专题9.2 向量运算重难点题型专训（3个知识点+21大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学讲义通过知识框架图系统构建向量运算的知识体系，梳理加法与减法运算、数乘运算、数量积3个核心知识点，用对比表格呈现三角形法则与平行四边形法则的异同，思维导图展示线性运算与数量积的内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于21大题型的分层设计，从基础的向量加减法法则到综合的三角形心的向量表示，结合卫星平移等实际情境例题，培养数学思维与运算能力。拓展训练融入蜂巢结构等生活案例，帮助学生用数学语言表达现实问题，支持教师实施精准分层教学。

专题9.2 向量运算重难点题型专训 （3个知识点+21大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 向量加法的法则 题型二 向量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 相反向量 题型五 向量减法的法则 题型六 向量减法的运算律 题型七 向量减法法则的几何应用 题型八 向量数乘的有关计算 题型九 平面向量的混合运算 题型十 向量的线性运算的几何应用 题型十一 三角形的心的向量表示 题型十二 根据向量关系判断三角形的心 题型十三 平面向量数量积的定义及辨析 题型十四 平面向量数量积的几何意义 题型十五 用定义求向量的数量积 题型十六 数量积的运算律 题型十七 已知数量积求模 题型十八 向量夹角的计算 题型十九 垂直关系的向量表示 题型二十 已知模求数量积 题型二十一 已知模求参数 拓展训练一 向量的加减法运算及应用 拓展训练二 向量的数乘计算及应用 拓展训练三 向量的数量积应用 知识点一：加法运算与减法运算 一、向量的加法 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 二、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 【即时训练】 1．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，进行化简，即可求解. 【详解】由向量的线性运算法则，可得. 故选：A. 2．（2025高一·全国·专题练习）化简： ； ． 【答案】 【分析】先根据向量加法的三角形法则，即首尾相连特性和代数运算，合并或抵消中间项即可得到第一个空的答案；再根据向量减法法则，共起点，差向量指向被减向量，然后利用相反向量把转化为，最后化简即可得到第二个空答案. 【详解】  ，． 故答案为： 知识点二：数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减法的三角形法则，将转化为与和有关的表达式，再结合已知条件进行化简 【详解】在平行四边形ABCD中，，则， 所以 故选：B. 2．（2025高一·全国·专题练习）在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 【答案】4 【分析】连接，结合题意，利用平面向量的线性运算得到，再由三点共线即可得解. 【详解】连接，如图所示. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因为，，三点共线，所以，则. 故答案为：4. 知识点三：数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【分析】由向量的数量积运算可得，即，同理可证即可得出结果. 【详解】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的性质及向量的数量积公式进行计算即可. 【详解】， ， ， 因此. 故答案为：. 【经典例题一 向量加法的法则】 【例1】（24-25高一下·江苏·阶段练习）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加法运算. 【详解】. 故选：D 【例2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．    【答案】作图见解析 【分析】 利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作图。 【详解】 利用三角形法则作，如图①所示，作，以A为起点，作， 再以B为起点，作，则， 利用平行四边形法则作，如图②所示，作，，， 以，为邻边作，则， 再以，为邻边作，则．    1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的加法法则求解. 【详解】根据平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则，得. 故选：B. 2．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加法的三角形法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 【答案】1 【分析】根据菱形的几何性质，由向量线性运算以及模长的概念，可得答案. 【详解】连接，由题意可得是边长为1的等边三角形，所以． 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据向量的运算律计算求解即可. 【详解】（1）根据向量加法运算律得； （2）根据向量加法运算律得； 【经典例题二 向量加法的运算律】 【例1】（24-25高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加法的运算律计算可得； 【详解】解： 故选：B 【例2】（2025高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 【答案】(1). (2). 【分析】 （1）（2）直接利用向量的加法运算律即可求解. 【详解】（1）. （2）. 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 2．（25-26高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算律判断 【详解】因为向量的加法满足交换律和结合律， 所以，，，，都等于， 故选：A 3．（24-25高一下·全国·课前预习）向量加法的交换律和结合律 向量加法的交换律: 向量加法的结合律 【答案】 【分析】利用向量加法的交换律和结合律即可得到答案. 【详解】向量加法的交换律:; 向量加法的结合律:; 故答案为：； 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）根据向量线性运算的法则化简求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）． 【经典例题三 向量加法法则的几何应用】 【例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量平移法则可得点经三次平移后，坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】解：因为点沿向量后，坐标为； 点沿向量平移后，坐标为； 点向量平移后，坐标为． 又因为经三次平移后，坐标为， 所以，解得. 故选：C. 【例2】（24-25高一·全国·单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】表示出，，相加结合已知，即可得出证明. 【详解】因为， ， 所以. 又因为，所以. 1．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 2．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，运用向量的加法法则，即可得到答案. 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 3．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）已知，，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】根据向量模长的三角不等式求解即可． 【详解】，当且仅当与同向时取等号， 故答案为：6． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【分析】（1）应用三角形法则得出； （2）应用平行四边形法则得出. 【详解】（1）在平面内任取一点，作，，再作向量，则． （2）在平面内任取一点，作，，以OA，OB为邻边作，则． 【经典例题四 相反向量】 【例1】（24-25高二·全国·课后作业）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为实数0 C．与方向相同 D． 【答案】D 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误； ，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）P、Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP=QC，求证： 【答案】见解析 【详解】试题分析：根据向量加法三角形法则表示，再根据相反向量和为零向量得结果. 试题解析： +=+++ ∵  =   ∴  += ∴  + = + 1．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 2．（2024高三·全国·专题练习）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 【答案】A 【分析】根据相反向量的定义，即可判断选项. 【详解】非零向量与是相反向量，则有，即，，且方向相反． 故选：A 3．（25-26高一上·全国·课后作业）窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且E、F、G、H分别是AF、BG、CH、DE的中点，则与相等的向量为 ，的负向量为 ． 【答案】 【分析】根据相等向量和负向量的定义确定正确结论. 【详解】因为四边形为正方形，所以，且， 又E、F、G、H分别是AF、BG、CH、DE的中点，所以， 所以相等的向量有， 的负向量有. 故答案为：，. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由是的中位线，且D为的中点，结合向量相等的概念得到与向量相等的向量； （2）由分别是的中位线，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点，结合相反向量概念可得与向量相反的向量. 