专题9.3 平面向量基本定理重难点题型专训（2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学讲义以平面向量基本定理为核心，通过梳理2个知识点构建知识体系，用表格对比点与向量坐标的区别联系，清晰呈现基底概念、共线定理等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于9大题型分层设计，如“已知向量共线求参数”题型结合例题培养数学思维，拓展训练强化综合应用，自我检测助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学提升学生推理与表达能力。

专题9.3 平面向量基本定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量共线定理证明点共线问题 题型二 平面向量共线定理证明线平行问题 题型三 已知向量共线(平行)求参数 题型四 平面向量共线定理的推论 题型五 基底的概念及辨析 题型六 用基底表示向量 题型七 平面向量基本定理的应用 题型八 利用平面向量基本定理求参数 题型九 用坐标表示平面向量 拓展训练一 平面向量共线定理证明相关问题 拓展训练二 平面向量基本定理的求值及应用 知识点一： 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知在中，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】将条件转化为，再利用平面向量基本定理即可. 【详解】因，则， 故， 则，所以． 故选：D 2．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）在中，点满足，若，则 ． 【答案】 【分析】先将式子变形为，利用向量之间的运算即可求得结果. 【详解】， ，， ，． 故答案为： 知识点二： 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 【即时训练】 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）如图，在的菱形网格（每个小菱形的边长均为1）中，向量与的夹角为，则（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】结合图形可知，，进而结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【详解】由图可知，，， 则. 故选：A. 2．（24-25高一下·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【答案】 【分析】根据向量的正交分解直接可得答案. 【详解】因为点，所以 故答案为： 【经典例题一 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例1】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知平面向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】利用平面向量共线的充要条件计算即可. 【详解】对于A，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，则，显然该方程无解，故A错误； 对于B，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，则，显然时符合要求，故B正确； 对于C，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，整理得， 又不共线，显然不存在使得上式成立，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在唯一实数满足， 即，同上，显然不存在使得上式成立，故D错误. 故选：B 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)共线 (2)共线 (3)不共线 【分析】根据题意，结合向量的共线定理，逐项判定，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，可得，所以向量与共线. （2）解：由向量，可得，所以向量与共线. （3）解：由向量， 设，即，可得，此时方程组无解， 所以向量与不共线. 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设空间四点O、A、B、P满足，其中，则有（    ） A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 【答案】A 【分析】将已知等式进行变形可得，再利用向量共线的充要条件可得，共线，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 所以，所以，共线， 因为，，有1个公共点， 故点P在线段AB上， 故选：A. 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【分析】根据题意，结合共线向量的定义和判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由向量，，， 可得，所以，所以三点共线，所以A正确； 对于B中，由向量，， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以B错误； 对于C中，由向量，，， 可得，设，即， 所以，此时方程组无解，所以三点不共线，所以C错误； 对于D中，向量，， 设，即，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以D错误. 故选：A. 3．（24-25高二上·新疆阿克苏·月考）已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是 . 【答案】A、B、D 【分析】根据已知向量，结合向量加法法则、共线基本定理判断向量是否共线，即可判断点共线. 【详解】由不存在实数使成立， 故A，C，D三点不共线，同理A、B、C以及B、C、D均不共线， 又， 故与共线，故三点A、B、D共线. 故答案为：A、B、D 4．（24-25高一下·河南·月考）已知的外心为点O，且（），P为边AB的中点． (1)求证：； (2)若，求的余弦值． 【答案】(1)证明见及解析 (2) 【分析】（1）连接OB，OC，OP，CP，由的外心为点O，P为边AB的中点，得到，再由C，O，P三点共线即可； （2）由（1）知，P为边AB的中点，得到，结合，得到．再由，求解. 【详解】（1）如图，连接OB，OC，OP，CP． ∵的外心为点O，P为边AB的中点， ∴． ∵，∴， ∴C，O，P三点共线，∴． （2）由（1）知． 又P为边AB的中点，∴，∴． ∵，∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴，即． 【经典例题二 平面向量共线定理证明线平行问题】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）若，且，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理可得，结合，即可判断四边形的形状. 