的下方，求的取值范围. 18. 已知函数的部分图象如图． （1）求函数的解析式； （2）若将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的单调递增区间； （3）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 19. 已知函数为奇函数，函数满足，且． （1）求和的解析式； （2）若在区间上的最小值为2，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $