专题1.3 乘法公式重难点题型专训（2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，系统梳理平方差公式和完全平方公式的定义、几何探究及特点，通过8大题型（运算、几何应用、混合运算等）与3大拓展训练，构建从基础理解到综合应用的学习支架。 资料以数形结合为特色，通过几何图形面积验证公式培养几何直观（数学眼光），分层题型设计提升推理能力（数学思维），拓展训练结合实际问题强化应用意识（数学语言）。课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，巩固知识。

专题1.3 乘法公式重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 题型五 整式乘法混合运算 题型六 多项式乘多项式——化简求值 题型七 通过对完全平方公式变形求值 题型八 求完全平方式中的字母系数拓展训练一 拓展训练一 平方差与完全平方公式混合运算及化简求值 拓展训练二 乘法公式与几何图形面积综合拓展应用 拓展训练三 完全平方公式变形、字母系数与整式乘法综合运用 知识点一：平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·上海·月考）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）已知，则 ． 知识点二：完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）若，则 ． 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（25-26七年级下·北京朝阳·月考）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【例2】（25-26七年级下·广东汕头·月考） ． 1．（25-26七年级下·山东临沂·月考）下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）代数式的值是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）计算： ． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例1】（25-26七年级下·辽宁大连·月考）如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·江西南昌·月考）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为 ． 1．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 3．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，分割图甲中的长方形，变换到图乙中正方形的阴影部分的位置，在这个拼接方案中，可以验证的数学公式是 ． 4．（25-26七年级下·广东汕尾·月考）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（25-26七年级下·江西赣州·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山东济宁·开学考试）计算： ． 1．（2026七年级下·全国·专题练习）若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南濮阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建漳州·月考）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为 ． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【经典例题四 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（25-26七年级下·山东滨州·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，一个小正方形的边长为．若它的边长增加，面积就增加，则a的值为 ． 1．（25-26七年级下·上海·月考）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·月考）“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 3．（25-26七年级下·上海浦东新·月考）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 4．（25-26七年级下·全国·月考）在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． (1)请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； (2)如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 【经典例题五 整式乘法混合运算】 【例1】（25-26七年级下·北京西城·期中）图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【例2】（25-26七年级下·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 【经典例题六 多项式乘多项式——化简求值】 【例1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【例2】（25-26七年级下·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是 ． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·月考）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 4．（25-26七年级下·陕西安康·月考）先化简，再求值：，其中，． 【经典例题七 通过对完全平方公式变形求值 】 【例1】（25-26七年级下·辽宁大连·月考）已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）若满足，则 ． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 2．（25-26七年级下·河北唐山·月考）若，则（    ） A．9 B． C．7 D．11 3．（25-26七年级下·四川乐山·月考）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：由图1可以得到基于此，请解答下列问题： （1）若，，则的值为 ； （2）两块完全相同的特制直角三角板（），按如图2所示的方式放置，其中A、O、D在同一直线上，连结，若，则的面积为 ． 4．（25-26七年级下·山东临沂·月考）数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：___________；图2：___________ 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形周长为，分别以和为边作正方形和正方形，已知这两个正方形的面积和为，求长方形的面积． 【知识迁移】（4）若，则___________． 【经典例题八 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（25-26七年级下·湖南长沙·月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）若是一个完全平方式，则m的值为 ． 1．（25-26七年级下·山西朔州·月考）如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 2．（25-26七年级下·福建莆田·月考）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A． B． C．16 D． 3．（25-26七年级下·上海·月考）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数 ． 4．（25-26七年级下·四川巴中·月考）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【拓展训练一 平方差与完全平方公式混合运算及化简求值】 【例1】（25-26七年级下·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·月考）若，则的最大值是 ． 1．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）若，则下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川南充·周测）已知．求 ． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 【拓展训练二 乘法公式与几何图形面积综合拓展应用】 【例1】（25-26七年级下·山东临沂·月考）图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分.图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是60，则裁剪前大正方形红布的面积为（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 1．（25-26七年级下·山东济宁·月考）如图，将四个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川南充·月考）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（25-26七年级下·上海·月考）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．(用含的代数式表示) 4．（25-26七年级下·山西吕梁·月考）数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如下图中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)探究发现：如图1，把一张长方形纸片沿着线段剪成两部分完全相同的纸片，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的图形．利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是：_____． (2)继续探究：观察图3，利用“等面积法”，表示图中的阴影部分的面积，可获得的数学等式是_____． (3)应用提升：①简便计算； ②已知，，求的值． 【拓展训练三 完全平方公式变形、字母系数与整式乘法综合运用】 【例1】（25-26七年级下·河北保定·月考）如果多项式是完全平方式，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）是一个完全平方式，且，则 ． 1．（25-26七年级下·天津西青·月考）已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 2．（25-26七年级下·福建福州·月考）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 3．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知，则= ． 4．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）计算： (1) (2) (3) 1．（25-26七年级下·山东泰安·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南玉溪·月考）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图，将边长为的大正方形通过剪裁、拼接，得到新的图形，利用图形面积不变可以直观解释乘法公式的结构．现有甲、乙两种拼图方案（如图①和图②），其中能够验证公式成立的是（   ） A．方案甲可以，方案乙不可以 B．方案甲不可以，方案乙可以 C．方案甲、乙都可以 D．方案甲、乙都不可以 3．（25-26七年级下·陕西商洛·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 6．（25-26七年级下·浙江绍兴·月考）已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 7．（25-26七年级下·黑龙江大兴安岭·月考）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 8．（25-26七年级下·四川内江·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A．1 B．-1 C．4 D．49 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．鑫嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片（   ）块． A．6 B．5 C．4 D．3 11．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知，则 ． 12．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，如图1，把余下的部分拼成一个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式是 ． 13．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知，则 ． 14．（25-26七年级下·河南周口·月考）有两个大小不同的正方形A，B，正方形A的边长为a，正方形B的边长为b．现将A，B并列放置构造新的正方形得到图1，其阴影部分的面积为16；将B放在A的内部得到图2，其阴影部分的面积为5，则 ， ． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知实数x、y满足方程，则的值是 ． 16．（25-26七年级下·上海·月考）计算：． 17．（25-26七年级下·辽宁抚顺·月考）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1） 若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 19．（25-26七年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 20．（25-26七年级下·山西大同·月考）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 乘法公式重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 完全平方公式在几何图形中的应用 题型五 整式乘法混合运算 题型六 多项式乘多项式——化简求值 题型七 通过对完全平方公式变形求值 题型八 求完全平方式中的字母系数拓展训练一 拓展训练一 平方差与完全平方公式混合运算及化简求值 拓展训练二 乘法公式与几何图形面积综合拓展应用 拓展训练三 完全平方公式变形、字母系数与整式乘法综合运用 知识点一：平方差公式 1. 平方差公式 ．也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． 2. 平方差公式的探究 图（1）中阴影部分的面积，图（2）中阴影部分的面积，故可得=． 3. 特点 （1）等号左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； （2）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方； （3）公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以表示多项式． 【即时训练】 1．（25-26七年级下·上海·月考）下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，需找出可表示为两数和与两数差相乘的选项． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，不符合题意； B、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，符合题意； C、不能用平方差公式计算，不符合题意； D、不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式正确变形是解题关键．利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为： 知识点二：完全平方公式 1. 完全平方公式 ，.也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的)完全平方公式． 2. 完全平方公式的探究 图（1）中大正方形的面积的两种表示方法：，，故． 图（2）中阴影部分的面积的两种表示方法：，，故． 3. 特点 （1）两个公式的等号左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个符号不同； （2）等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是等号左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个符号不同． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式，牢记并灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 直接运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 2．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式，熟记完全平方公式是解决问题的关键． 利用完全平方公式展开，然后通过两式相减消去平方项，得到关于的等式化简即可得到答案． 【详解】解：①， ②， 由①②得， 即， 解得， 故答案为：． 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 【例1】（25-26七年级下·北京朝阳·月考）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，平方差公式．根据同底数幂乘除法法则，平方差公式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∵，，即，， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：A 【例2】（25-26七年级下·广东汕头·月考） ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握公式特点是关键；识别算式符合平方差公式形式，直接应用公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·山东临沂·月考）下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 【详解】解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 2．（2026七年级下·全国·专题练习）代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的连续运用和幂的运算性质，熟练掌握平方差公式 的结构特征是解题的关键．本题可以连续运用平方差公式进行化简，最后得出结果并选择对应选项． 【详解】解： 故选：C． 3．（25-26七年级下·上海宝山·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设，则，， 原式， ， 故答案为． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了用平方差公式进行简便计算，把算式中各部分分别用平方差公式分解因式，可得：原式，根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 【例1】（25-26七年级下·辽宁大连·月考）如图，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个长方形．用这两个图的面积表示下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示两个图形的面积即可． 【详解】解：将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形阴影部分，剩余部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，将这两个长方形拼成一个长方形的长为，宽为，因此面积为， 所以有， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·江西南昌·月考）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 1．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）如图，正方形和正方形按如图方式摆放，两个正方形面积之差为16，连接．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．15 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积，解题的关键是理解题意；由题意可设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有，则有，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则有， ∵， ∴， ∵两个正方形面积之差为16， ∴， ∴， ∴； 故选A． 3．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，分割图甲中的长方形，变换到图乙中正方形的阴影部分的位置，在这个拼接方案中，可以验证的数学公式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，涉及长方形与正方形的面积计算，解题的关键是通过分析图形拼接前后的面积关系，将几何图形的面积转化为代数表达式，利用“面积相等”建立等量关系，从而验证平方差公式．根据图甲长方形面积与图乙阴影部分面积相等回答即可. 【详解】解：图甲的面积：， 图乙的结构：大正方形边长为，面积为； 小正方形边长为，面积为；阴影部分的面积为， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广东汕尾·月考）【探究】（1）如图1，一个边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，我们可以得到乘法公式：______________（用含a，b的等式表示）． 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （2）已知，，则的值为_______． （3）计算：． 【拓展】（4）计算：． 【答案】（1）；（2）3；（3）；（4） 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解； （4）根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：（1）； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3； （3） ； （4） ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 【例1】（25-26七年级下·江西赣州·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，幂的乘方运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据平方差公式、完全平方公式及幂的乘方法则，对四个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·山东济宁·开学考试）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查完全平方公式的应用，通过观察表达式结构，将其转化为完全平方形式以简化计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1. 1．（2026七年级下·全国·专题练习）若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用．通过消去参数建立与的关系式，将转化为，再用含的式子代换即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得： ，即． 故选：A 2．（25-26七年级下·河南濮阳·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的乘除运算和幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项以及负整数指数幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键，注意负指数幂的运算规则． 根据整式的乘除运算和幂的运算性质逐一验证每个选项的正确性即可． 【详解】解：对于A：，∴本选项运算错误，不符合题意； 对于B：，∴ 本选项运算错误，不符合题意； 对于C：，∴本选项运算错误， 不符合题意； 对于D：，∴本选项运算正确， 符合题意； 故选：D． 3．（25-26七年级下·福建漳州·月考）若，则下列说法： （1）；（2）； （3）；（4）． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘法的系数问题，熟练掌握利用特殊值法求系数和是解题的关键．本题可通过代入特殊值、、来分别求出、各项系数和、奇数项与偶数项系数和，再通过联立方程求出，从而逐一判断各结论的正确性． 【详解】解：（1）令，， ， ，故（1）正确． （2）令，， ， ，故（2）正确． （3）令，得， 即， 两边同乘得，即， 故（3）正确． （4）由（2）得， 由可得， 得，即， 又，代入得， 所以，故（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握乘法公式的结构特征以及整体代换的思想是解题的关键． （1）将原式变形为，利用平方差公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （2）将原式变形为，利用完全平方公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【经典例题四 完全平方公式在几何图形中的应用】 【例1】（25-26七年级下·山东滨州·月考）如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是8，故正确； 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，一个小正方形的边长为．若它的边长增加，面积就增加，则a的值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 设正方形的边长是，根据面积相应地增加了，即可列方程求解． 【详解】解：设正方形的边长是， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：. 1．（25-26七年级下·上海·月考）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b，）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图形中各个部分的面积，再由图形中面积之间的和差关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9， ∴，， 又∵， ∴，， 解得，， ∴，， 因此选项D符合题意， 故选：D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·月考）“以数解形”“以形助数”数形结合的思想方法在数学学习中非常重要．如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点E，与相交于点G，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别于点Q，P．若四边形和四边形都是正方形，，，则正方形的边长为（   ） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，：设，则可得到，根据得到，根据长方形的面积公式得到，据此根据完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， 由正方形的性质可得， ∴， ∴， ∵重叠部分是面积为8的长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 故选：B． 3．（25-26七年级下·上海浦东新·月考）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·月考）在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． (1)请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； (2)如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 【答案】(1)，，； (2)见解析． 【分析】（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果； （2）依据边长为的正方形分割成四部分，即可得到完全平方公式的几何解释． 【详解】（1）解：． 故答案为：,,； （2）解：边长为的正方形的面积，等于边长分别为和的两个小正方形的面积，再加上两个长为，宽为的长方形的面积的和． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，解决本题的关键是通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 【经典例题五 整式乘法混合运算】 【例1】（25-26七年级下·北京西城·期中）图1是由两个正方形构成的回字形，阴影部分的面积记为．图2是由长方形和正方形构成的凹字形，阴影部分的面积记为．则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．以上情况均有可能 【答案】A 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键．先根据长方形和正方形的面积公式分别求出和，然后利用作差法比较大小，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ； ； ， ， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·上海普陀·期中）新定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，有一种新的运算：如果，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据定义的新运算，结合完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河北唐山·月考）有一块长为a宽为b的矩形绿地上修两条小路以方便行人，小路的宽（小路与边界交点形成的线段）为1，则以下四种方法中哪一种小路所占面积与其他三种不同？（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查整式的计算，根据每个图形的面积分别计算小路面积即可判断 【详解】解：A.小路面积为， B.小路面积为，, C.小路面积为， D.如图： 过点A作于点A，则，但， ∴小路面积 故选D 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 3．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则= ． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）老张购买了一套新房，其结构如图所示（单位：），他打算除卧室外，其余部分都铺地砖． (1)至少需要多少平方米地砖？（用含的式子表示） (2)若房子总面积为，卧室有平方米，除卧室外，地砖的均价为元，则为多少时，费用最高？最高预计为多少？ 【答案】(1)至少需要平方米地砖； (2)n为33时，费用最高，最高预计1089元． 【分析】本题主要考查了列代数式，完全平方公式的应用，能根据题意表示出需要铺地砖部分的面积是解题的关键． （1）根据题意表示出除卧室外的面积即可； （2）根据题意，表示单价面积总费用，列关系式，然后配方为完全平方公式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：由题知，(平方米)， 答：至少需要平方米地砖； （2）解：总费用为， ∴当时，费用最高，最高为元． 【经典例题六 多项式乘多项式——化简求值】 【例1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 【例2】（25-26七年级下·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴原式4． 故答案为：4． 1．（24-25七年级下·湖南娄底·月考）若，则的值为（    ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·月考）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 4．（25-26七年级下·陕西安康·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先利用平方差公式和多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【经典例题七 通过对完全平方公式变形求值 】 【例1】（25-26七年级下·辽宁大连·月考）已知，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知是解题的关键． 根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【例2】（2026七年级下·全国·专题练习）若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式正确变形，是解题关键．设，，则，，利用完全平方公式变形，得出，代入计算即可得答案． 【详解】解：设，，则，， ∴ ． 故答案为： 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知，那么的值是（    ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，观察已知，等式左右两边同除以，并移项可转化为，再对等式两边平方化简即可求出的值． 【详解】解：∵，且， ∴两边除以得，即， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·河北唐山·月考）若，则（    ） A．9 B． C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，利用完全平方公式，将已知等式平方后求解 【详解】解：， ， 即， ， ， 故选：D 3．（25-26七年级下·四川乐山·月考）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：由图1可以得到基于此，请解答下列问题： （1）若，，则的值为 ； （2）两块完全相同的特制直角三角板（），按如图2所示的方式放置，其中A、O、D在同一直线上，连结，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式的变形是关键． （1）完全平方公式变形为，整体代入已知条件进行解答即可； （2）设，即可得到，进而得到，再求出，即可求出． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：20 （2）∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（25-26七年级下·山东临沂·月考）数学活动：数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． 【知识生成】（1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和；图2是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1：___________；图2：___________ 【拓展探究】（2）用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图3所示的正方形，请你直接写出阴影部分的面积所揭示的这三个代数式，之间的等量关系． 【解决问题】（3）如图4，已知长方形周长为，分别以和为边作正方形和正方形，已知这两个正方形的面积和为，求长方形的面积． 【知识迁移】（4）若，则___________． 【答案】（1），（2），验证见详解（3）（4） 【分析】本题主要考查了完全平方公式和图形相结合，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，并掌握数形结合的数学思想． （1）结合图形的面积即可得出乘法公式； （2）结合图形的面积即可得出，之间的等量关系，然后利用完全平方公式进行验证即可； （3）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得出，，依据进行求解即可； （4）先得出，再利用完全平方公式进行整理计算即可． 【详解】（1）解：根据图形1得，， 根据图形2得，； 故答案为：，； （2）解：根据图形3得，，验证如下： ， ， ∴； 故答案为：． （3）解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，根据题意得， ，， ∴， ∴， ∴长方形的面积为； （4）解：∵，， ∴ ． 【经典例题八 求完全平方式中的字母系数】 【例1】（25-26七年级下·湖南长沙·月考）若能用完全平方公式进行因式分解，则常数a的值是（    ） A．或8 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的应用，根据完全平方公式的结构特征，确定一次项系数与常数项的关系，进而求解常数的值． 【详解】解：能用完全平方公式进行因式分解， ． ． 当时， 当时， 的值为4或． 故选D． 【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）若是一个完全平方式，则m的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型． 利用完全平方公式的结构特征判断出的值，即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 解得或． 故答案为：7或． 1．（25-26七年级下·山西朔州·月考）如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取1张甲纸片，再取16张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式的结构特征即可求解． 【详解】解：设需取丙纸片张， 则取出的纸片总面积为， ∵用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形， ∴是完全平方式， ∴， ∴需取丙纸片的张数为8． 故选：B． 2．（25-26七年级下·福建莆田·月考）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（    ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式的结构，比较系数求出m的值，即可求解． 【详解】解：， ， ∴ ， ∴ . 故选：D． 3．（25-26七年级下·上海·月考）如果关于x的整式是某个关于x的整式的平方，那么常数 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式，即可求得一次项系数． 【详解】解：整式是完全平方式，且， ． 故答案为：1或． 4．（25-26七年级下·四川巴中·月考）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 【拓展训练一 平方差与完全平方公式混合运算及化简求值】 【例1】（25-26七年级下·甘肃武威·期中）若，，则的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．4050 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 通过设，将原式转化为关于和的等式，利用已知平方和求值． 【详解】∵，， 设，则，， 将两式相加得：， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·月考）若，则的最大值是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了完全平方公式、配方法的应用、非负数的性质，根据连等式将都转化为同一个参数是解题的关键． 设，用含的式子分别表示，通过计算可得，再根据非负数的性质即可得出答案． 【详解】解：设， 则，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为17， 即的最大值是17． 故答案为：17． 1．（25-26七年级下·重庆铜梁·期中）若，则下列说法：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式中系数的求值，正确赋值是解题的关键．通过代入特定值（如、、）判断说法（1）（2）（3）的正确性；对于说法（4），可以通过前面赋值得到的算式求和即可判断． 【详解】解：当时，， ，说法（1）正确； 当时，， ，说法（2）正确； 当时，，即， ，说法（3）正确； ，， 两式相加得， ， ，说法（4）错误； 综上，正确说法有个， 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、单项式的乘法、积的乘方、负整数指数幂． 逐一计算后判断即可． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C正确； 选项D：，D错误； 故选：C． 3．（25-26七年级下·四川南充·周测）已知．求 ． 【答案】 34 【分析】本题考查完全平方公式的应用，能够熟练运用完全平方公式是解题关键； 由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵， ∴ ， 即 ． 则 ． 故答案为： 34． 4．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2 (2)2 (3)8 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可； （2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案； （3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下： ， ∴多项式与互为“和常多项式”； （2）解： ， ∵M和N互为“和常多项式”， ∴， ∴； ， ∵， ∴， ∵N的最小值为2， ∴， ∴， ∴， ∴M和N的“和常值”为2； （3）解： ， ， ∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 【拓展训练二 乘法公式与几何图形面积综合拓展应用】 【例1】（25-26七年级下·山东临沂·月考）图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分.图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3中阴影部分的面积都是60，则裁剪前大正方形红布的面积为（    ） A．100 B．120 C．150 D．180 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意，图３的阴影面积为；图２的阴影面积为，计算的值即可． 【详解】解：根据题意，得，整理，得， ，整理，得， 故， 故， 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）如图： （1）将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为 ． （2）若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式和数形结合思想是解题关键． （1）根据大矩形面积可以表示为，也可以表示为即可求解； （2）根据题目可知，，利用完全平方公式变形，求出，即可求解． 【详解】解：（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ∴=． 故答案是：； （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为， 故答案为： ． 1．（25-26七年级下·山东济宁·月考）如图，将四个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是完全平方式的特点及变形．依据题意可得，，再利用完全平方公式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，（负值均已舍去）， ∴，， 由得：，即， 由得：，即， ∴关系式中不正确的是D选项． 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川南充·月考）如图，有A、B、C三种不同型号的卡片，每种各8张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a，b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个大正方形，则所有能够拼成符合要求的大正方形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】考查完全平方公式的意义和应用，面积法表示完全平方公式是得出答案的前提．每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，因此拼成的正方形的边长可以为：，，，四种情况． 【详解】解：∵每一种卡片8张，并且每种卡片至少取1张，拼成的正方形， ∴正方形的边长可以为：，，，四种情况； （注意每一种卡片至少用1张，至多用8张） 即：，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张； ，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张； ，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张，大于8张，不合题意；同理也不合题意； ，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张； ，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张； 故选：B． 3．（25-26七年级下·上海·月考）如图，在长方形中，，点是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积和为 ．(用含的代数式表示) 【答案】/ 【分析】本题考查完全平方公式的应用，关键是通过设未知数表示出相关线段长度，利用完全平方公式将两个正方形的面积和转化为含的代数式．设，先根据长方形的边长性质和已知条件表示出和的长度，结合长方形的面积得到，再利用完全平方公式，将两个正方形的面积和转化为含的式子，代入计算即可得出结果． 【详解】解：设， ∵四边形是长方形，，， ∴，，． ∵长方形的面积为， ∴． ， 根据完全平方公式：， 令，，则， ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·山西吕梁·月考）数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，如下图中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)探究发现：如图1，把一张长方形纸片沿着线段剪成两部分完全相同的纸片，把剪成的两张纸片拼成如图2所示的图形．利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是：_____． (2)继续探究：观察图3，利用“等面积法”，表示图中的阴影部分的面积，可获得的数学等式是_____． (3)应用提升：①简便计算； ②已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①1；②1 【分析】本题主要考查平方差公式，完全平方公式的变形在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法表示阴影部分面积，图1面积为，图2面积为，进一步可得答案； （2）阴影部分的面积可表示为或，进一步可得答案． （3）由可得：，进一步代入计算即可． 【详解】（1）解：由图形可得： ． （2）解：由图形可得：． （3）解：① ； ②∵，， ∴． 【拓展训练三 完全平方公式变形、字母系数与整式乘法综合运用】 【例1】（25-26七年级下·河北保定·月考）如果多项式是完全平方式，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据完全平方式的定义，比较系数之间的关系求解． 【详解】解：， 是完全平方式， ， ， ． 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·月考）是一个完全平方式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方公式的结构特征，常数项9是3的平方，因此m的值为，再结合，可得． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以它应满足的形式， 因此. 又因为， 所以． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·天津西青·月考）已知，则的值为（   ） A．3 B．9 C．49 D．100 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式求的值，再根据选项判断． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 2．（25-26七年级下·福建福州·月考）小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ， ， 则， ， ， 的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则下列关于式子的说法正确的是（   ） A．有最小值3 B．有最大值3 C．有最小值 D．有最大值6 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、完全平方公式、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 仿照小李同学的思路，由 表示 ，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】∵ ， ∴ ， 则 ， ∴ ， ， ∴， ∴有最小值3． 故选A． 3．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知，则= ． 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由已知方程变形得到 ，然后利用完全平方公式求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 4．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算、零指数幂和负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则和运算顺序是关键． （1）利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法计算后，再合并同类项即可； （2）利用零指数幂和负整数指数幂计算即可； （3）利用乘法公式和单项式的除法计算后，再进行整式的加减即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 1．（25-26七年级下·山东泰安·月考）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、积的乘方及乘法公式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘法、积的乘方及乘法公式逐项判断计算是否正确即可． 【详解】解：∵选项A：，∴A错误； ∵选项B：，∴B正确； ∵选项C：，∴C错误； ∵选项D：，∴D错误； 故选B． 2．（25-26七年级下·云南玉溪·月考）在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图，将边长为的大正方形通过剪裁、拼接，得到新的图形，利用图形面积不变可以直观解释乘法公式的结构．现有甲、乙两种拼图方案（如图①和图②），其中能够验证公式成立的是（   ） A．方案甲可以，方案乙不可以 B．方案甲不可以，方案乙可以 C．方案甲、乙都可以 D．方案甲、乙都不可以 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．根据两个方案，分别求出各方案中左、右两个图的阴影部分面积，再作判断即可． 【详解】解：方案甲，左图阴影部分面积为，右图阴影部分为长为，宽为的长方形，面积为，能够验证平方差公式； 方案乙，左图阴影部分等于大正方形的面积减去小正方形的面积 ，右图是底为，高为的平行四边形，面积可表示为，能够验证平方差公式， 故选：C． 3．（25-26七年级下·陕西商洛·月考）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，需根据完全平方公式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法法则，逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵根据完全平方公式，， ∴A选项错误； ∵根据积的乘方与幂的乘方法则，， ∴B选项正确； ∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变，， ∴C选项错误； ∵，而，， ∴D选项错误； 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若x满足，则（ ） A．0.25 B．0.5 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 6．（25-26七年级下·浙江绍兴·月考）已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】将原等式变形为，又根据非负性有，，即，故要使成立，则必须，解之即可解答． 【详解】∵ 即 ∴ ∵， ∴ 要使，则必须 解得 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查完全平方公式，平方的非负性，负整数指数幂，熟练运用完全平方公式进行配方，和平方的非负性是解题的关键． 7．（25-26七年级下·黑龙江大兴安岭·月考）若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A． B． C．4或 D．4 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式，形如这样的式子是完全平方式． 根据完全平方式的定义得到，进而计算即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 整理得， 即 解得：或． 故选：C． 8．（25-26七年级下·四川内江·期中）阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，若两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭． 若是的共轭复数，求的值； A．1 B．-1 C．4 D．49 【答案】A 【分析】本题完全平方公式的基本应用，能够读懂题意是解题关键； 先计算 ，利用完全平方公式和 化简，得到复数后，根据共轭复数的定义确定实部 和虚部 ，最后计算 ． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ 是 的共轭复数， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 9．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）李明同学在计算时，把5写成，发现可以连续运用平方差公式计算：，则计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，理解题意，熟练运用平方差公式是解题的关键．在原式前乘上，再连续运用平方差公式即可得解． 【详解】解： 故选：D． 10．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）现有甲，乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．鑫嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片（   ）块． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式． 根据完全平方式进行配方即可得． 【详解】解：∵先取甲纸片1块，再取乙纸片9块， ∴已知面积为， ∵ ∴还需要丙纸片6块． 故选：A． 11．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的变形，分解因式的应用，根据完全平方公式的变形求出的值，然后把分解为，代入计算即可． 利用平方差公式将所求表达式分解，再通过平方已知条件求出相关值 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 12．（25-26七年级下·贵州遵义·月考）在边长为的正方形上剪去一个边长为的小正方形，如图1，把余下的部分拼成一个梯形，如图2，根据这两个图形的阴影部分面积关系，可以验证的等式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键，先根据左图和右图分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等即可解答． 【详解】解：如图1，阴影部分的面积为； 如图2，阴影部分的面积为：； 所以． 故答案为 13．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，由已知条件可得，，代入中，根据完全平方公式计算，得出的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 展开得 ， 即， ∴． 故答案为：4． 14．（25-26七年级下·河南周口·月考）有两个大小不同的正方形A，B，正方形A的边长为a，正方形B的边长为b．现将A，B并列放置构造新的正方形得到图1，其阴影部分的面积为16；将B放在A的内部得到图2，其阴影部分的面积为5，则 ， ． 【答案】 8 21 【分析】本题主要考查了整式的混合运算与完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系． 根据正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1阴影部分的面积为16，图2阴影部分的面积为5，列式计算，从而得出，的值． 【详解】解：∵正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，图1阴影部分的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∵图2阴影部分的面积为5， ∴， 即， ∴， 故答案为：8，21． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知实数x、y满足方程，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了完全平方公式，非负性的运用，掌握完全平方公式的计算是关键． 运用完全平方公式的变形计算，因式分解得到，结合非负性即可求解． 【详解】解：， 等式两边同时乘以2得，， ∴， 整理得，，， ∵，， ∴时满足条件， 即， ∴， 故答案为：0 ． 16．（25-26七年级下·上海·月考）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解决此题的关键是正确的计算；先把式子变形运用完全平方公式和平方差公式运算，最后再计算即可； 【详解】解： ， ， ， ， ． 17．（25-26七年级下·辽宁抚顺·月考）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 这里用到了完全平方公式的变形： ，或， 其实，完全平方公式它们之间还有如下关系： ，． 【类比探究】解决下列问题： （1）若，求的值． 【拓展应用】 （2）如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）的值为6；（2）20 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键． （1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答； （2）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， ， 的值为6； （2）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是24， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）（1）请同学们观察：用4个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为：__________； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，求的值； ②已知，请利用上述等式求的值． 【答案】（1），；（2）①；②1 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据正方形的面积公式即可得到结论； （2）①根据完全平方公式即可得到结论；②根据完全平方公式即可得到结论． 【详解】解：（1） ； 故答案为：，； （2）①，， ， ； ②，， ， ． 19．（25-26七年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 20．（25-26七年级下·山西大同·月考）阅读与思考 （1）观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为______． [类比探究] 观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． [知识应用] （2）根据图②所得的公式，若，，则______． （3）若x满足，求的值． [拓展应用] （4）如图③，在四边形ABCD中，于点E，，，，若与的面积和为，则与的面积和为______． 【答案】（1）；；（2）5；（3）5；（4）2． 【分析】本题考查了完全平方公式在几何中的应用． （1）由题意知，； 由题意知，； （2）将，代入，计算求解即可； （3）由题意知，，根据，计算求值即可； （4）由题意知，，，，由，可得，由，，可得，计算求出的值，根据，计算求值即可． 【详解】解：（1）由题意知，， 故答案为：； 由题意知，， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：5； （3）解：由题意知，， ∴； （4）∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $