专题02 向量的加减法（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题02 向量的加减法 知识聚焦 考点聚焦 知识点1 向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2、向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量， 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3、向量加法的平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O， 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 4、向量加法的运算律 结合律：a＋b＝b＋a 交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2 向量的减法 1、相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. （1）规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； （2）－(－a)＝a； （3）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； （4）若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 【注意】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． 2、向量的减法 （1）定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. （2）几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． · 考点剖析 考点1 向量的加减法法则及应用 【例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量． （1） （2） 【变式1-1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量． 【变式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·高一校考课时练习）如图，在矩形ABCD中，O为AC与BD的交点，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2023·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（ ） A． B． C． D． 考点2 向量的减法法则及应用 【例2】（2022·高一课时练习）如图，已知向量，，求作向量． 【变式2-1】（2023·山东枣庄·高一校考阶段练习）如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·河南驻马店·高一统考期末）已知矩形的对角线相交于点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）如图所示，、、分别是的边、、的中点，则（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2022·高一课前预习）化简下列式子： （1）； （2）； 考点3 向量加减法运算化简 【例3】（2023·广东东莞·高一厚街中学校考阶段练习）化简向量等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·河南·高一济源第一中学校考阶段练习）在平面四边形中，下列表达式化简结果与相等的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）下列各式中，化简后不是零向量的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）（多选）化简以下各式，结果为的有（ ） A． B． C． D． 【变式3-4】（2023·全国·高一课时练习）（化简下列各式： （1）； （2）． 考点4 利用向量加减法证明等式 【例4】（2023·高一单元测试）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 【变式4-1】（2022·高一课时练习）如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： （1）； （2）. 【变式4-2】（2022·高一课时练习）如图所示，是平