【详解】（1）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,, 与，方向相同且长度相等，故与相等的向量有，． （2）因为E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点, 所以,,,, 则与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，； 与相反的向量有，，． 【经典例题五 向量减法的法则】 【例1】（2025高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 【例2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    【答案】作图见解析 【分析】根据向量减法的三角形法则作出图形. 【详解】在平面内任取一点，作向量，，则向量， 再作向量，则向量，即为所求作向量.    1．（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的几何意义求解即可. 【详解】因为，，， 所以有，即， 当和同向或反向时等号成立，所以的取值范围是， 故选：D 2．（25-26高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据向量减法运算，再求模. 【详解】. 故选：C 3．（25-26高一·全国·课前预习） . 【答案】 【分析】根据向量加法和减法运算法则，即可求解. 【详解】， . 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据向量的加减法法则化简即可. 【详解】（1）； （2） . 【经典例题六 向量减法的运算律】 【例1】（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、减法运算求解即可. 【详解】 故选：C. 【例2】（2024高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1). (2). (3) 【分析】根据平面向量的加法运算和减法运算法则可求出结果. 【详解】（1）. （2） . （3） . 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A不符合题意； 对于B中，由，所以B符合题意； 对于C中，由，所以C不符合题意； 对于D中，由，所以D不符合题意. 故选：B. 2．（2024高二下·河北·学业考试）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【答案】 【分析】求出的值，利用平面向量的线性运算化简向量，即可求得的值. 【详解】解：在矩形中，，， 则， 因为，，， 则， 因此，. 【经典例题七 向量减法法则的几何应用】 【例1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，确定的形状，进而确定此三角形费马点位置，再结合图形求解即得. 【详解】作向量，由，，得是腰长为的等腰三角形， ，而的所有内角均小于120°， 因此取得最小值的点是的费马点， ，则，点在斜边的中线上，如图， ，，， 所以的最小值为. 故选：B 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. 1．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 【答案】C 【分析】利用平面向量的减法法则结合给定条件得到，结合平行四边形性质和为线段的中点得到，进而求出结果即可. 【详解】如图，在平行四边形中，由向量的减法法则得， 因为，所以， 因为为线段的中点，所以， 由平行四边形性质得，故， 则为线段的中点，故C正确. 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形. 【详解】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 故选：D． 3．（24-25高一下·湖北恩施·期中）已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据平面向量加减法的运算方法，和三角形中位线的性质，求目标向量的模长. 【详解】如图所示： 因为AB是的中位线，所以，因为， 所以． 故答案为：2. 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【答案】2 【分析】利用相等向量转化，再求，再求模. 【详解】作，连结，则，    而， 所以，且， 所以. 【经典例题八 向量数乘的有关计算】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】变形给定等式可得共线，再利用数乘向量的意义求解即得. 【详解】由，得，则共线， 因此，整理得，而为非零向量， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用向量的数乘运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） 1．（24-25高一下·陕西渭南·期中）设是单位向量，，则四边形一定是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用共线向量及向量模的意义判断即得. 【详解】由，得，， 所以四边形一定是菱形. 故选：B 2．（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解即可. 【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD的中点， 则， 所以 . 故选：C. 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量 . 【答案】 【分析】取的中点E，连接，，由平面向量的加法和数乘运算可得结果. 【详解】如图，取的中点E，连接，， 由题意，得，， 则. 故答案为：. 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用同一向量的不同回路中的相反向量关系计算得证. （2）作出图形，可得中线向量公式. （3）利用向量共线，即可得中位线向量公式. 【详解】（1）由，得， 由和分别是和的中点，得， 所以. （2）当三点重合，记为点，如图，    在中，是的中点，得，这是中线向量公式. （3）当两点重合，记为点， 在中，分别是和的中点，得，这是中位线性质. 【经典例题九 平面向量的混合运算】 【例1】（25-26高一下·江苏·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】由平面向量的线性运算可得. 故选：C. 【例2】（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由，则. 故选：D. 2．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以. 故选：B 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 【答案】重 【分析】根据向量的线性运算，可得答案. 【详解】由，则， 取的中点为，如下图：    可得，所以动点必定在的中线所在直线上， 即点的轨迹一定通过的重心. 故答案为：重. 4．（24-25高一下·新疆喀什·阶段练习）化简：（1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据平面向量的线性运算化简整理即可求出结果. 【详解】（1）； （2）. 【经典例题十 向量的线性运算的几何应用】 【例1】（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 【例2】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．    (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【分析】（1）利用重心的特点和平面向量的加法法则计算即可； （2）利用向量加法的平行四边形法则和减法法则计算即可； （3）利用向量的加法法则和减法法则计算即可. 【详解】（1）如图，连接EF，∵G是的重心，∴．    又，∴由向量加法的三角形法则可知， ．在图中标出如图1.1-14所示． （2）连接AH，如图，因为E，F，H分别为CD，AD，BC的中点， 所以．在图中标出，如图所示． （3） ． 在图中标出，如图所示． 1．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】∵，∴ . 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设四边形中，且，则这个四边形是 ． 【答案】等腰梯形 【分析】根据相等向量定义，结合可得结果. 【详解】，且，∴四边形为梯形. 又，四边形为等腰梯形. 故答案为：等腰梯形. 4．（2025高一·全国·专题练习）在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，，记AC、BD相交于点M.结合平面向量的有关知识回答下列问题. (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，，，，，． 【分析】（1）根据向量的线性运算进行证明. （2）方向相同或相反的非零向量是共线向量，利用图中平行关系得到. 【详解】（1） 证明：因为E为AB的中点，所以， 则， 故. （2） 由，，则四边形为平行四边形， 由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有 ，，，，，，，，． 【经典例题十一 三角形的心的向量表示】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可. 【详解】解：取BC的中点D，如图所示， 连接OD，AM，BM，CM． 因为， 所以， 又，则， 所以， 又由于为的外心， 所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心． 故选：C． 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的重心，、、分别为、、中点， 所以，，， 所以， 所以． 1．（2024高一·全国·课后作业）若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【分析】利用向量的加法法则，结合重心定义判断作答. 【详解】取线段的中点，连接，则，而，    因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点， 所以是的重心. 故选：D 2．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）已知和点满足.若存在实数使得成立，则= A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】根据得到为重心，再根据（为的中点）得到的值． 【详解】由题根据，则为的重心．设点为底边的中点， 则，所以，故 ，选B. 【点睛】一般地，在中， （1）如果，则为的重心； （2）如果，则为的垂心； （3）如果（为的对边），则为的内心. 3．（24-25高一·全国·课后作业）在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据向量的数乘运算和三角形重心的定义求解. 【详解】因为，所以为三角形的重心，所以为的中点， 所以，所以. 故答案为: . 4．（24-25高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量线性运算的性质进行求解即可； （2）根据平面向量线性运算的性质，结合三角形重心的性质进行求解即可. 【详解】（1） ． （2） ．    【经典例题十二 根据向量关系判断三角形的心】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质即可判断. 【详解】由，得， 设边的中点为，则， 所以，因此三点共线， 所以点的轨迹一定通过的重心. 故选：C. 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知点O在所在的平面内，且，说明O是的内心还是外心. 【答案】点O是△ABC的外心 【解析】结合向量模的知识，以及三角形内心、外心的知识，判断出点O是△ABC的外心. 【详解】∵，∴点O到△ABC的三个顶点距离相等，∴点O是△ABC的外心. 【点睛】本小题主要考查向量模的概念，考查三角形内心、外心，属于基础题. 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（    ） A．重心  外心 B．重心  内心 C．外心  重心 D．外心  内心 【答案】C 【分析】由外心到三角形顶点距离相等、重心的性质：且，结合题设即可判断是△的哪种心. 【详解】∵， ∴到△的三个顶点的距离相等，故是△的外心， 如下图，若是△三条中线的交点，是上的中线， ∴，又， ∴，故题设中的是△的重心. 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【分析】利用向量的线性运算，结合向量共线及三角形重心性质判断即可. 【详解】由，得， 设边的中点为，则，于是， 即，因此点在射线上（除点外）， 所以点的轨迹必过的重心. 故答案为：重心 4．（2025高一·全国·专题练习）已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 【答案】证明见解析 【分析】抓住各心的几何特征，在图形上进行合理的构造，利用证明三点共线． 【详解】如图，作直径，连结，有，，，，， 故，，即四边形是平行四边形， 故． 由是的重心得， 所以，即三点共线． 【经典例题十三 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是    （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要比较的大小，可将其平方展开进行比较即可. 【详解】. . 因为，所以. 所以，所以. 故选：D. 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解； （2）由向量夹角的定义即可求解； （3）由向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）； （2）； （3）. 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由向量数量积的定义式可得,即可判断 【详解】， , 又 为三角形内角，是钝角， 即是钝角三角形. 故选：C. 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】，即，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 【答案】/0.5 【分析】根据向量投影的概念计算即可. 【详解】由题可知：向量在向量上的数量投影. 故答案为： 4．（24-25高一·全国·假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与、、相等的向量； (2)分别写出与、、共线的向量； (3)分别写出与，与的夹角； (4)分别写出与，与的夹角． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析. 【分析】（1）根据正六边形的性质以及相等向量的概念可得结果； （2）根据正六边形的性质以及共线向量的概念可得结果； （3）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果. （4）根据正六边形的性质以及向量夹角的概念可得结果. 【详解】（1）解：由正六边形的性质可知，与相等的向量有：、、， 与相等的向量有：、、， 与相等的向量有：、、. （2）解：与共线的向量有：、、、、、、、、， 与共线的向量有、、、、、、、、， 与共线的向量有：、、、、、、、、. （3）解：与的夹角，与的夹角. （4）解：与的夹角为，与的夹角. 【经典例题十四 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】依题意，， 因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影最大， 由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影最大， 此时在向量方向上的投影的数量为4，所以的最大值为. 故选：C 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）在等腰三角形中，，，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在等腰三角形中，根据已知条件求出与的夹角，然后利用投影的定义求解即可； （2）在等腰三角形中，利用等腰三角形的性质及已知条件求出，根据投影的定义求解即可. 【详解】（1）如图，连接AD．    由图可知与的夹角为的补角， 所以与的夹角为， 所以在方向上的投影为． （2）因为为等腰三角形，且为BC的中点，所以． 又，， 所以． 因为与的夹角为， 所以在方向上的投影为． 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用投影的意义求解即得. 【详解】向量，，与的夹角为， 所以向量在方向上的投影数量为. 故选：A 2．（24-25高一下·北京西城·期末）平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由图可知：在方向上的投影为，故， 故选：C 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 【答案】 【分析】借助向量投影定义与数量积公式计算即可得． 【详解】在方向上的数量投影为： 故答案为： ． 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【答案】. 【分析】连接，求出、与的夹角可得答案. 【详解】连接，由得O为的重心， A、B、C三点均匀分布在圆周上，为正三角形， 所以，， 所以在方向上的数量投影为.    【经典例题十五 用定义求向量的数量积】 【例1】（24-25高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正多边形的性质得正八边形的内角为，再利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为正八边形的内角为， 又，， 所以， 故选：A. 【例2】（24-25高一下·广东东莞·期中）已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)3； (2)； (3) 【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果； （2）遇模平方再计算即可. （3）由向量夹角的计算公式计算即可. 【详解】（1）由可得； （2）； （3）. 即与夹角的余弦值为. 1．（24-25高一下·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为是等边三角形，边长为4， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义运算即可求解. 【详解】由题可知，，，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则 ． 【答案】 【分析】由向量数量积定义计算即可求解. 【详解】因为，，与的夹角为， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知正三角形的边长为1，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案. （2）根据数量积的定义式，结合正三角形的性质，可得答案. 【详解】（1）与与的夹角为． （2）与的夹角为， 【经典例题十六 数量积的运算律】 【例1】（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知向量，满足：，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，，联立求出答案. 【详解】，故 两边平方得，即， 所以，解得. 故选：D 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，若长为的线段以为中点，则与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 【答案】（与方向相同）时，最大，其最大值为0． 【分析】由，，根据向量数量积的线性运算可得即可求解. 【详解】对向量分别插入分点， 则，， 由，得， 又线段以为中点，则， 故 ． 故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0． 1．（24-25高一下·湖北恩施·期末）设为非零向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式化简即可求得结果. 