第1章 专题强化 3 带电粒子在磁场中运动的临界问题和多解问题-【成才之路·学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册同步新课程学习指导(人教版)

025 专题强化3 带电粒子在磁场中运动的 临界问题和多解问题 ●目标重点展示 素养目标 学习重点 物理观念 知道什么是临界问题；知道什么情况下形成多解。 (1)几种常见临界问题 会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题；掌 (2)多解问题的几种情况 科学思维 握多解问题的解题思路。 提升点1带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 1.临界问题概述 解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中 的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强 磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 2.常见的几种临界问题 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中 运动的轨迹与边界相切。 (2)当以一定的速率垂直射人匀强磁场时，运动的弧长越长，圆心角越 大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大，运动 时间越长。 (4)在圆形磁场中，当带电粒子运动轨迹的半径大于磁场的半径，且入射 [规律方法]一个 点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的圆心角最大（所有弦长中 “解题流程”，突破 直径最长)。 临界问题 类型一：直线边界的临界问题 动态思维 粒子速 例1：（多选）如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为M4N 度方向 临界点半径方向 B,MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q ×× 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边 临界状态磁场边界 界NW'射出，则粒子入射速度v的最大值可能是 () ×× 临界轨迹 ×× A(2+2)BgL(g为正电荷）B.（2+2)BL(g为负电荷) 定圆心 m 2 C.2-2)B4(g为正电荷)D.2-2)BL(g为负电荷) M 几何关系 m m P[规律方法] 026 类型二：圆形边界的临界问题 例2：如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形区域，其圆心为O,最高点 为P,该区域内存在垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。 在圆形区域右侧竖直放置一粒子收集器，M、N为收集器上、下边缘的 两点，MN与圆形区域在同一平面内，O与N在同一水平线上，MW=R, 、×××, ON=√3R。从P点沿PO方向射入大量速率不等的同种粒子，粒子所带电荷量为g、质量为m。 忽略粒子间的相互作用力和粒子重力，关于打在收集器MN上的粒子，下列说法正确的是 A.粒子带负电 B.粒子在磁场中运动的最短时间为πm 3Bq C.打在收集器上的粒子的最小速率为5B m D.从P点到N点的粒子比从P点到M点的粒子运动时间短 提升点2带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 类型一：带电粒子电性不确定形成双解 在相同的初速度和磁场的条件下，由于粒子的电性不同、在磁场中运动轨迹不同，就会形成 双解。 例3：（多选）如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有 质量为m、电荷量为g的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间 可能为 ×××××××××××× ×××××××××X×× ×××××××××××× ×××××××××××× ×X×X××X× M A瑞 B.2am C.4um D.5um 3gB 3gB ·3gB 类型二：磁场方向不确定形成双解 有些题目只指明磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应 强度方向不确定而形成的双解。 例4：（多选）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负 离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域， 可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比 荷为4，速率为1，OP与00间的夹角为30°，则所m图强磁场的磁感应。