专题1.4 整式的除法重难点题型专训（2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦整式的除法，核心知识点包括单项式除以单项式（系数与同底数幂分别相除，单独字母连同指数为因式）和多项式除以单项式（每一项除以单项式再相加），承接整式乘法，为分式运算奠定基础。 资料通过5大基础题型、2大拓展训练及自我检测构建分层体系，结合面积计算、科学记数法等实例，培养抽象能力与运算能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，发展应用意识。

专题1.4 整式的除法重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 多项式除以单项式 题型三 用科学记数法表示数的除法 题型四 整式四则混合运算 题型五 整式的混合运算 拓展题型一 单项式与多项式除法混合运算 拓展题型二 整式混合运算的综合应用 知识点一：单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的计算结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建福州·月考）计算： ． 知识点二：多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海普陀·月考）计算： ． 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】（25-26七年级下·上海·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）计算： ． 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江七台河·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·湖北黄石·月考）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号： 密码 4． （25-26七年级下·重庆大足·月考）已知，，，求的值． 【经典例题二 多项式除以单项式】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则括号内应填的代数式是 ． 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江·月考）若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）计算： (1)； (2)． 【经典例题三 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·广东汕头·一模）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 1．（2023·河北张家口·三模）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【经典例题四 整式四则混合运算】 【例1】（25-26七年级下·湖北孝感·月考）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级下·河北石家庄·专题练习）如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为 ． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知每个直角三角形两条直角边长度的比是，那么小正方形与大正方形的面积比是 ． 5． （25-26七年级下·广东阳江·月考）计算：． 【经典例题五 整式的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·月考），则（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·湖北襄阳·期中） ． 1．（25-26七年级下·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知是完全平方式，则的值是（   ） A．45 B． C．20 D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）计算与化简： (1)已知，求的值． (2)化简：． 【拓展训练一 单项式与多项式除法混合运算】 【例1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 1．（25-26七年级下·河南·月考）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北邢台·月考）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，则表示的式子为 4．（25-26七年级下·广东湛江·月考）计算：． 【拓展训练二 整式混合运算的综合应用】 【例1】（23-24七年级下·浙江金华·月考）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江西南昌·月考）计算 1．（25-26七年级下·福建漳州·期中）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 2．（22-23七年级下·安徽宿州·月考）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为 ． 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·月考）（1）计算： （2）计算： 1．（25-26七年级下·山东德州·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·重庆·专题练习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆·月考）已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 5．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 6．（25-26七年级下·天津西青·月考）代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 7．（24-25七年级下·浙江金华·月考）有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 8．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·月考）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：，，，，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有19个整式； ④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 9．（25-26七年级下·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26七年级下·河南周口·月考）如果，则 ． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则 ． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 14．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    15．（25-26七年级下·浙江宁波·自主招生）一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为①，⑥的两个小矩形为正方形，若②的面积为10，则的面积当 ． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 17．（25-26七年级下·山东济宁·月考）计算： (1)； (2)． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 19． （25-26七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中，． 20．（25-26七年级下·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 整式的除法重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 计算单项式除以单项式 题型二 多项式除以单项式 题型三 用科学记数法表示数的除法 题型四 整式四则混合运算 题型五 整式的混合运算 拓展题型一 单项式与多项式除法混合运算 拓展题型二 整式混合运算的综合应用 知识点一：单项式除以单项式 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．其实质是把单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，所得结果仍是单项式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是单项式除以单项式，直接根据单项式除以单项式的运算法则计算即可. 【详解】解：. 故选：A 2．（25-26七年级下·福建福州·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式．先运算积的乘方，再运算单项式除以单项式，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点二：多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为．若小辉报的整式是，则小辰应报的整式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法，熟练掌握整式除法运算法则，正确列出代数式是解答的关键． 根据被除式、除式和商的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式计算即可． 【详解】解：根据题意，小辰报的整式为 故选：D． 2．（25-26七年级下·上海普陀·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，根据运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再结合单项式除以单项式的法则计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【经典例题一 计算单项式除以单项式】 【例1】（25-26七年级下·上海·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的运算，单项式除以单项式的运算，积的乘方运算，合并同类项和负整数指数幂，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据指数运算法则，系数相除，同底数幂相除，指数相减． 【详解】解：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式，单项式除单项式．根据积的乘方，合并同类项以及单项式乘单项式，单项式除单项式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·黑龙江七台河·期中）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括单项式乘单项式、幂的乘方、整式除法和平方差公式的应用，根据相关的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，错误； C、，错误； D、，错误； 故选：A． 3．（25-26七年级下·湖北黄石·月考）某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络．他输入的密码是 ． 账号： 密码 【答案】2026 【分析】本题主要考查单项式除以单项式，幂的乘方运算，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键． 由题意可先进行单项式除以单项式的运算，然后问题可求解． 【详解】解：， ∴他输入的密码是2026； 故答案为：2026． 4．（25-26七年级下·重庆大足·月考）已知，，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算与幂的运算法则，熟练掌握积的乘方、单项式乘单项式及单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 先将 、、 代入表达式 ，再根据幂的运算法则和整式的乘除法则逐步计算． 【详解】解： ． 【经典例题二 多项式除以单项式】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【详解】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则括号内应填的代数式是 ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可； 本题考查了整式的除法运算，熟练掌握整式的除法运算法则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，括号内的代数式为 ， 计算得 ， 则括号内应填 ； 故答案为：. 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式除以单项式．熟练掌握幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式的法则，是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂相乘，积的乘方，多项式除以单项式的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江·月考）若商品的买入价为a，售出价为b，则毛利率，已知p，a，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的变形与求解．解题的关键是根据给定的毛利率公式，将其看作关于b的方程，通过移项、合并同类项等步骤解出b的表达式． 已知毛利率公式，将其视为关于b的方程，先去分母得到，再通过移项把含b的项合并，最后将b的系数化为1，即可得到用p和a表示b的代数式． 【详解】解：已知毛利率， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得b． 两边同时除以，得 故选：A． 3．（25-26七年级下·上海·期中）如图是一个运算程序，若输入的为，输出的为，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案，掌握多项式除以单项式的法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题三 用科学记数法表示数的除法】 【例1】（2025·广东汕头·一模）中国的陆地面积约为，2023年底我国人口数量约为14亿，人均陆地面积约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法、单项式除法，先把14亿用科学记数法表示，再根据总面积除以总人口计算即可． 【详解】解：14亿 故选：B 【例2】（25-26七年级下·福建福州·开学考试）已知光的传播速度为米/秒，地球到预定轨道间的距离为米，则预定轨道处光传播到地球的时间为 秒． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除单项式，科学记数法表示的数的计算可以利用单项式的相应的运算法则求解，熟练掌握单项式除单项式、科学记数法是解题的关键．根据时间路程速度列式，再根据单项式除单项式的运算法则计算，即可以得出最后的答案． 【详解】解：由题意可得，预定轨道处光传播到地球的时间为：（秒）． 故答案为：． 1．（2023·河北张家口·三模）某工程预算花费约为元，实际花费约为元，预算花费是实际花费的倍，用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案． 【详解】解：∵预算花费约为元，实际花费约为元， ∴预算花费约是实际花费的倍数是：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 3．（2025·上海·中考真题）据报道，我国某科研团队近期成功研制出一种新闪存器件，其快速擦写速度全球领先．已知一皮秒等于秒，该器件执行一次擦写需要400皮秒，则该器件一秒可以擦写 次（科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，根据题意可得1秒等于皮秒，再由该器件执行一次擦写需要400皮秒列式求解即可． 【详解】解：， ∴该器件一秒可以擦写次， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的除法以及科学记数法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据单项式除单项式法则计算即可； （2）利用科学记数法计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【经典例题四 整式四则混合运算】 【例1】（25-26七年级下·湖北孝感·月考）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用．由题意得到，代入各项的左边分别计算，逐项进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴ ， 故A选项错误， ， 故B选项正确； ， 故C选项错误， ， 故D选项错误， 故选：B 【例2】（2025七年级下·河北石家庄·专题练习）如图是李伟家住房的结构图（单位：m)，李伟打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，卧室和客厅的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，正确从图形上获取正确数据是解题关键． 直接利用已知数据结合矩形面积列代数式即可． 【详解】解：由题意可得，卧室和客厅的面积和为： ． ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若的面积为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用．根据题意表示出、、、的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形和四边形是大小完全一样的正方形， 设，，， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形和四边形是两张大小完全一样的长方形纸片， ∴，，， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算． 设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：设，则， 故选：A． 3．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知每个直角三角形两条直角边长度的比是，那么小正方形与大正方形的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的面积．根据题意求得小正方形的边长和面积，根据大正方形的面积等于小正方形的面积与四个直角三角形面积的和求得大正方形的面积，据此计算即可． 【详解】解：∵每个直角三角形两条直角边长度的比是， ∴设直角三角形的两条直角边的长分别是和， ∴小正方形的边长为，小正方形的面积， 大正方形的面积， ∴小正方形与大正方形的面积比是． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广东阳江·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则和完全平方公式与平方差公式是解题的关键． 根据题意，先用平方差公式和完全平方公式化简，再按整式的混合运算法则计算，即可求解． 【详解】解： ． 【经典例题五 整式的混合运算】 【例1】（24-25七年级下·湖南衡阳·月考），则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 先将原式变形为，再利用完全平方公式化简，然后进行合并即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·湖北襄阳·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·全国·月考）对于任意的整数n，能整除的数是（   ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、整除等知识点，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后再判断整除即可解答． 【详解】解： ． 由于能被5整除，故C选项符合题意． 故选C． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知是完全平方式，则的值是（   ） A．45 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方式以及整式的混合运算，首先根据完全平方式的意义求得，再计算出，最后把代入计算即可． 【详解】解：是完全平方式， ∴； 又 ； 当时，原式； 当时，原式； 所以，的值是， 故选：B． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图，某学校的劳动实践基地由正方形与正方形组成，其中长方形由八年级负责，其面积为．若，则劳动实践基地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的应用，解题关键是能根据图形得到正确的数量关系并列式计算．设正方形的边长，进而表示出，再根据长方形面积为可得到，根据劳动实践基地的面积列式，利用完全平方公式、提公因式等将式子进行变形，最后将整体代入计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长，则， 长方形面积为． ， 劳动实践基地的面积为： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·河南南阳·月考）计算与化简： (1)已知，求的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，整式的混合运算： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）根据乘法公式和多项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ； （2）解： ． 【拓展训练一 单项式与多项式除法混合运算】 【例1】（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图， 边长为的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后， 剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠、无缝隙)， 若拼成的矩形一边长为4， 则另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式除以的应用，完全平方公式的计算，由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为4，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【详解】解：设拼成的矩形一边长为x， 则依题意得：， 解得，， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图是一个圆柱形容器与一个长方体容器，现把圆柱形容器中盛满了水，然后把水倒入长方体容器中，恰好倒满，则长方体容器的宽为 ．（每个容器的厚度均忽略不计） 【答案】 【分析】本题考查圆柱体和长方体的体积，整式运算的实际应用，根据圆柱体和长方体的体积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，长方体容器的宽为． 故答案为： 1．（25-26七年级下·河南·月考）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数运算、整式乘法和除法的基本法则， 选项A和B涉及指数运算，选项C涉及乘法分配律，选项D涉及多项式除以单项式． 【详解】解：A选项：根据同底数幂的乘法法则可得：，故A选项计算正确； B选项：根据幂的乘方的法则可得：，故B选项计算正确； C选项：根据单项式乘以多项式的法则可得：，故C选项计算错误； D选项：根据多项式除以单项式的法则可得：，故D选项计算正确． 故选：C． 2．（25-26七年级下·河北邢台·月考）下面是小亮的作业，他一共做对了（　　） 填空： ①． ②一张纸的厚度为，100张纸的厚度为． ③． ④已知长方形的面积为，长为，则宽为． A．0道题 B．1道题 C．2道题 D．3道题 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，零指数幂，多项式的除法．逐一检查每道题，第一题指数运算错误，第二题科学记数法计算错误，第三题和第四题正确． 【详解】解：∵① ，∴错误； ∵② ，∴错误； ∵③ ，，，∴正确； ∵④ 宽 = ，∴正确； ∴共做对2道题． 故选：C． 3．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）已知，则表示的式子为 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除单项式，熟练掌握多项式除以单项式的除法法则是解决本题的关键． 根据多项式除单项式的除法法则解决此题． 【详解】解：由已知等式 ，得， 将分子各项分别除以分母：，， 故， 故答案为：； 4．（25-26七年级下·广东湛江·月考）计算：． 【答案】2a2 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则、单项式除以单项式法则和平方差公式． 根据平方差公式和多项式除以单项式法则计算乘除，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【拓展训练二 整式混合运算的综合应用】 【例1】（23-24七年级下·浙江金华·月考）现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算在面积中的应用，分别用含的式子表示出，，，，进而求出，，最后代入计算即可求解，正确识图是解题的关键 【详解】解：由图可得，， ， 由图得，， ， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵, ∴， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·江西南昌·月考）计算 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算（包括积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式），解题的关键是熟练运用幂的运算法则（同底数幂相乘除，底数不变指数相加减；积的乘方，各因式分别乘方再相乘）． 计算积的乘方化简；按法则进行单项式乘法运算；按法则进行单项式除法运算，分步处理系数和同底数幂的指数． 【详解】解：按整式混合运算顺序计算： 故答案为：． 1．（25-26七年级下·福建漳州·期中）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算． 通过逐一验证每个结论的正确性：结论①由绝对值的非负性推导；结论②通过反例证明不成立；结论③考虑a的符号情况；结论④根据a、b异号时分情况讨论即可． 【详解】解：①若，则， ∵， ∴且， ∴且， 解得，故①正确； ②取， 左边： ， 右边： ， ∴左边≠右边，故②错误； ③ ， 当时，，故③错误； ④若a、b异号，设， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故或，故④正确． 综上所述，①④正确， 故选D． 2．（22-23七年级下·安徽宿州·月考）观察下列算式：①；②；③；…结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【详解】解：由题意，得 ． 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为6，所以的末位数字为5， 即的计算结果的末位数字为5． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的运用，主要考查学生阅读理解能力，题目比较好，但有一定的难度. 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知实数x，y，z满足，那么实数x，y，z的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握利用非负数的性质求值是解题的关键．先将括号内的二次三项式配方，然后用整式乘法化简整理，再对整理后关于z的二次三项式配方，再根据非负数的性质分别求得x，y，z的值，即可进一步求解答案． 【详解】解：原方程可化为， ， ， ， ，，， ，， ， ，，， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·月考）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，积的乘方，幂的乘方，单项式乘单项式，多项式除以单项式，完全平方公式等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行乘方运算，再进行乘除运算； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 1．（25-26七年级下·山东德州·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方、单项式除以单项式、单项式乘单项式、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据幂的乘方、单项式除以单项式、单项式乘单项式、积的乘方运算法则逐项判断即可得． 【详解】A、∵，∴ A错误，该选项不符合题意； B、∵，∴ B错误，该选项不符合题意； C、∵，∴ C正确，该选项符合题意； D、∵，∴ D错误，该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用．根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 故选：D． 3．（2026七年级下·重庆·专题练习）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法． 根据积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．不是同类项，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4．（23-24七年级下·重庆·月考）已知均为常数，均为非零常数，若有两个整式，，下列结论中，正确个数为（    ） ①当为关于的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算与乘法运算，求出，可得当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，令得到，，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，A值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； ∵， 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵A能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 令得：，即 ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，A值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 正确的有：①③④⑤，共4个． 故选：A． 5．（25-26七年级下·上海普陀·期中）已知是有理数，定义一种新运算“*”：，下列结论： 不存在有理数满足；如果，那么 下列说法正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式、整式的乘除运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； 先化简新运算表达式，然后分别验证两个结论是否成立． 【详解】， ∴， ， ， 时，满足条件， 存在有理数，，满足；故错误， ， ， ， ；故正确． 故选：B． 6．（25-26七年级下·天津西青·月考）代数式的值（    ） A．只与x、y有关 B．只与y、z有关 C．与x、y、z都无关 D．与x、y、z都有关 【答案】A 【分析】本题考查整式的化简，通过展开和合并同类项得到最简形式，从而确定变量依赖关系． 通过展开并合并同类项，简化代数式，判断其值依赖的变量即可． 【详解】解：原式 因此，代数式的值只与x和y有关， 故选：A． 7．（24-25七年级下·浙江金华·月考）有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，准确用代数式表示阴影部分的面积是关键．设长方形纸片的长为a，宽为b，表示出阴影部分的面积为，再计算即可得到答案． 【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为 ∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度， 故选：D 8．（22-23七年级下·重庆沙坪坝·月考）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用右边的整式减去左边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过下列实际操作， ①第二次操作后整式串为：，，，，； ②第二次操作后，当时，所有整式的积为正数； ③第四次操作后整式串中共有19个整式； ④第2022次操作后，所有的整式的和为．下列结论正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算，从而作出判断． 【详解】解：第一次操作后的整式串为：，3，， 第二次操作后的整式串为，，3，，， 即，，3，，，故①的结论正确，符合题意； 第二次操作后整式的积为， ， ，即， ， 即第二次操作后，当时，所有整式的积为非负数，故②的说法错误，不符合题意； 第三次操作后整式串为，，，，3，，，3，， 第四次操作后整式串为，，，，，，，，3，，，3，，，3，，， 共17个，故③的说法错误，不符合题意； 第一次操作后所有整式的和为， 第二次操作后所有整式的和为， 第三次操作后所有整式的和为， ...， 第n次操作后所有整式的积为， ∴第2022次操作后，所有的整式的和为， 故④的说法正确，符合题意； 正确的说法有①④， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的加减，整式的乘法，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）和平方差公式是解题关键． 9．（25-26七年级下·重庆·月考）定义：关于x的两个多项式A、B，若满足，则称A与B是“关于x的凤鸣多项式”．例如：若，，则，所以多项式与是关于x的凤鸣多项式． 根据上述定义，判断以下结论的正确性： ①若，，则A与B是关于x的凤鸣多项式． ②若，，，则与C是关于x的凤鸣多项式． ③已知是正整数)，A与B是关于x的凤鸣多项式，若当时，多项式的值是小于45的整数，则满足条件的所有m的值之和为6． 其中正确的结论个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了整式混合运算——化简求值，理解已知中与是关于x的凤鸣多项式，并准确地进行计算是解题的关键． ①根据已知计算出 的值即可判断；②根据已知计算出 的值即可判断；③根据已知可得，再利用当时，多项式的值是小于的整数，确定出的值即可解答． 【详解】解：①，， ， 与是关于x的凤鸣多项式，故①正确； ②∵，，， ∴， 则 ， ∴，不满足定义， 则与C不是关于x的凤鸣多项式，故②错误； ③与是关于x的凤鸣多项式， ， ， （m是正整数）， ， ， ， ∵当时，多项式的值是小于45的整数， ， ， ， ， ， ，， ∴满足条件的所有m的值之和为6，故③正确． 综上，正确的结论有①③，共2个， 故选：C． 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个边长为的大正方形和两个边长为的小正方形（正方形和正方形），其中个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积，根据，可整体求得的值，即长方形的面积，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积是解题的关键． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴； 的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为， 故选：． 11．（25-26七年级下·河南周口·月考）如果，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，根据指数运算法则，先计算分母的平方，再将除法转化为分数形式，分别比较x和y的指数得出方程，求解a和b的值即可 【详解】解： 化简得：， 简化得： 两边除以2： ，， 解得：，解得 ， 故答案为：5． 12．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则 ． 【答案】54 【分析】本题考查了多项式除以单项式，化简求值，正确的计算，利用整体思想进行求值是解题的关键． 将多项式除以后，得到，然后利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：原式 由 ，得 ，， ∴原式 ． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）五月七日，印度和巴基斯坦发生冲突引发空战，巴基斯坦装备的中国歼-10C击溃印度的阵风战机，扬我国威，已知一架阵风战机约亿美元，一架歼-10C约5500万美元，阵风战机价格是歼-10C的 倍． 【答案】5 【分析】本题考查了科学记数法和单项式除以单项式，先把数据用科学记数法表示，根据题意列出算式，再根据单项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解： ，， ， 阵风战机价格是歼-10C的5倍． 故答案为：5． 14．（22-23七年级下·江苏连云港·期中）矩形内放入两张边长分别为a和的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为，已知， ，设，则 ．    【答案】7 【分析】利用面积的和差表示出，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到，从而求解． 【详解】解：由， 可得：， 由图①得：， 由图②得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来． 15．（25-26七年级下·浙江宁波·自主招生）一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为①，⑥的两个小矩形为正方形，若②的面积为10，则的面积当 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，三角形的面积，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 设①，⑥两个正方形的边长为，，则③的长和宽为与，③的长和宽为与，根据图形的面积公式列代数式即可得到结论． 【详解】解：设①，⑥两个正方形的边长为，，则③的长和宽为与，③的长和宽为与， 设②的另外一条边长为， ②的面积为10， ， 的面积， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·四川成都·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)1； (3) (4) 【分析】（1）根据解答即可； （2）构造平方差公式，解答即可． （3）构造平方差公式，解答即可． （4）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂乘法，单项式除以单项式解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，绝对值，熟练掌握公式地解题的关键． 17．（25-26七年级下·山东济宁·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用多项式除以单项式的每一项； （2）先利用平方差公式和多项式的乘法进行计算，再合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式= =； （2）原式==． 18．（23-24七年级下·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．（25-26七年级下·江苏无锡·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，14 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据整式的混合运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 20．（25-26七年级下·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 学科网（北京）股份有限公司 $