【详解】因为， 所以化简得，所以， 故选：D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的性质推导出，进一步可得出，，即可得出结论. 【详解】因为，则，所以， 所以，所以，同理可得，， 故点P是的垂心. 故选：B. 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知单位向量，，，满足，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】由，得，又向量是单位向量， 两边平方得，即，所以. 故答案为： 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，且．求． 【答案】 【分析】直接由数量积的运算律、定义即可求解. 【详解】. 【经典例题十七 已知数量积求模】 【例1】（24-25高二下·海南海口·期末）已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】求得，然后计算即可. 【详解】由题可知：，所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量与的夹角，且，． (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据向量的数量积的定义计算即可； （2）根据向量的模的计算即可. 【详解】（1）因为向量与的夹角，且，， 所以； （2） 因为， 所以. 1．（2025·河北·三模）已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用，可求模. 【详解】， 故． 故选：D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）若向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将平方，利用数量积的运算律即可求解． 【详解】， ， ． 故选：B． 3．（24-25高一下·山东菏泽·期末）已知正方形的边长为1，，，，则 ． 【答案】 【分析】由题意将所求转换为，结合勾股定理求解即可. 【详解】由题意. 故答案为：. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据向量数量积定义和向量模的公式求解即可. （2）根据向量垂直，可得到其数量积为0，从而可列出等式求出的值. 【详解】（1）. . （2）因为， 所以，解得. 【经典例题十八 向量夹角的计算】 【例1】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与的夹角为，根据向量夹角公式先求出，再求夹角即可. 【详解】则， 因为，所以，即与的夹角为. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由夹角公式计算可得结果； （2）利用数量积的运算律先求，即可得到的值； （3）由向平面向量的夹角公式即可求出. 【详解】（1）平面向量，满足，，． 所以， 解得，又， 可得向量，夹角的大小为． （2）， 所以． （3）， 因为，由（2）可得， 设向量与的夹角为，所以． 1．（24-25高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可求得，进而可求得. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，为单位向量，所以，所以， 又因为，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的夹角计算公式即可求解. 【详解】由已知，，， 设则与的夹角为，则余弦值， 又因为，所以. 故选：C. 3．（24-25高三下·甘肃平凉·阶段练习）已知向量，满足，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及向量夹角公式计算求解即可. 【详解】由，得，， ． 故答案为： 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）若，且，求与的夹角. 【答案】0 【分析】根据向量垂直，点积为0列方程组即可求得. 【详解】由题意可得：，化简得 因此，所以与的夹角为0. 【经典例题十九 垂直关系的向量表示】 【例1】（24-25高一下·山西长治·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得到的值，再由数量积的定义可求出夹角. 【详解】由 ，可得， 即， 因为 是单位向量，，代入得： ，即； 设 为，夹角，代入单位向量模长得， 又因为 ， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解， （2）根据垂直的向量关系，结合数量积的运算律，即可代入求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故 （2）由于，故， 即， 故，解得， 1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，结合平面向量数量积的运算性质和定义可求出的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出向量与的夹角. 【详解】因为，且，则 ，所以， 因为，故，即向量与的夹角是. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川·期中）设非零向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方，根据数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，为非零向量， 所以，故A错误，C正确， 没有其他已知条件可以说明B、D正确与否. 故选：C 3．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可. 【详解】由得，， 化简得，因为，， 所以，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用向量的线性运算和数量积运算可判断垂直； (2) 利用向量的线性运算和数量积运算，即可求值. 【详解】（1） 由 因为正方形的边长为，所以有： ， 所以，即； （2）由， 因为正方形的边长为，所以有： ， 即 【经典例题二十 已知模求数量积】 【例1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将题干条件平方处理，得出，然后对待求表达式也平方处理即可得解. 【详解】由，则， 解得，于是， 故. 故选：B 【例2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知为单位向量，向量． (1)若，求； (2)若，求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据数量积求即可； （2）可得，计算与的数量积及模长，再利用向量夹角公式计算即可. 【详解】（1），，解得， . （2）， ，， ， ， ， 所以与的夹角的余弦值为. 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对左右两边同时平方，化简代入数值即可求得. 【详解】因为， 化简得：，解得：. 故选：C. 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知向量满足，，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据模长与数量积的关系列出得的方程，解方程组即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选： 3．（24-25高一下·北京顺义·期中）已知，均是单位向量，，则 ． 【答案】1 【分析】利用单位向量的概念、向量的数量积运算即可得解. 【详解】∵，均为单位向量，∴，， 又∵， ∴， ∴. 故答案为：1. 4．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】根据数量积的计算规则计算. 【详解】（1），，与的夹角是， 则， 即有； （2）由 可得，即， 即，解得.则当k为时，；、 综上，（1），（2）. 【经典例题二十一 已知模求参数】 【例1】（2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 【例2】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，求得，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）根据，利用向量模的计算公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：由向量，满足，，且． 可得，可得， 设向量与的夹角为，可得， 因为，所以，即向量与的夹角为. （2）解：因为，可得， 即，解得或. 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知,若,则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将代入到中,展开后将,代入,即可得出选项. 【详解】解:由题知,,, , 则有 , . 故选:C 2．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·期中）已知平面向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，先求出两向量与的坐标，再由模长公式建立方程，即可解得的值. 【详解】因为，， 所以，， 又，可得， 即，整理得：， 解得：. 故选：C 3．（2024·北京房山·二模）已知单位向量的夹角为.与垂直，则 . 【答案】 【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，即可求得的值． 【详解】单位向量的夹角为， ， 与垂直， 则实数， 故答案为： 4．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 【拓展训练一 向量的加减法运算及应用】 【例1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法的三角形法则可以判断A，C，根据向量加法的三角形法则可以判B，D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B错误； 因为，故C错误； 根据向量加法的三角形法则可知，故D正确. 故选：D 【例2】（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据向量的运算法则，可得. （2）解：根据向量的运算法则， 可得. （3）解：根据向量的运算法则， 可得. 1．（25-26高一下·四川绵阳·阶段练习）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用向量的加法减法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论. 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 3．（2025·江西·二模）平面向量满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先利用题给条件求得向量之间的关系，再利用托勒密定理数形结合即可求得的取值范围. 【详解】预备定理： 圆内接四边形ABCD中，连接，作交于E， 则（，） 则 又（，） 则，又 则 由题意得，平面向量满足， 令， 则四点A、B、C、D在以O为圆心半径为1的圆上， 又，则向量两两夹角为，且为等边三角形， 则 不妨设点D在A、B为端点的优弧上， 由以上预备定理可得 又，则 则 又点D在圆O上任意移动，则，则 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）成立，（4）不成立. 【分析】根据平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则即可判断. 【详解】如图，分别作，的平行线，交于点， 因为在中，，， 所以四边形是正方形， （1）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（1）成立； （2）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（2）成立； （3）因为，， 所以，， 因为， 所以， 故等式（3）成立； （4）因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 故等式（4）不成立； 综上，等式（1）、（2）、（3）成立，等式（4）成立.    【拓展训练二 向量的数乘计算及应用】 【例1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）下列说法不正确的是（   ） A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量 【答案】C 【分析】根据向量的运算性质及零向量的性质判断各项的正误. 【详解】由向量的运算性质，零向量乘一个零向量是数量零，而两个零向量的加减、数乘（乘以0）均为零向量. 故选：C 【例2】（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 1．（24-25高一下·贵州遵义·期中）在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由得，进而得，再由得，进而可得. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以， 所以，所以. 故选：B 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量的共线定理一一判断即可. 【详解】对A，， 所以，则三点共线，A正确； 对B，，, 则不存在任何，使得，所以不共线，B错误； 对C，， 则不存在任何，使得，所以不共线，C错误； 对D，， 则不存在任何，使得，所以不共线，D错误； 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 【答案】1 【分析】由题设可得，利用系数和为1结合等边三角形的高得为的中点，故可求的长度. 【详解】因为，故， 设，则，故共线， 且也共线，故即为，故， 故，故，而等边中边上的高为， 故，故， 故答案为：1. 4．（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 【拓展训练三 向量的数量积应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知内接于以为圆心的圆，且．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的运算可得，接着在圆中求角即可. 【详解】根据题意，作图如下，且， ，， 则， 解得，则. 故选：D. 【例2】（24-25高一下·上海·期中）已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律求得，然后根据夹角公式计算即可； （2）根据数量投影的概念计算即可. 【详解】（1）由题可知：， 所以 则，， 又，所以夹角为 （2）在上的数量投影为. 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合且，将所求转换为求的最小值即可. 【详解】由题意得 ， 等号成立当且仅当，故的最小值为. 故选：D. 2．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量与满足且，则为（    ）． A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由得的平分线垂直于得，利用向量夹角公式得，得即可求解. 【详解】由，所以的平分线垂直于，所以， 又，即，所以为等边三角形． 故选：D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，若，则 . 【答案】4 【分析】运用向量垂直的条件，即数量积为，结合向量的平方即为模的平方，化简整理，计算即可得到所求值． 【详解】由已知得， 又，所以，即， 所以. 因为，所以， 即， 所以， 即. 故答案为：4 4．（2025高三·全国·专题练习）已知满足是线段上的动点，且的最小值是，求的面积． 【答案】． 【分析】由，根据平行四边形法则可得且，设的中点为，，，利用极化恒等式即可求解. 【详解】由， 如图1，平行四边形的对角线与平行四边形的对角线共线， 故有． 在中，由余弦定理得，，则． 设的中点为，，，作于点，如图2， 则由极化定理得，得， 从而，， 所以． 1．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为△中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图，设，，则，. 过作，垂足为， 则， 即的最小值是2. 故选：A. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量的线性运算可得结果. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算得到，再由向量共线的判定逐个判断即可； 【详解】因为向量，， 所以． 又，所以B选项与共线． 而ACD三个选项均和不存在倍数关系， 故选：B． 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 5．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则，    所以是等边三角形. 故选：C 6．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·月考）下列命题中错误的有（ ） A．，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D． 【答案】AB 【分析】根据向量相等的概念判断A；举反例判断B；根据向量共线的含义判断C；根据向量加减法的三角形法则，判断D. 【详解】对于A，的充要条件是且方向相同，A错误； 对于B，若，当时，不一定共线，B错误； 对于C，若，则存在实数，使得，C正确； 对于D，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可知，D正确， 故选：AB 7．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列四式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】对于A：，符合题意； 对于B：，符合题意； 对于C：，符合题意； 对于D：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，不符合题意. 故选：ABC. 8．（多选）（24-25高一下·广东阳江·月考）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定的几何图形，利用平面向量的线性运算逐项计算判断. 【详解】在正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且． 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， 若，则，不合题意，D错误． 故选：AC 9．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影为 C． D．的最大值为 【答案】CD 【分析】根据数量积的性质，根据已知模长可求解，在上的投影，从而判断A，B，C；设，则，根据数量积的运算法则将转化为根据数量积的定义可得，从而可得的最小值即的最大值，可判断D. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 又在上的投影为，故B不正确； 则，故C正确； 由可设，则， 所以， 又因为， 所以，所以， 当且仅当与反向时，取到最小值，即取得最大值，且最大值为，故D正确. 故选：CD. 10．（多选）（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 【答案】ACD 【分析】通过向量模的平方与点积的关系求出，再依次验证向量夹角、向量垂直关系、向量差的模，确定正确选项. 【详解】对于A，由，代入，， ，，解得，故A正确. 对于B，设与的夹角为，由，得：， ，则，故B错误. 对于C，，故，故C正确. 对于D，由，得，故D正确. 故选：ACD 11．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知非零向量满足，，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】设，根据题意 是三角形的重心，且可得，推出，设，根据勾股定理可得，可得，利用二次函数求最值即可. 【详解】设，如图， 则，是的重心. 由于，延长交于点，则，. 设，则，， ， ，当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 12．（24-25高一下·山西临汾·阶段练习）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【分析】过作，垂足为，取中点为，连接，根据向量的线性运算，即可判断. 【详解】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线，又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 13．（2025高三·全国·专题练习）如图，在所在平面内，为的中点，且是上任一点，设，，，若，，则 ．    【答案】8 【分析】利用平面向量的线性运算得，又得，利用数量积的运算律计算即可. 【详解】由为的中点，即， 又，则， 则 ． 故答案为：8. 14．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是 . 【答案】/0.8 【分析】根据给定条件，结合向量的几何意义可得，确定点的轨迹，进而求出的最小值. 【详解】在直线上取点，令，不等式， 依题意，是点与直线上任意点距离的最小值，则， 点在以为直径的圆上（除点外），当与圆相切时，最大，最小， 令，则，圆半径，， 所以的最小值为. 故答案为： 15．（24-25高一下·广东深圳·期中）若向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题设，由平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，有，即，得， 又，得． 故答案为：. 16．（2025高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【分析】由向量的三角形法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 17．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】先假设，，，，根据数乘运算的几何意义和向量回路的应用求证即可. 【详解】设，，，， 因为， 又因为， 所以， 即， 所以，即. 18．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知向量，满足，，． (1)求与； (2)求：①；②在方向上的投影数量． 【答案】(1)，. (2)①；②. 【分析】（1）由已知条件，结合向量数量积的运算律，即可求的值；再根据数量积的运算律及公式，即可求. （2）由可求得，再利用向量的投影的数量的定义求解. 【详解】（1）由已知，得， 即，所以， 则， 又，所以. （2）①； ②在方向上的投影数量为. 19．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用平面向量的数量积定义计算得，再结合模长及数量积公式计算求解； （2）应用夹角余弦公式结合数量积公式及模长公式计算求解. 【详解】（1）因为，与的夹角为，所以， ∴， ∴． （2）由（1）可知， ∴． ∵， 设与的夹角为， ∴． 20．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解； （2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可. 【详解】（1）， ． （2）当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.2 向量运算重难点题型专训 （3个知识点+21大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 向量加法的法则 题型二 向量加法的运算律 题型三 向量加法法则的几何应用 题型四 相反向量 题型五 向量减法的法则 题型六 向量减法的运算律 题型七 向量减法法则的几何应用 题型八 向量数乘的有关计算 题型九 平面向量的混合运算 题型十 向量的线性运算的几何应用 题型十一 三角形的心的向量表示 题型十二 根据向量关系判断三角形的心 题型十三 平面向量数量积的定义及辨析 题型十四 平面向量数量积的几何意义 题型十五 用定义求向量的数量积 题型十六 数量积的运算律 题型十七 已知数量积求模 题型十八 向量夹角的计算 题型十九 垂直关系的向量表示 题型二十 已知模求数量积 题型二十一 已知模求参数 拓展训练一 向量的加减法运算及应用 拓展训练二 向量的数乘计算及应用 拓展训练三 向量的数量积应用 知识点一：加法运算与减法运算 一、向量的加法 1、定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 二、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 【即时训练】 1．（24-25高一下·青海海南·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）化简： ； ． 知识点二：数乘运算 1、定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb. 3、线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量． 对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南南阳·期末）在平行四边形ABCD中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一·全国·专题练习）在中，点在线段上，且，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，则 . 知识点三：数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，， 则（）叫做向量与的夹角． （2）性质：当时，与同向；当时，与反向． （3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作． 2、向量的数量积的定义 （1）定义：非零向量与，它们的夹角为，数量叫做向量与的数量积(或内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即； 零向量与任一向量的数量积为0； 3、向量在上的投影向量 （1）设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． （2）在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． （3）注意：数量积等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积，也等于的长度||与在的方向上的投影向量的“长度”的乘积 4、向量数量积的物理背景 如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功就等于力与位移的数量积，即，其中是与的夹角。 【即时训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）在三角形中，，，，则 ． 【经典例题一 向量加法的法则】 【例1】（24-25高一下·江苏·阶段练习）等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知三个向量，试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量．    1．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东·期中）（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）已知四边形ABCD是边长为1的菱形，，则 ． 4．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）化简： (1) (2) 【经典例题二 向量加法的运算律】 【例1】（24-25高一下·广东梅州·期中）等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025高一·江苏·专题练习）化简： (1)． (2)． 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 2．（25-26高一·江苏·课后作业）已知是非零向量，则，，，，中，与向量相等的向量的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高一下·全国·课前预习）向量加法的交换律和结合律 向量加法的交换律: 向量加法的结合律 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 【经典例题三 向量加法法则的几何应用】 【例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【例2】（24-25高一·全国·单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 1．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）已知，，则的最大值为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）（1）如图①，用向量加法的三角形法则作出； （2）如图②，用向量加法的平行四边形法则作出． 【经典例题四 相反向量】 【例1】（24-25高二·全国·课后作业）向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．为实数0 C．与方向相同 D． 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）P、Q是ΔABC的边BC上的两点，且BP=QC，求证： 1．（24-25高一下·上海·单元测试）若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 2．（2024高三·全国·专题练习）非零向量与是相反向量，下列不正确的是（    ） A． B． C． D．方向相反 3．（25-26高一上·全国·课后作业）窗，古时亦称为船牅，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形，且E、F、G、H分别是AF、BG、CH、DE的中点，则与相等的向量为 ，的负向量为 ． 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，的三边长均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中： (1)找出与相等的向量； (2)分别找出与，，相反的向量． 【经典例题五 向量减法的法则】 【例1】（2025高三·河北·学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一·江苏·专题练习）如图，已知向量，，，求作向量．    1．（2025高三·全国·专题练习）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川成都·期末）在中，已知，记，则（    ） A．3 B．2 C．1 D．4 3．（25-26高一·全国·课前预习） . 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简： (1)； (2)． 【经典例题六 向量减法的运算律】 【例1】（24-25高一下·吉林长春·阶段练习）化简（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一·全国·专题练习）化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 1．（24-25高一下·福建龙岩·期末）下列结果不是零向量的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·河北·学业考试）在中，设，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期中）化简 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    【经典例题七 向量减法法则的几何应用】 【例1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）若的三个内角均小于120°，点满足，则点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以下性质，已知是平面内的任意一个向量，向量，满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高三·全国·专题练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量： (1)； (2)； (3)－； (4)＋； (5)－. 1．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形中，为线段的中点，且，则（    ） A．为线段的中点 B．为线段的中点 C．为线段的中点 D．为线段的中点 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 3．（24-25高一下·湖北恩施·期中）已知，，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为 ． 4．（2024高一下·全国·专题练习）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，，，，试求：.    【经典例题八 向量数乘的有关计算】 【例1】（2025·河北衡水·模拟预测）已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）化简下列各式： (1)3； (2)； (3)2． 1．（24-25高一下·陕西渭南·期中）设是单位向量，，则四边形一定是（    ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（24-25高一下·福建龙岩·期中）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量 . 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形中，和分别是和的中点．    (1)求证：； (2)若三点重合，你能得到什么结论？ (3)若两点重合，你能得到什么结论？ 【经典例题九 平面向量的混合运算】 【例1】（25-26高一下·江苏·阶段练习）（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）（1）化简； （2）若，求向量. 1．（24-25高一下·四川泸州·期末）在中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·期末）已知点E为所在平面内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 心． 4．（24-25高一下·新疆喀什·阶段练习）化简：（1）； （2）. 【经典例题十 向量的线性运算的几何应用】 【例1】（24-25高一下·安徽滁州·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二·全国·课堂例题）如图，在空间四边形ABCD中，已知点G为的重心，E，F，H分别为CD，AD，BC的中点，化简下列各式，并在图中标出化简结果．    (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）设四边形中，且，则这个四边形是 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）在四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，，记AC、BD相交于点M.结合平面向量的有关知识回答下列问题. (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； 【经典例题十一 三角形的心的向量表示】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）已知是的重心，、、分别为、、中点，求证：． 1．（2024高一·全国·课后作业）若是内一点，，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 2．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）已知和点满足.若存在实数使得成立，则= A．2 B．3 C．4 D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）在中，D为AC边的中点，E为AB上一点，交于一点F，且，若，，则实数的值为 ． 4．（24-25高一·全国·课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．    (1)试用，表示． (2)试用，，表示． 【经典例题十二 根据向量关系判断三角形的心】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）已知点O在所在的平面内，且，说明O是的内心还是外心. 1．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知点在△所在平面内，且，则点依次是△的（    ） A．重心  外心 B．重心  内心 C．外心  重心 D．外心  内心 3．（2025高三·全国·专题练习）已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知分别为的垂心、重心、外心，求证：三点共线（，，三点连线称为“欧拉线”）． 【经典例题十三 平面向量数量积的定义及辨析】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）已知是两个非零向量，则与的大小关系是    （　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角： (1)； (2)； (3)． 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知在中，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高二上·云南昆明·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海松江·期末）已知是平面内两个单位向量，且其夹角为，则向量在向量上的数量投影 ． 4．（24-25高一·全国·假期作业）如图，设点O是正六边形ABCDEF的中心，请完成以下问题． (1)分别写出与、、相等的向量； (2)分别写出与、、共线的向量； (3)分别写出与，与的夹角； (4)分别写出与，与的夹角． 【经典例题十四 平面向量数量积的几何意义】 【例1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【例2】（24-25高一下·全国·课前预习）在等腰三角形中，，，D为BC的中点． (1)求在方向上的投影； (2)求在方向上的投影． 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，，与的夹角为，则向量在方向上的投影数量为（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·北京西城·期末）平面向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高一下·上海宝山·阶段练习）已知中，，，，则在方向上的数量投影为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，求在方向上的数量投影.    【经典例题十五 用定义求向量的数量积】 【例1】（24-25高一下·山东潍坊·期末）团扇作为中国传统非物质文化遗产，蕴含着丰富的文化内涵和数学原理．图1是某团扇模型图，其扇面的平面图形可视为图2中的正八边形，其中，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东东莞·期中）已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 1．（24-25高一下·天津·期末）已知是等边三角形，边长为4，则（   ） A． B．8 C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（   ） A．12 B．16 C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）已知正三角形的边长为1，求： (1)； (2)． 【经典例题十六 数量积的运算律】 【例1】（24-25高二下·湖南郴州·期末）已知向量，满足：，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在中，已知，若长为的线段以为中点，则与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值． 1．（24-25高一下·湖北恩施·期末）设为非零向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）在所在平面内一点P满足：，则点P是的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知单位向量，，，满足，则 . 4．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、满足，，且．求． 【经典例题十七 已知数量积求模】 【例1】（24-25高二下·海南海口·期末）已知向量，，若与的夹角为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【例2】（24-25高一下·广东东莞·阶段练习）已知向量与的夹角，且，． (1)求； (2)求. 1．（2025·河北·三模）已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）若向量满足，则（   ） A． B．2 C． D．4 3．（24-25高一下·山东菏泽·期末）已知正方形的边长为1，，，，则 ． 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【经典例题十八 向量夹角的计算】 【例1】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知单位向量的夹角为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知平面向量，满足，，． (1)求向量，夹角的大小； (2)求的值； (3)求向量与夹角的余弦值． 1．（24-25高一下·山东日照·期末）已知，为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·甘肃平凉·阶段练习）已知向量，满足，，，则 ． 4．（24-25高二上·陕西渭南·期中）若，且，求与的夹角. 【经典例题十九 垂直关系的向量表示】 【例1】（24-25高一下·山西长治·阶段练习）已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·江苏南通·期末）已知向量，满足，，与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，且，则向量与的夹角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川·期中）设非零向量，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知向量，满足，，且，则 . 4．（24-25高一下·江苏·阶段练习）如图所示，在边长为2的正方形中，分别是的中点， (1)求证：； (2)求的值. 【经典例题二十 已知模求数量积】 【例1】（2025·江苏泰州·模拟预测）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·黑龙江大庆·期末）已知为单位向量，向量． (1)若，求； (2)若，求与的夹角的余弦值． 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽阜阳·阶段练习）已知向量满足，，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．（24-25高一下·北京顺义·期中）已知，均是单位向量，，则 ． 4．（24-25高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 【经典例题二十一 已知模求参数】 【例1】（2025·浙江金华·三模）已知，向量与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东佛山·期中）已知向量，满足，，且． (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值． 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）已知,若,则（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·期中）已知平面向量，，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（2024·北京房山·二模）已知单位向量的夹角为.与垂直，则 . 4．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【拓展训练一 向量的加减法运算及应用】 【例1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）下列命题中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）设是平面上的任意四点，试化简： (1)； (2)； (3)． 1．（25-26高一下·四川绵阳·阶段练习）化简（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东佛山·阶段练习）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·江西·二模）平面向量满足，则的取值范围为 . 4．（24-25高一上·上海·课后作业）在中，，，则下列哪几个等式是成立的？ （1）； （2）； （3）； （4）. 【拓展训练二 向量的数乘计算及应用】 【例1】（24-25高一下·湖北武汉·期末）下列说法不正确的是（   ） A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量 【例2】（23-24高一下·广东汕头·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； 1．（24-25高一下·贵州遵义·期中）在中，，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知不共线的向量，且，，，则一定共线的三点是（   ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，是边长为2的等边三角形，O是边AC上一点，延长DO至点B，若，且（为常数），则的长度是 . 4．（24-25高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【拓展训练三 向量的数量积应用】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）已知内接于以为圆心的圆，且．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·上海·期中）已知 (1)求与的夹角大小； (2)求在上的数量投影. 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知向量满足：，且，若，其中且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2025高三·全国·专题练习）若非零向量与满足且，则为（    ）． A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量满足，若，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知满足是线段上的动点，且的最小值是，求的面积． 1．（24-25高一下·河北沧州·阶段练习）若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D．4 2．（24-25高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）若向量，，则下列向量中与向量共线的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 5．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）已知，向量，，满足条件，．则 是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 6．（多选）（24-25高一下·贵州遵义·月考）下列命题中错误的有（ ） A．，则 B．若，则 C．若，则存在实数，使得 D． 7．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列四式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一下·广东阳江·月考）正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影为 C． D．的最大值为 10．（多选）（24-25高一下·福建南平·期末）若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 11．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知非零向量满足，，则的最大值为 . 12．（24-25高一下·山西临汾·阶段练习）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 13．（2025高三·全国·专题练习）如图，在所在平面内，为的中点，且是上任一点，设，，，若，，则 ．    14．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）在中，点满足，若对任意，均有，则的最小值是 . 15．（24-25高一下·广东深圳·期中）若向量，满足，，，则 ． 16．（2025高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 17．（2025高一·全国·专题练习）如图，已知凸六边形的6个顶点是和的各边的交点，且.求证：. 18．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知向量，满足，，． (1)求与； (2)求：①；②在方向上的投影数量． 19．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知向量，若，与的夹角为． (1)求； (2)求与夹角的余弦值． 20．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知向量，，若，，与的夹角为． (1)求； (2)当为何值时，向量与向量互相垂直？ 学科网（北京）股份有限公司 $