10 A 强度B的大小和方向可能是 ●027 A.B>心，垂直纸面向里 3gs B.B>0,垂直纸面向里 gs C.B>m,垂直纸面向外 D.B>3m”,垂直纸面向外 gs gs 类型三：临界状态不唯一形成多解 例5：（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁 ××× 场，磁感应强度为B,板间距离也为1，板不带电。现有 ×××1 质量为m、电荷量为g的带正电粒子（不计重力），从左 +9××B×× 侧两极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射人磁 场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是 A.使粒子的速度u< Am B.使粒子的速度>5gBl 4m C.使粒子的速度>B m <v<5qBI D.使粒子的速度9BL 4m 4m 类型四：带电粒子运动的周期性形成多解 因周期性造成多解的几种情况 (1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场或由两种不同方向的匀强磁场 组成的空间中的运动往往具有周期性，因而形成多解。 (2)若空间中存在周期性变化的磁场，带电粒子在空间中运动时往往也 [规律方法]带电粒 具有周期性，因而形成多解。 子在磁场中运动多 例6：（多选）如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN女···· 解问题的解题技巧 的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂 (1)分析题目特点， 直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为 ××·B 说明 确定题目多解性形成 龙子 B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同 b 的原因。 做圆速率、质量为m(重力不计)、电荷量为g(g>0)的同×.×.×.60 N 周运种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab=L, （2)作出粒子运动轨 动的 迹示意图（全面考虑 半径 则粒子的速度可能是 ( A.BqBL. B.3gBL C.BgBL D.BqBL 多种可能性）。 不同 6m 37m 21m (3)若为周期性重复 m 求出粒子做圆周运动半径的可能值，由qvB=m立可以求出速度可能值，带× X- 的多解问题，应寻找 电粒子运动轨迹可以为图中①所示，也可以为图中②所示，依次类推，带× 通项式；若可能出现 电粒子从a点射入至第一次运动到分界线MN上两点连线的距离可以为 b 几种解，应注意每种 片，由几何短识可得2rsin60°=壳 解出现的条件。 [规律方法] 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6]例1：C由题图可知，粒子q1向左偏转，g2向右偏转，根据左手 定则可知，9带正电，9带负电：根据qB=m兰，有比荷9= B,由于，与B相同，所以比荷之比就等于半径之反比，即 4:2=2:1。C正确，ABD错误。 m1‘m 跟踪训练1：D分析轨道半径：带电粒子从较强磁场区域进人 到较弱磁场区域后，粒子的速度大小不变，磁感应强度B减 小，由公式r=可知，轨道半径增大：分析角速度：由公式 gB T=2可知，粒子在磁场中运动的周期增大，根据0=2T= 尘知，角速度减小。选项D正确。 探究点2带电粒子在匀强磁场中运动的分析思路 例2：D两粒子最终从边界的同一点射 .M 出，两粒子在磁场中沿顺时针方向偏 转，粒子运动轨迹如图所示，由左手定 则可知，两粒子都带正电，故A错误：由 几何知识可知，两粒子轨迹半径间的关 系为rcos30°=r6,a、b两粒子轨迹半 径之比rn:r6=1:c0s30°=2：5，由r 需可知速度之比也为2：5，放B 错误；粒子运动的周期T=2πm Ba a、b为比荷相同的粒子，则其 周期相同，放C错误；6飞行的时间子，。飞行的时间为，则 a、b两粒子在磁场中飞行的时间之比为4：3，故D正确。 郎.()0(22 解析：(1)电子在磁场中做匀速圆 周运动，做辅助线找到轨迹圆的圆A D 心如图所示， 由几何关系，可知r2=(r-a)2+ a××、× (5a)2,解得r=2a,可得sin0=B-,2yC 经号解得0学 10 电子在磁场中的飞行时间1二 3 .2m=2π4 3v (2)根据emB=m号，联立解得m20B 跟踪训练2：C粒子运动轨迹如图 所示，在磁场中，根据洛伦兹力提 供向心力有B=m父，可得粒xx父及 X 子做圆周运动的半径根据父义XXX】 ××9×xx 几何关系可得P点至O点的距离 bm=r+s45=1+万器。放选C -20 素养能力提升 4:1)负电荷后(2)停8严 3v 解析：(1)由粒子的运动轨迹（如 图)，利用左手定则可知，该粒子带 负电荷。粒子由A点射入，由C点 D 30R1 飞出，其速度方向改变了90°，则粒 子轨迹半径R=r,又gpB=m R,则 粒子的比荷品房 . (2)设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了 60°，故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做圆 网运动的半径an0=.又R=器所以g=停R, 3 此次拉子在磁场中运动所用时间1=名T=6×2心 =1×2mR'-5mr 3v9 例5：BD带电粒子的运动轨迹如图甲，由几何关系，可得r= 故A错误：根据9，B=m,联立解得= R mvosin 0 BR ,故 B正确；只减小0，粒子在磁场中运动轨迹对应的弦减小，相应 的圆心角减小如图乙。根据t三工又T=2=g,可知 粒子在磁场中运动的时间将减小，故C错误；只减小粒子进人 磁场时的速率，则粒子做圆周运动的半径减小，如图丙，粒子 在磁场中的运动轨迹对应的圆心角增大，则粒子在磁场中运 动的时间将增大，故D正确。 ·B。 知 ·B· ● 。·B。 0米： O 、·。 0、 0 0. 乙 丙 专题强化3带电粒子在磁场中运动的 临界问题和多解问题 提升点1带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界 问题 例1：AD题目中只给出粒子“电荷量为g”,未说明是带哪种电 荷。若q?为正电荷，入射速度最大时的运动轨迹是图中上方 与W相切的子圆弧，轨迹半径R=瑞又d=R-ios45, 解得u=（2+B)B型，故A正确，B错误：若g为负电荷，人射 速度最大时的运动轨迹是图中下方与W相切的子圆弧，则 d=R'+Rcs45,解得r=2-B型，故C错 有R'=m 误，D正确。 M枝dN 0←---x 例2：D根据题意可知，粒子在磁场 D 0 M 中向右偏转，根据左手定则可知 粒子带正电，A错误；打到M、W 两点的粒子轨迹如图所示，由图 可知，粒子打到N点时，在磁场中 的轨迹对应的圆心角最小，在磁 场中的运动时间最短，则有tam=4 ×2=歌B错 T=1 gB 2gB' 误：粒子在磁场中运动半径，=治，由图可知，粒子打到M点 时，在磁场中的轨迹半径最小，粒子的速度最小，根据几何关 系可得am0=5=尽，则9=60，则最小半径为1= R R tan -5R,联立解得打在收集器上的粒子的最小速率为 2 3 ,=,C错误：由图可知，从P点到N点的粒子在磁场中 3m 的运动时间小于从P点到M点的粒子在磁场中的运动时间； 离开磁场到打到收集器，从P点到N点的粒子通过的位移小 于从P点到M点的粒子通过的位移，从P点到N点的粒子的 速度大于从P点到M点的粒子的速度，则从P点到N点的粒 子从离开磁场到打到收集器所用时间小于从P点到M点的 粒子从离开磁场到打到收集器所用时间，故从P点到N点的 粒子比从P点到M点的粒子运动时间短，D正确。 提升点2带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 例3：AD由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示 的丙种情况。由=n号和T=2平得T-2昭。由图可知， 若为正电荷，轨迹对应的圆心角为0，=300°，若为负电荷，轨 应的圆心角为6，=60°，则对应时间分别为=6 5um 60° 3B,6=3607=37B,选项A,D正确。 Tm ×××一×XX××××× ×X××××××××× ×K×××××X×××× M O、 N 60 —20 例4：BD当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知 负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子 运动轨迹与O相切，如图甲所示。由几何知识知R2= 0Bsin30°=20B,而0B=8+R,所以R=s,所以当离子运 动轨迹的半径小于：时满足约束条件。由B=m云得B> ，A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由 gs 左手定则知负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界 条件是离子运动轨迹与OP相切，如图乙所示。由几何知识 知道相切圆的半径为R,=了，所以当离子运动轨迹的半径小 于宁时满足约束条件。由B=m无得B>3测，C错误，D gs 正确。 、R A Q 甲 例5：AB欲使粒子不打在极板上，如图 所示，带正电的粒子从左边射出磁场 时，其在磁场中圆周运动的半径r< 子，粒子在磁场中做圆周运动由洛伦 2 兹力提供向心力，根据gB=m 可得粒子做圆周运动的半径r= ×××x gB 所以粒子从左边封出不打到极板上满足带<子即：<织：带 4m 正电的粒子从右边射出，如图所示，此时粒子的最小半径为 ,由图可知心=+(-子)广，可得粒子做圆周运动的最 小半径？-头则器>头即>识故欲使粒子不打在极 4m 板上，粒子的速度必须满足”<或>4m >5qBL,故选项A、B 正确。 例6：AB由题意可知，粒子可能的运 M八··· 动轨迹如图所示，所有圆孤所对的圆××≤↓ 心角均为120°，所以粒子运动的半径 B. 为-套÷a=1,23…)散子 × B ××: 在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛 b 伦兹力提供向心力，得qB=m,, 2×.×..×60 则u=6-54.上(n=1,2,3,…),选项A,B正确。 m 3m n 9