【详解】解：因为，所以，所以， 又，，所以四边形ABCD为等腰梯形. 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知梯形中，，E，F分别是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】通过作辅助线可得平行四边形，结合平行四边形法则可得，再根据向量共线定理可得，然后化简可证，由此可证明. 【详解】延长到M，使，连接，得平行四边形． 由平行四边形法则得． 由于，所以共线且同向，根据平面向量基本定理，存在正实数，使． 由三角形法则得且， 所以， 所以． 由于E，D不共点，所以． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】假设与共线，利用平面向量共线的判定定理得到给定条件求解即可. 【详解】若与共线，则，得到， 化简得，故， 因为，所以我们讨论是否为， 当时，得到或，但时，一定满足， 当时，则，此时满足， 则与共线的条件为或，故D正确. 故选：D． 2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】正确的选项能推出，而推不出正确的选项； 【详解】根据题意，正确的选项能推出，而推不出正确的选项； 所以正确选项满足“向量同向，且模不相等”即可，排除B，D， C选项中，是充要条件， 故选：A 3．（2024高三·全国·专题练习）共线向量定理 如果存在唯一的实数，使得，则 ． 【答案】 【分析】根据共线向量定理，即可填写. 【详解】如果存在唯一的实数，使得，则． 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以得出向量平行关系及四点不共线线线平行得证. 【详解】（）， 因为 ， 所以，又P、Q、A、B四点不共线， 所以. 【经典例题三 已知向量共线(平行)求参数】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点共线问题转化为​向量平行条件​​，即可得解. 【详解】由三点共线，则存在实数使得， ，， 由共线性质，则有， 因为不共线，得系数关系，消去，得. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·广东清远·期中）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，向量与相互垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直，即可根据数量积的运算律求解， （2）根据共线定理即可求解. 【详解】（1）由于与相互垂直，故， 即，解得， （2）由于与共线，则存在实数，则， 故，解得， 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且， 所以 又因为三点共线，且， 所以 可得， 即 解得 所以 故选： 2．（24-25高一下·黑龙江·月考）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，根据向量的和差等运算规律得出，然后结合向量共线定理即可求解. 【详解】由题知由于 ，是空间中两个不共线的向量， 且有， ，， 所以， 因为三点共线， 所以， 所以存在实数，使得， 所以， 所以. 故选：D 3．（24-25高一下·四川成都·月考）已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 【答案】 【分析】由，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】向量与共线， 所以， 所以，解得， 故答案为： 4．（24-25高一下·云南昭通·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，又与有公共点，即可证明； （2）由已知可设，根据是两个不共线的向量，即可求解. 【详解】（1）由已知得， 因为，所以， 又与有公共点， 所以三点共线； （2）由（1）知，若，且， 可设， 所以， 即， 又是两个不共线的向量，所以， 解得. 【经典例题四 平面向量共线定理的推论】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由重心以、表示，根据题目条件转化为、，最后由三点共线求得. 【详解】由于为的重心，所以， 由于、、三点共线，所以，， 故选：B. 【例2】（2025高三上·全国·专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且 （1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线； （2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由原式可代换为，再由，两式联立变形即可求证； （2）由A，P，B三点共线，可得，变形得，整理成关于的表达式，再结合，由对应关系即可求证 【详解】（1）证明： 若m+n=1，则，， 故，即， ，即共线，又有公共点，则A，P，B三点共线； （2）证明： 若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得，变形得，即，，又，，故 1．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三点共线的向量表示即可求解. 【详解】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C 2．（多选）（2025·广东珠海·一模）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则，分析可得，利用基本不等式可判断各选项的正误. 【详解】先证明结论：若、、三点共线，点为直线外一点，且，则. 证明：因为、、三点共线，可设，即， 所以，，所以，. 、为正实数，，即，故， ，且、、三点共线，， ∴当且仅当，时取等号， ，当且仅当，时取等号. 故选：BD. 3．（24-25高二上·广东清远·期中）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点，存在三个不全为0的实数a，b，c使，那么的值为 . 【答案】0 【分析】利用共线向量定理列出向量等式，再借助向量减法用表示即可得解. 【详解】因三点共线，则存在唯一实数使，显然且， 否则点重合或点重合，则， 整理得，存在三个不为0的实数， 使，此时. 故答案为：0 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ． (1)求的长； (2)若 求的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）首先根据角平分线性质将向量表示出来，然后将等式两边平方可求得结果. （2）首先用向量将向量表示出来，进而可求出 向量的表达式，利用垂直向量的数量积为0，即可求出的值. 【详解】（1）因为为的平分线，， 所以，所以， 所以， 所以 ， 所以. （2）根据题意知，，， 所以 因为 所以 又因为三点共线，则② 由①②可得： . 【经典例题五 基底的概念及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的性质，判断是否共线即可求解. 【详解】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D 【例2】（24-25高一下·浙江金华·期末）已知是夹角为的两个单位向量，. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）根据向量不平行，的系数比值不相等可解； （2）根据，结合数量积运算性质即可得解； （3）将向量模转化为数量积，根据二次函数性质可得. 【详解】（1）因为可以作为一组基底，所以不平行， 又不共线，所以，即， 所以，实数的取值范围为. （2）因为垂直，所以， 即， 又， 所以，解得. （3）因为， 所以，当时，取得最小值3， 所以的最小值为. 1．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理逐一判断即可. 【详解】对于A，，所以两向量共线，故A错误； 对于B，，所以两向量共线，故B错误； 对于C，，所以两向量共线，故C错误； 对于D，若存在实数，使得，即，所以无解， 即这两个向量不共线，可以作为平面的一基底，故D正确； 故选：D 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据基底的概念，分别判断四个选项中的向量是否共线即可. 【详解】对于A选项：，共线，故不能构成基底； 对于B选项：，共线，故不能构成基底； 对于C选项：，共线，故不能构成基底； 对于D选项：假设与共线，由题他们均为非零向量，故存在非零实数，使得：，整理得：，故共线，与是平面内所有向量的一个基底矛盾，故假设不成立，所以与不共线，可以构成基底. 故选：D. 3．（2025高一·全国·专题练习）平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝ .我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【答案】 【分析】平面向量的分解定理填空即可 【详解】平面向量的分解定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 故答案为： 4．（24-25高二下·辽宁·开学考试）设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：可以作为一个基底； (2)若向量，试用基底表示． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）假设，共线，则存在实数，使得，推出，共线，与，是不共线的非零向量矛盾，即可得证． （2）设，得，解得，，即可得出答案． 【详解】（1）假设，共线，所以存在实数，使得， 即，整理得， 则，共线，这与，是不共线的非零向量矛盾， 所以假设不成立，即与不共线，所以可以作为一个基底； （2）设 ， 因为，是不共线的非零向量， 所以，解得， 所以． 【经典例题六 用基底表示向量】 【例1】（25-26高三上·云南·期中）在梯形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 【例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知平行四边形，是的中点，与相交于点，设，，用表示． 【答案】，，， 【分析】利用向量的加法、减法和数乘运算化简即可. 【详解】①； ②； ③几何法：因为，所以，即． 回路法：因为，且，， 所以，即， 所以． ④． 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为 ， 所以， 即 ， 所以， 故选：C 2．（24-25高二下·广东韶关·期末）如图，中，，，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得出关于、的表达式. 【详解】在中，，，故， ， 因此. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，，，，为边中点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】找到两个基底，，然后用两个基底向量表示和，再通过向量的运算即可得 【详解】 ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量的基本定理得出关于、的表达式，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）在中，为边上的点，且，则， 所以，解得. （2）因为为的中点，所以， 所以 . 【经典例题七 平面向量基本定理的应用】 【例1】（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量基本定理，和平面向量运算方法，用基底表示目标向量. 【详解】 如图所示，. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由平面向量基本定理，可设，结合和，推得，，即得的取值范围. 【详解】因点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动， 故存在，使 ， 依题意，，则，因，则. 故实数的取值范围为. 1．（24-25高一下·重庆·期中）在中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共线向量及向量的加减运算，再结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】由，，，， 则，， 所以有， 又因为，所以， 故选：B . 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，， 所以. 故选：B. 3．（25-26高三上·安徽·月考）已知G是△ABC的重心，点M满足，则，则 ． 【答案】 【分析】设的中点为，利用向量的线性运算求得，结合已知条件以及平面向量的基本定理求得. 【详解】设的中点为，则三点共线， 则 所以，，所以． 故答案为： 4．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量三角形法则可得：，，，化简整理即可得出； （2），，三点共线，可得存在实数使得，又，，可得，又，可得，再利用向量基本定理即可得出． （3）由向量的线性运算得，，然后结合数量积的运算律得，利用二次函数性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，化简为． （2）因为，，三点共线，所以， 因为，，所以， 又， 所以， 所以解得． （3）因为点E是线段AC上的动点，设，因为， 所以， 所以，， 所以， 故当时，取到最小值． 【经典例题八 利用平面向量基本定理求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算可将转化为，根据得到的值，进而即可求解． 【详解】由，得，又， 则，则， 则，， 故，，解得，，则． 故选：C. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，设D，E分别为的边上的点，且有，，若，求的值． 【答案】 【分析】用为基底表示出，求得后可得． 【详解】因为，， 所以， 又，∴， 所以． 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）在扇形AOB中，，P是弧AB上一点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底表示的几何意义，结合几何图形，即可求解. 【详解】如图，，，四边形是矩形， 所以，，所以.    故选：D 2．（25-26高三上·山西吕梁·月考）在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合向量的线性运算将用和表示出来即可求解. 【详解】设，所以， 则，，故; 故选：B 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，与不共线，假设求出即可得出答案. 【详解】由题意可知，与不共线， 设与共线，因，则，使得， 即， 因为，不共线，结合平面向量基本定理可得，，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高一下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合是的中点，即可求解； （2）由（1），得到，，结合三点共线得出向量的线性关系，列式即可求解. 【详解】（1）因为是的中点，由向量的线性运算法则， 可得：， . （2）由三点共线，， 又因为，，所以， 所以 由三点共线，所以 所以. 【经典例题九 用坐标表示平面向量】 【例1】（24-25高一下·陕西·期中）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 【例2】（24-25高一·全国·课堂例题）如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．    【答案】． 【分析】根据平面向量基本定理，结合基底的定义进行求解即可. 【详解】，分别是x轴和y轴上的单位向量，并且相互垂直，因此不共线，则，组成平面上的一组基． 在轴上取与横坐标相同的点，则与轴平行或共线． 在轴上取与纵坐标相同的点，则与轴平行或共线． 因此． 由，的坐标可知，， 因此，即在基下的坐标为． 1．（24-25高一下·四川南充·期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】先确定向量与轴正方向的夹角，再利用旋转的角度可求答案. 【详解】因为，所以向量与轴正方向的夹角为， 向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则与轴正方向的夹角为， 此时点在轴上，点的横坐标为0. 故选：C. 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐标即可. 【详解】由题意得，. 故选：A 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【答案】 【分析】由中点坐标以及向量坐标，可得答案. 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则， 故答案为：. 4．（24-25高一下·北京·月考）在直角梯形中，已知，点是边上的中点，点是边上一个动点. (1)若，求的值； (2)当点在边上运动时，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，求出的坐标，应用向量数量积的坐标表示求. （2）设，可得，由二次函数的性质求闭区间上的值域，即可得答案. 【详解】（1）由，以为原点，如图建立平面直角坐标系， 由和得：， 若，则为中点，， 因此，，则； （2）当在边上运动时，设， 因此，则， 由于在上递增，在上递减， 且， 故在上的值域为， 因此，的取值范围是. 【拓展训练一 平面向量共线定理证明相关问题】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 【例2】（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）用，表示向量、，从而得到，即可得证. 【详解】（1）根据题意可作出下图    ∵，∴，∴， ∴. （2）因为，所以， 所以， 由，所以， 所以， 所以，所以， 所以, 1．（24-25高一下·湖南张家界·月考）下列命题不正确的是（    ） A．向量与共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使 B．在△ABC中， C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量与不共线，则向量+与向量-必不共线 【答案】ABC 【分析】A. 由判断；B.由判断；C. 由判断；D.假设向量+与向量-共线判断. 【详解】A. 当时，有无数个λ，使，故错误； B.在△ABC中，，故错误； C. 当时，不等式化为，则两个等号同时成立，故错误； D.因为向量与不共线，所以，，都不是零向量，若向量+与向量-共线，则存在实数，使得，则，无解，故假设不成立，故向量+与向量-必不共线，故正确； 故选：ABC 2．（多选）（24-25高一下·甘肃平凉·月考）下列说法中不正确的是（    ） A．与的方向不是相同就是相反（为实数） B．若共线，则（为实数） C．若，则． D．若，则． 【答案】ABC 【分析】根据向量数乘以及共线的相关概念，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，，此时其方向是任意，故A错误； 对于B，当时，不存在，故B错误； 对于C，由题意可作图如下： 显然，但的夹角为，故C错误； 对于D，根据向量数乘的相关概念，故D正确. 故选：ABC. 3．（2025高一·全国·专题练习）已知点A(0，0)，B(，0)，C(0，1)．设AD⊥BC于D，那么有其中λ＝ . 【答案】/ 【分析】由题得C、D、B三点共线，再求出,即得解. 【详解】如图，， 由于AD⊥BC，且所以C、D、B三点共线， 由题得,所以. 所以.即λ＝. 故答案为： 4．（24-25高一下·广东韶关·月考）已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)， (2)三点共线，证明见解析 【分析】（1）对于向量的线性运算，依据向量的数乘和加减运算法则进行；（2）判断三点共线则是通过证明两个向量共线且有公共点来实现. 【详解】（1）由题意得， . （2）A，B，C三点共线． 理由如下：因为， ， 所以，则．又与有一个公共点A，所以A，B，C三点共线. 【拓展训练二 平面向量基本定理的求值及应用】 【例1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 所以， 因为、不共线，且，所以，， 故. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·广东·期末）如图，在中，已知为线段上一点，，． (1)求实数，的值； (2)若，，且与的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据平面向量基本定理可得：，整理可得结果. 根据平面向量基本定理可得：．,根据数量积运算法则，代入模长和夹角，整理即可. 【详解】（1）由可得：. 整理得：. . . （2）由知；且，且与的夹角为. . 即. 1．（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围. 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．（多选）（24-25高一下·四川成都·月考）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设，其中，利用平面向量的线性运算可得出，求出的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为在线段上，设，其中，则， 所以，， 因为为的中点，则，所以，， 又因为且、不共线，则， 所以，，故ACD选项满足条件. 故选：ACD. 3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在梯形中，，，连接交于点，则 ． 【答案】 【分析】设，可得，，可得，利用向量相等关系求解即可. 【详解】设，因为， 所以， 所以 因为三点共线，设， 所以， 则， 所以，解得：； 所以； 故答案为： 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知平行四边形ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．    【答案】. 【分析】结合图形，由向量的基本定理设，为一组基底，构造相关向量在同一对基底下的两种不同表达式，再由对应系数相等列出方程组解之. 【详解】设，为一组基底，则 ∵，. ∴ 设，则 . 易求得. 又B、K、F三点共线，∴存在实数t，使， 即， 由平面向量基本定理得， ∴，即. 1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出向量、的表达式，由题意可知存在，使得，结合平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为、、三点共线，所以存在，使得， 即， 因为、是平面内的一组基底，所以，解得，． 故选：D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由，，排除ABC，由可说明D符合题意. 【详解】，是平面内的一组基底， ，，， 因为，，， 则与，与，与不共线， 所以不共线，不共线，不共线，故排除ABC， 注意到， 即，所以点是线段的中点，故D符合题意. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设得，进而有，根据三点共线有，即可得. 【详解】由，得，则， 因为B，P，N三点共线，所以，所以. 故选：B 4．（24-25高一下·上海·月考）下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】取分析说明①②，利用向量数量积及向量模的性质判断③，利用向量共线基本定理验证向量是否共线即可判断④. 【详解】①当时，若，则， 但此时对任意实数都成立， 此时不唯一，所以①错误； ②当时，，此时与不一定相等，故②错误； ③， 其中不一定为1，所以③错误； ④若向量，可以组成平面向量的一个基底，则向量，不共线， 设向量，共线， 则存在实数，使得 因为向量，不共线， 所以，方程组无解， 所以不存在实数，所以，亦不共线， 所以，可以组成平面向量的一个基，所以④正确； 故选：A． 5．（24-25高一下·浙江·期末）如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】以以为轴建立平面直角坐标系，设，则有，因此求出点坐标即可，易知，从而得，故得结论． 【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，设，则， ，即， ， ，又， 中，设，则，所以，所以， ． 故选：D． 【点睛】思路点睛：本题考查平面向量的线性运算，解题方法是建立平面直角坐标系,设，则是点坐标，求得长即可得． 6．（多选）（24-25高一下·吉林·月考）设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．，的夹角为钝角 D．若实数使得成立，则为负数 【答案】AD 【分析】根据平面向量的模长、线性运算的概念以及向量模长的三角不等式判断即可得出结论. 【详解】由可知，不会同向共线，因此： 对于A，当，不共线时，根据向量的减法法则可得， 当，反向共线时，，即可得，即A正确， 对于B，由A中等号成立的条件，可得B错误； 对于C，当，的夹角为锐角时，根据向量加法的平行四边形法则可得，即C错误； 对于D，若实数使得成立，则，共线， 由于，则，反向共线，所以为负数，即D正确. 故选：AD 7．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（    ） A．非零向量和满足，则与的夹角为 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．若，则在方向上的投影向量的模为 D．若，，则 【答案】ABC 【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A；由即可判断B；根据投影向量的定义判断C；举特例即可判断D. 【详解】对于A，由，， 所以，即， 所以， 所以， 所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由，，所以，则与共线， 所以与不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C，，则或， 则在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于D，当时，满足，，而不一定平行，故D错误. 故选：ABC. 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知在等腰梯形ABCD中，，，点P，Q分别是AB，BC所在直线上的动点，且，，连接PQ并延长与DC的延长线交于点M，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若ADMP为平行四边形，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由向量的线性运算可判断AB；根据四边形ADMP为平行四边形时，可得，再由模长关系即可确定C；由题可得，再由三点共线即可判断D. 【详解】因为，所以，，，A错误； 因为，所以，，，B正确； 过作，在等腰梯形ABCD中，，所以， 当四边形ADMP为平行四边形时，，即， 所以，即，又，所以，C正确； 当时，C是DM的中点，则， 因为点P，Q，M共线，所以，故，D错误． 故选：BC. 9．（多选）（24-25高一下·河北邢台·月考）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 【答案】BCD 【分析】设，，结合平面向量基本定理得出对应系数关系，计算求解判断各个选项. 【详解】设，， 则. 因为，所以， 所以，故A错误，B，C，D正确. 故选：BCD. 10．（多选）（25-26高三上·山西运城·期末）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】取CN的中点H，连接MH，易得，，从而，再逐项判断. 【详解】如图， 取CN的中点H，连接MH，则，且，所以，且，所以，所以，即． 对于A，，故A选项正确； 对于B，，故B选项正确； 由，可得， 即， 即，所以， 当且仅当，即时， 取得最小值为，故C选项错误，D选项正确． 故选:ABD 11．（24-25高一下·山东·月考）如图，在中，，D是BC中点，，AD与BE，BF分别交于G，H两点．若，则 ， ． 【答案】 /0.4 /0.32 【分析】由三点共线及三点共线可有两种方式将用表示，由对应系数相等可求得值；使用计算. 【详解】因为，，所以， 又三点共线，所以，所以， 又，所以， 所以，， 因为，所以，所以， 在直角中，由勾股定理得， 所以， ， 所以， 故答案为：；. 12．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知，不共线，，，当与共线时实数的值为 . 【答案】 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】和共线，，不共线， ，即，即，解得. 故答案为：. 13．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【分析】先根据得到，从而可得，再根据共线定理的推论，即可得到的值. 【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 14．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，点P，Q满足，.若，则 . 【答案】 【分析】由进行求解． 【详解】由，得， 由，得， 则 ， 得， 则， 故答案为： 15．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】利用向量的坐标表示求解． 【详解】如图，延长交轴于，由已知， ，， 由题意，，， 又，所以， ， 所以点坐标为． 故答案为：． 16．（24-25高一下·云南·期中）如图，在中，. (1)用表示； (2)若点满足，证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）应用向量的线性关系结合向量的减法计算求解； （2）根据已知得出进而证明三点共线. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. 同理， 所以. （2）由， 可得. 又， 所以，又因为有公共点， 所以三点共线. 17．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三点共线、得，用表示出，根据向量共线可得，进而求得即可求解； （2）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由三点共线，且，可知， 在等腰梯形中，由，， 可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以. （2）由（1）知，又， 则， 分别过作的垂线，垂足分别为，    因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以. 18．（25-26高三上·河北保定·月考）如图，在中，. (1)证明：； (2)求的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先连与相交于，再根据中线和重心的性质，结合向量的线性运算，即可证明； （2）首先设向量，以向量为基底，表示向量和，再根据向量数量积公式，求向量夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图，连与相交于， 由三角形的三条中线交于一点，有， 有. （2）设，有， 又由， ， 有， ， 有， 有. 19．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 【答案】(1)-28 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据向量的线性运算可得，即可根据数量积的运算律求解 （2）（i）方法一：根据，即可根据相反向量化简求解；方法二：连接，利用中位线的性质求解，（ii）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）因为 ， 由得， 所以 . （2）（i）方法一： 因为， 因为的中点分别为， 所以，即， 由不共线得. 方法二： 连结，取的中点， 则， 由不共线得. （ii）因为 ， 所以. 20．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.    (1)设，用和表示，并求实数t的值； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，结合题意求得、、的坐标，然后求出，，结合平面向量基本定理求出和表示的式子，再根据B、P、D三点共线，列式算出实数t的值； （2）根据平面向量的坐标运算法则求出，然后根据向量模的公式，结合二次函数的性质求出求的取值范围. 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则，，，， 可得，，， 则， 根据平面向量的加法法则，可得， 设， 可得，解得， 所以；若， 则根据B、P、D三点共线，可知存在实数m，使， 所以，解得. （2）因为，， 可得， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 平面向量基本定理重难点题型专训 （2个知识点+9大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量共线定理证明点共线问题 题型二 平面向量共线定理证明线平行问题 题型三 已知向量共线(平行)求参数 题型四 平面向量共线定理的推论 题型五 基底的概念及辨析 题型六 用基底表示向量 题型七 平面向量基本定理的应用 题型八 利用平面向量基本定理求参数 题型九 用坐标表示平面向量 拓展训练一 平面向量共线定理证明相关问题 拓展训练二 平面向量基本定理的求值及应用 知识点一： 平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知在中，且，则的值为（   ） A． B． C．2 D．3 2．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）在中，点满足，若，则 ． 知识点二： 平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 【即时训练】 1．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）如图，在的菱形网格（每个小菱形的边长均为1）中，向量与的夹角为，则（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·上海·课后作业）平面直角坐标系内，为坐标原点，若点，则向量的向量正交分解形式是 ． 【经典例题一 平面向量共线定理证明点共线问题】 【例1】（24-25高一下·陕西西安·期中）已知平面向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）判断下列各小题的向量与是否共线. (1)； (2)； (3). 1．（25-26高二上·全国·课后作业）设空间四点O、A、B、P满足，其中，则有（    ） A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段BA的延长线上 D．点P不一定在直线AB上 2．（24-25高一下·山东青岛·期中）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．（24-25高二上·新疆阿克苏·月考）已知，，，则点A、B、C、D中一定共线的三点是 . 4．（24-25高一下·河南·月考）已知的外心为点O，且（），P为边AB的中点． (1)求证：； (2)若，求的余弦值． 【经典例题二 平面向量共线定理证明线平行问题】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）若，且，则四边形ABCD是（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．不等腰的梯形 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，已知梯形中，，E，F分别是的中点，求证：． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，，，则与共线的条件为（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一下·重庆沙坪坝·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．且 3．（2024高三·全国·专题练习）共线向量定理 如果存在唯一的实数，使得，则 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：. 【经典例题三 已知向量共线(平行)求参数】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东清远·期中）已知，是两个不共线的向量. (1)若，，向量与相互垂直，求实数的值； (2)若向量与共线，求实数的值. 1．（24-25高一下·河南·期中）如图，在中，，，且与交于点M，设，则（   ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25高一下·黑龙江·月考）设 ， 是空间中两个不共线的向量，已知， ， ，且三点共线，则的值为（ ） A．3 B． C．9 D． 3．（24-25高一下·四川成都·月考）已知是两个不共线的向量，且向量与共线，则 ． 4．（24-25高一下·云南昭通·期中）设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若且，求实数的值． 【经典例题四 平面向量共线定理的推论】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例2】（2025高三上·全国·专题练习）已知O，A，B是不共线的三点，且 （1）若m+n=1，求证：A，P，B三点共线； （2）若A，P，B三点共线，求证：m+n=1. 1．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·广东珠海·一模）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，、为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 3．（24-25高二上·广东清远·期中）已知A，B，C三点共线，则对空间任一点，存在三个不全为0的实数a，b，c使，那么的值为 . 4．（24-25高一下·浙江·月考）已知三角形中，， 为边上的高， 为边上的中线， 为的平分线，为边上的点 ． (1)求的长； (2)若 求的值； 【经典例题五 基底的概念及辨析】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·浙江金华·期末）已知是夹角为的两个单位向量，. (1)若可以作为一组基底，求实数的取值范围； (2)若垂直，求实数的值； (3)求的最小值. 1．（24-25高一下·湖南邵阳·月考）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州遵义·月考）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025高一·全国·专题练习）平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝ .我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 4．（24-25高二下·辽宁·开学考试）设，是不共线的非零向量，且，． (1)证明：可以作为一个基底； (2)若向量，试用基底表示． 【经典例题六 用基底表示向量】 【例1】（25-26高三上·云南·期中）在梯形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·全国·专题练习）如图，已知平行四边形，是的中点，与相交于点，设，，用表示． 1．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东韶关·期末）如图，中，，，设，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，，，，为边中点，，则的值为 ． 4．（24-25高一下·山西吕梁·月考）如图，在中，为边上的点，且，是的中点， 设，. (1)试用、表示； (2)若|，，且与的夹角为，求. 【经典例题七 平面向量基本定理的应用】 【例1】（24-25高一下·山东泰安·期末）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围． 1．（24-25高一下·重庆·期中）在中，点D，N分别满足，，若，，，则有序实数对为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽·月考）已知G是△ABC的重心，点M满足，则，则 ． 4．（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在梯形中，，且，设，． (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值． (3)若，，，且点E是线段AC上的动点，求的最小值. 【经典例题八 利用平面向量基本定理求参数】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（   ） A．7 B．9 C．11 D．13 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，设D，E分别为的边上的点，且有，，若，求的值． 1．（25-26高三上·江苏南通·期中）在扇形AOB中，，P是弧AB上一点，且，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山西吕梁·月考）在平行四边形中，是的中点，点在线段上．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，是的中点. (1)用向量表示向量； (2)若为上一点，且，求的值. 【经典例题九 用坐标表示平面向量】 【例1】（24-25高一下·陕西·期中）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·全国·课堂例题）如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．    1．（24-25高一下·四川南充·期末）已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为（    ） A． B． C．0 D．1 2．（2024高一下·全国·专题练习）如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 4．（24-25高一下·北京·月考）在直角梯形中，已知，点是边上的中点，点是边上一个动点. (1)若，求的值； (2)当点在边上运动时，求的取值范围. 【拓展训练一 平面向量共线定理证明相关问题】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【例2】（25-26高一·全国·假期作业）在中，M、N、P分别在DC、CB、AD上，又，，设，. (1)试用，表示向量； (2)求证：. 1．（24-25高一下·湖南张家界·月考）下列命题不正确的是（    ） A．向量与共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使 B．在△ABC中， C．不等式中两个等号不可能同时成立 D．若向量与不共线，则向量+与向量-必不共线 2．（多选）（24-25高一下·甘肃平凉·月考）下列说法中不正确的是（    ） A．与的方向不是相同就是相反（为实数） B．若共线，则（为实数） C．若，则． D．若，则． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知点A(0，0)，B(，0)，C(0，1)．设AD⊥BC于D，那么有其中λ＝ . 4．（24-25高一下·广东韶关·月考）已知两个非零向量与不共线，且． (1)用表示； (2)猜想A，B，C三点之间的位置关系，并证明你的结论． 【拓展训练二 平面向量基本定理的求值及应用】 【例1】（24-25高一下·河南洛阳·期中）在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东·期末）如图，在中，已知为线段上一点，，． (1)求实数，的值； (2)若，，且与的夹角为，求的值． 1．（2025·北京·模拟预测）如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·四川成都·月考）如图，正方形中，为中点，为线段上的动点，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在梯形中，，，连接交于点，则 ． 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知平行四边形ABCD边AB的中点为E，F为AD上的一点，且，BF、CE交于点K，求的值．    1．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知、是平面内的一组基底，，，，若、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏镇江·期末）设，是平面内的一组基底，，，，则共线的三点为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上一点．设，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·上海·月考）下列命题中，正确的命题个数是（   ） ①若，则一定存在唯一的实数λ，使得； ②若，则； ③； ④若，可以组成平面向量的一个基，则，可以组成平面向量的一个基． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25高一下·浙江·期末）如图两块斜边相等的直角三角板拼在一起，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（多选）（24-25高一下·吉林·月考）设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．，的夹角为钝角 D．若实数使得成立，则为负数 7．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（    ） A．非零向量和满足，则与的夹角为 B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底 C．若，则在方向上的投影向量的模为 D．若，，则 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知在等腰梯形ABCD中，，，点P，Q分别是AB，BC所在直线上的动点，且，，连接PQ并延长与DC的延长线交于点M，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若ADMP为平行四边形，则 D．若，则 9．（多选）（24-25高一下·河北邢台·月考）在等腰梯形中，，P是线段上的一个动点，且，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．n的取值范围是 C．是定值 D．的最大值是 10．（多选）（25-26高三上·山西运城·期末）如图，在中，，BM交CN于点E，且，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 11．（24-25高一下·山东·月考）如图，在中，，D是BC中点，，AD与BE，BF分别交于G，H两点．若，则 ， ． 12．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知，不共线，，，当与共线时实数的值为 . 13．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    14．（24-25高一下·北京顺义·期末）在中，点P，Q满足，.若，则 . 15．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知O为平面直角坐标系的原点，，，．若，则点D的坐标为 ． 16．（24-25高一下·云南·期中）如图，在中，. (1)用表示； (2)若点满足，证明：三点共线. 17．（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）如图，在等腰梯形中，是边上一点（含端点），与交于点，若，且设.    (1)若，求的值； (2)求的取值范围. 18．（25-26高三上·河北保定·月考）如图，在中，. (1)证明：； (2)求的余弦值. 19．（24-25高一下·江苏泰州·期末）如图，已知的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 20．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在梯形中，已知，，，点E、F分别在直线和上，且，，连接交于点P.    (1)设，用和表示，并求实数t的值； (2)求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $