精品解析：江苏泰州市靖江市2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 了解外地游客对岳飞庙的印象 B. 了解一批圆珠笔的寿命 C. 了解某班学生的身高情况 D. 了解人们保护海洋的意识 2. 下列四个命题中正确是（ ） A. 经过三个点可以确定一个圆 B. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 C. 边长相等的多边形是正多边形 D. 相似多边形面积的比等于相似比的平方 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 5. 如图，是直径，点，在上且位于的异侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．双曲线与交于点，连接．当面积最大时，的值为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 3 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．答案直接填写在答题卡相应位置） 7. 方程的两个根分别是，则______． 8. 的半径为，则点与的位置关系是___________． 9. 《孙子算经》中载有“今有丁一千二百万，出兵四十万．问：几丁科一兵？”其大意为：“今有1200万壮丁，要出兵40万．问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的概率思想，则对于其中任意一个壮丁，被征为兵的概率是______． 10. 的圆心角所对的弧长是，则这条弧所在圆的半径是___________． 11. 如图，是的直径，点，，在上（，在直径的下方，在直径的上方），则___________． 12. 若点B是线段的黄金分割点，，则___________结果保留根号）． 13. 如图，在中，，以为圆心（点在下方），为半径作圆，经过点，，则线段的长为___________． 14. 如图，点是的重心，过点作分别交边于点，连接，则___________． 15. 已知抛物线（为常数），当时，．若对于任意实数，都有，则___________ 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，连接，点为线段上一点，连接．若与相似，则的长为___________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素．随机选择、两款保温杯各20个，统计每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表． 获保温杯的保温时效统计表 保温时效（） 个数 根据以上信息解答下列问题： （1）将下列表格补充完整： 保温时效 种类 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 款保温杯 _______① 款保温杯 ______② （2）如果你是顾客，你会选择哪款保温杯？结合你所学的统计知识说明理由． 19. 小明和小丽家所在小区的物业管理部门，为了规范机动车停放，在小区内部道路的一侧按照标准划出一些停车位．小明家楼下有四个停车位，标号分别为1，2，3，4． （1）如果小明家一辆机动车要随机停放在其中一个车位上，则该车停放在标号为1的停车位的概率是___________ （2）小丽家楼下有三个停车位，标号分别为1，2，3，他们家长都选择把自己家的一辆车停在自己家楼下的车位上，用列表或画树状图的方法求车辆恰好都停放在标号为奇数停车位的概率． 20. 在正方形网格中建立如图所示平面直角坐标系经过网格点．仅利用无刻度直尺作图： （1）在网格中作出该圆圆心的位置，点坐标为_________； （2）过点做的切线，与轴交于点，点坐标为___________ 21. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋付了3600元，这位顾客买了多少双？ 22. 正常水位时，抛物线形拱桥（拱桥顶记作点）下的水面宽．水面上升达到警戒水位时，桥下水面宽． （1）把桥拱看作如图所示的一个二次函数图象，建立恰当的平面直角坐标系，并求出这个函数的表达式； （2）如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 23. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）在图2中，_________ （2）靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①___________°． ②求乘客水杯的最大高度． （参考数据：） 24. 如图，在中，，以为直径、点为圆心，作半圆交于点，过点作的切线，与相交于点． （1）求证：点为的中点； （2）连接与相交于点，若的半径为，求的值． 25. 如图1，正方形的边长为1，点是边的中点，将沿翻折得到，延长与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点． ①若，求的值； ②若与相似，求的值． 26. 如图1，抛物线与直线交于两点，． （1）求抛物线与直线的函数表达式； （2）将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ） A. 了解外地游客对岳飞庙的印象 B. 了解一批圆珠笔的寿命 C. 了解某班学生的身高情况 D. 了解人们保护海洋的意识 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．了解外地游客对岳飞庙的印象，可采取抽样调查，因此选项A不符合题意； B．了解一批圆珠笔的寿命，可采取抽样调查，因此选项B不符合题意； C．了解某班学生的身高情况，可采用全面调查，因此选项C符合题意； D．了解人们保护海洋的意识，可采取抽样调查，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义和适用的具体问题情境是正确判断的关键． 2. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 经过三个点可以确定一个圆 B. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 C. 边长相等的多边形是正多边形 D. 相似多边形面积的比等于相似比的平方 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的确定条件、三角形内心的性质、正多边形的定义、相似多边形的性质，需逐一分析各选项的正误． 【详解】解： ∵当三个点共线时，无法确定一个圆， ∴A选项错误 ∵三角形的内心是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等，到各顶点距离相等的是外心， ∴B选项错误 ∵正多边形的定义是各边相等且各角相等的多边形，仅边长相等的多边形（如菱形）不符合正多边形的定义， ∴C选项错误 ∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴D选项正确， 故选：D． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质进行计算即可． 本题主要考查比例的性质，若，则，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 详解】解：∵， ∴． 故选：A． 4. 在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的定义，解题关键是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数. 【详解】解：∵将7位同学的成绩从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80 又∵数据个数7为奇数，中位数为第个数据 ∴这组数据的中位数是79， 故选：B. 5. 如图，是的直径，点，在上且位于的异侧．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先证明，得到，利用圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．双曲线与交于点，连接．当的面积最大时，的值为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的最值，反比例函数的图象和性质，矩形的性质等知识．根据题意得到，，设的面积为y，根据题意，得，结合，函数y有最大值，且当时，函数有最大值，解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵双曲线与交于点， ∴， 设的面积为y， ∴ ， ∵，函数y有最大值，且当时，函数有最大值， 故选：B． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．答案直接填写在答题卡相应位置） 7. 方程的两个根分别是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程的两个根为、，则，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可得答案． 【详解】解：方程中，，， ∵方程的两个根分别是， ∴． 故答案为： 8. 的半径为，则点与的位置关系是___________． 【答案】点A在外 【解析】 【分析】通过比较点A到圆心O的距离与圆的半径的大小关系来判断位置. 【详解】解：∵的半径为， ， ∴， 故点A在外. 9. 《孙子算经》中载有“今有丁一千二百万，出兵四十万．问：几丁科一兵？”其大意为：“今有1200万壮丁，要出兵40万．问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的概率思想，则对于其中任意一个壮丁，被征为兵的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据概率公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 的圆心角所对的弧长是，则这条弧所在圆的半径是___________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据弧长公式，将已知的圆心角度数和弧长代入公式，求解半径． 【详解】解：设圆的半径为， 根据题意，得， 解得：； 故答案为：24． 11. 如图，是的直径，点，，在上（，在直径的下方，在直径的上方），则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理解答即可， 本题考查了圆周角定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ． 故答案为：． 12. 若点B是线段的黄金分割点，，则___________结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，解一元二次方程，准确地进行计算是解题的关键．根据黄金分割点的定义，较长部分的平方等于整体与较短部分的乘积，设为x，列出方程求解，结合，，得出答案． 【详解】解：设，则， ∵点B是线段的黄金分割点，且， ∴，即， 整理得， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 如图，在中，，以为圆心（点在下方），为半径作圆，经过点，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、圆的基本性质、解直角三角形及勾股定理，正确得出垂直平分是解题关键． 连接、，设与交于点，根据圆的基本性质，结合，得出垂直平分，根据得出，利用勾股定理求出，，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接、，则，设与交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，点是的重心，过点作分别交边于点，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质和判定， 先连接，并延长交于点H，Q，P，根据中线的性质得出，再连接，并延长交于点H，然后根据，可得，，接下来设，则，进而得出，则此题可解． 【详解】解：如图所示，连接，并延长交于点H，Q，P， 由三角形中线的性质可得，，，则， ∴， 则， ∴． 连接，并延长交于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． 设，则， ∴， 则， ∴． 故答案为：． 15. 已知抛物线（为常数），当时，．若对于任意实数，都有，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集是解题的关键．先把代入得，所以，整理得，由于任意实数x，不等式都成立，则把问题转化为抛物线不在x轴下方，即抛物线与x轴只有一个公共点或没有公共点，利用根的判别式的意义得到，所以，然后利用非负数的性质确定． 【详解】解：把代入得，， ， ， 整理得， 对于任意实数x，都有， ∴抛物线不在x轴下方， 即抛物线与x轴只有一个公共点或没有公共点， ， 即， 整理得， ， 即． 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，连接，点为线段上一点，连接．若与相似，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的性质，抛物线的性质，分和，两种情况解答即可． 【详解】解：抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，且， 当时，，解得， 故，，，， 故，，, ， 不可能是对应角， 当时， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，计算即可； （2）因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ∴， ∴ 解得，． 18. 保温杯的保温时效是顾客购买保温杯时的首要考虑因素．随机选择、两款保温杯各20个，统计每一个保温杯的保温时效，并绘制成如下统计图表． 获保温杯的保温时效统计表 保温时效（） 个数 根据以上信息解答下列问题： （1）将下列表格补充完整： 保温时效 种类 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 款保温杯 _______① 款保温杯 ______② （2）如果你是顾客，你会选择哪款保温杯？结合你所学的统计知识说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）我会选择款保温杯，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数，方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平均数、众数的定义计算即可． （2）根据平均数和方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：款保温杯的保温时效的平均数为：， ∵款保温杯的保温时效为的个数为，数量最多， ∴款保温杯的保温时效的众数为， 补充表格如下： 保温时效 种类 平均数（） 中位数（） 众数（） 方差 款保温杯 款保温杯 【小问2详解】 解：我会选择款保温杯，理由如下： 从平均数上看：款保温杯的平均保温时长高于款保温杯，并且保温时长在小时以上的比例达到，而款保温杯只占， ∴款保温杯保温效果更好， 从方差上看：款保温杯的保温时效的方差小于款保温杯的保温时效的方差， ∴款保温杯的保温时效比款保温杯的保温时效稳定， ∴款保温杯保温效果更好， ∴我会选择款保温杯． 19. 小明和小丽家所在小区的物业管理部门，为了规范机动车停放，在小区内部道路的一侧按照标准划出一些停车位．小明家楼下有四个停车位，标号分别为1，2，3，4． （1）如果小明家一辆机动车要随机停放在其中一个车位上，则该车停放在标号为1的停车位的概率是___________ （2）小丽家楼下有三个停车位，标号分别为1，2，3，他们的家长都选择把自己家的一辆车停在自己家楼下的车位上，用列表或画树状图的方法求车辆恰好都停放在标号为奇数停车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率，等到所有的可能结果是解答的关键． （1）根据简单的概率公式计算即可； （2）用画树状图的方法求概率． 【小问1详解】 解：根据题意，得该车停放在标号为1的停车位的概率是． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中车辆恰好都停放在标号为奇数的结果有4种， 车辆恰好都停放在标号为奇数停车位概率是． 20. 在正方形网格中建立如图所示平面直角坐标系经过网格点．仅利用无刻度直尺作图： （1）在网格中作出该圆圆心的位置，点坐标为_________； （2）过点做的切线，与轴交于点，点坐标为___________ 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，坐标与图形，确定三角形外接圆的圆心，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用网格画出线段和线段的垂直平分线，二者的交点即为点M，据此求解即可； （2）连接，过点C作轴于点T，由切线性质可得，证明，得到，根据点M和点C的坐标可求出的长，进而可得点D的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，点M即为所求，则点M的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过点C作轴于点T， 由切线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某体育用品商店销售一批运动鞋，零售价每双240元.如果一次购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于150元，一位顾客购买这种运动鞋付了3600元，这位顾客买了多少双？ 【答案】这名顾客买了20双鞋． 【解析】 【详解】设这位顾客买了x双运动鞋，由题意得：解得：∵单价不能低于150元，∴∴x≤25，∴x=20 答：这位顾客买了20双运动鞋. 22. 正常水位时，抛物线形拱桥（拱桥顶记作点）下的水面宽．水面上升达到警戒水位时，桥下水面宽． （1）把桥拱看作如图所示的一个二次函数图象，建立恰当的平面直角坐标系，并求出这个函数的表达式； （2）如果水位以的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？ 【答案】（1）平面直角坐标系见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确建立平面直角坐标系并求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）以所在的直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意可得，据此利用待定系数法求解即可； （2）求出点O的坐标，进而得到点O到警戒水位的高度，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，以所在的直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 设该二次函数的解析式为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ， 答：达到警戒水位后，再过此桥孔将被淹没． 23. 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）在图2中，_________ （2）靠背绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托处（与重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①___________°． ②求乘客水杯的最大高度． （参考数据：） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的定义是解题关键． （1）作，由题意可知，则．结合，可以计算出； （2）①根据平行线的性质可得； ②过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，．在中，利用三角函数的定义可得，则可得，．在中，利用三角函数的定义可得，进而可得杯子的高度为． 【小问1详解】 解：如图，作， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵， ∴． 故答案为：． ②如图，过G点作于H点， 交于M点，过M点作于N点，则，，． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴乘客水杯的最大高度约为． 24. 如图，在中，，以为直径、点为圆心，作半圆交于点，过点作的切线，与相交于点． （1）求证：点为的中点； （2）连接与相交于点，若的半径为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，为直径可证明是的切线，根据切线长定理得出，根据等腰三角形的性质，结合角的和差关系得出，即可证明，可得出结论； （2）连接，利用勾股定理，根据，可证明，得出，根据中位线的性质得出，，即可证明，根据相似三角形的性质求出，进而可得出答案． 小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为直径、点为圆心，作半圆交于点， ∴， ∵，为直径， ∴是的切线， ∵是的切线，与相交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即点为的中点． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵的半径为，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵点为的中点，点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切线长定理、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关判定定理和性质是解题关键． 25. 如图1，正方形的边长为1，点是边的中点，将沿翻折得到，延长与相交于点． （1）求证：； （2）如图2，在矩形中，，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点． ①若，求的值； ②若与相似，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得到，设，则，，根据勾股定理解答即可． （2）①仿照（1）证明，解答即可；②仿照①的解答，解答即可． 【小问1详解】 证明：∵正方形的边长为1，点是边的中点， ∴，，， 连接， 根据折叠的性质，，， ∴，，， ∵， ∴． ∴， 设， 则，， 根据勾股定理，得， 解得，， ∴． 【小问2详解】 解：①∵四边形是矩形，且，点是边的中点， ∴，，， 连接， 根据折叠的性质，，， ∴，，， ∵， ∴． ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故 根据勾股定理，得． ②解：根据折叠的性质，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵与相似， ∴， ∴， 根据题意，得， 故， 解得，， 故 根据勾股定理，得． 26. 如图1，抛物线与直线交于两点，． （1）求抛物线与直线的函数表达式； （2）将直线沿着轴向上平移个单位，与轴、轴分别交于点，．直线对应的函数表达式记作．若有且仅有唯一的的值，使得，求的值； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，使？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）4 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将直线沿着轴向上平移个单位，得到，直线对应的函数表达式记作．故，根据有且仅有唯一的的值，使得，得到方程有相等的实数根，利用判别式等于零解答即可； （3）作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接，则，，，设直线的表达式为，得到表达式为：．在直线上截取，设，确定或；当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q，则，解答即可． 本题考查了待定系数法，函数的平移，二次函数的其他综合，熟练掌握待定系数法，二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线与直线交于两点，， 故，， 故， 故 解得， 故抛物线的表达式为； 故，， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：根据题意，将直线沿着轴向上平移个单位，得到， 又直线对应的函数表达式记作． 故， 又有且仅有唯一的的值，使得， 故方程有两个相等的实数根， 故的判别式等于零， 故， 解得． 【小问3详解】 解：根据题意，得，直线的表达式为：． 设直线与y轴交于点G，交x轴于点H，交x轴于点M， 则，，， ∴， ∴， ∴作线段的垂直平分线交于点E，交y轴于点P，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 在直线上截取， 设， ∴， 整理，得， 解得或， ∴或； 当时，过点F作轴于点N，过点A作轴于点Q， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故符合题意； 当时，不符合将线段绕点顺时针旋转得到线段，故舍去， 综上所述，存在这样的点F，使得，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $