专题9.1 向量概念重难点题型专训（3个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理向量概念的3个核心知识点，分点呈现向量的定义、表示方法及模、零向量等特殊向量的诠释，搭配即时训练，清晰展现“概念-辨析-应用”的内在逻辑，突出向量双重属性及重难点分布。 讲义亮点在于“知识点-题型-拓展”三阶训练体系，如通过正方形顶点向量表示、正六边形共线向量辨析等例题，培养几何直观与空间观念（数学眼光），结合单位向量相等性判断等辨析题发展推理意识（数学思维），自我检测覆盖不同难度，助力分层提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题9.1 向量概念重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 拓展训练一 向量概念辨析与分类 知识点一：向量的概念与表示 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 3、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 4、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断. 【详解】A.和长度相等，方向相反，故正确； B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误； C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确； D.向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确. 故选：B. 2．（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示  ④向量就是有向线段，正确的有 . 【答案】① ③ 【分析】结合向量的定义，平行向量的概念，向量的表示，分析即得解 【详解】对于①，由向量的概念知正确； 对于②，平行向量的方向可以相反，故②不正确； 对于③④，向量可用有向线段表示，但向量不是有向线段．故③正确，④不正确． 故综上可得①③正确． 故答案为：① ③ 知识点二：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即时训练】 1．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据单位向量模相等，方向任意依次判断各选项即可得答案. 【详解】因为是两个单位向量，所以， 但两向量的方向不能确定，所以，故①②错误，③④正确． 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 【答案】以O为圆心的单位圆 【分析】设终点为，则，得到答案. 【详解】设终点为，则，则终点构成的图形是以为圆心的单位圆. 故答案为：以为圆心的单位圆. 【点睛】本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 知识点三：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知两个向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 【答案】A 【分析】根据向量共线的概念逐一判断即可. 【详解】选项A：与共线，则与平行，A说法正确； 选项B：与共线，且模长相等时，满足或，B说法错误； 选项C：与共线，则与方向相同或相反，C说法错误； 选项D：与共线，当是非零向量时，存在实数，使得，D说法错误； 故选：A 2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【答案】①④ 【分析】向量为自由向量，共线向量所在的直线不一定重合，也可能平行. 【详解】①为真命题，A，B，C，D在一条直线上，向量的方向相同或相反，因此与是共线向量； ②为假命题，A，B，C，D不在一条直线上，则的方向不确定，不能判断与是否为共线向量； ③为假命题，因为两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上； ④为真命题，因为两个向量所在的直线有公共点A，且与是共线向量，所以三点共线. 故答案为：①④ 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【答案】C 【分析】由图形一一列出可得答案. 【详解】如图，以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量为： ，共8个． 故选：C． 【例2】（24-25高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【答案】(1)答案见解析． (2)答案见解析． 【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段； （2）以为起点，向下作长度为的有向线段． 【详解】（1）， 以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，    （2），时，， 以为起点，向下作有向线段，长度为：    1．（24-25高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知，结合平面向量的概念即可求解. 【详解】因为为等腰直角三角形，，所以， 故向量与的夹角为． 故选：D 2．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图像是个有向线段，可知其表达是一个向量. 【详解】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量. 故选：C. 3．（24-25高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 【答案】③⑤⑥ 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】向量是有大小有方向的量，故符合的有：风力，位移，加速度. 故答案为：③⑤⑥. 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】由题意可得，，结合向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 【经典例题二 向量的模】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 【例2】（24-25高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)3 【分析】（1）根据向量的大小和方向，作向量， （2）根据向量的大小和方向，作向量， （3）根据向量的模的定义求. 【详解】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：    （2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：    （3）   . 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】A 【分析】根据点到的距离相等可得答案. 【详解】因为，即点到的距离相等， 所以点是的外心. 故选：A 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为||=2， 所以点A在以点O为圆心、2为半径的圆上， 故A点构成的图形是一个圆．选C． 3．（2024高一·全国·专题练习）已知，若，则 . 【答案】 【分析】直接由勾股定理求值即可. 【详解】由勾股定理可知，，即. 故答案为：. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【答案】2 n mile． 【分析】在直角三角形中求得向量的长度． 【详解】由题意， 所以向量的长度为2 n mile． 【经典例题三 零向量与单位向量】 【例1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，请简述理由． (1)模为0的向量方向不确定； (2)若且//，则； (3)共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)不正确，理由见解析； (3)不正确，理由见解析. 【分析】（1）根据零向量的定义即可判断（1）的正误； （2）根据相等向量的定义即可判断（2）的正误； （3）根据共线向量的定义即可判断（3）的正误. 【详解】（1）正确．根据零向量的定义：零向量的长度为0.方向是任意的． （2）不正确．当//且方向相反时，即使，也不能得到. （3）不正确．如下图所示，与共线，虽然始点不同，但其终点却相同． 1．（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的轴、轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量. 故选：A. 3．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）与向量方向相反的单位向量为 ． 【答案】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 4．（25-26高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【答案】单位圆 【分析】根据单位向量的长度和方向判断即可． 【详解】单位向量的长度为1个单位长度，方向是任意的， 因此，平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点， 那么它们的终点构成的图形是个单位圆． 【经典例题四 相等向量】 【例1】（25-26高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】根据题意，得到向量和的方向相同，结合选项，即可得到答案. 【详解】由都是非零向量，且， 因为和分别表示与向量和同向的单位向量，所以向量和的方向相同， 结合选项，可得成立的充分条件为. 故选：C. 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可证明结果. 【详解】证明：在四边形ABCD中， ， 所以，且 所以四边形为平行四边形． 1．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 【答案】D 【分析】根据相等向量的定义即可逐一判断各选项. 【详解】因等价于长度相等，方向相同. 对于A，由不能确定方向是否相同，故A错误； 对于B，与的方向相同，但长度不确定是否相等，故B错误； 对于C，当，且时，若的方向相反，则不成立，故C错误； 对于D，当且时，长度相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由向量相等的概念进行判断即可. 【详解】由向量相等的概念可知且方向相同. 对A：为单位向量可得，但方向未必相同，故未必成立，故A错误； 对B：为平行向量，不能说明，也不能说明方向相同，所以不能说明，故B错误； 对C：仅，不能说明，故C错误； 对D：若，则正确，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 【答案】， 【分析】根据向量相等的概念直接求解. 【详解】   四边形和都是平行四边形， ，， 从而，，． 故与向量相等的向量为，． 故答案为：，. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与向量相等的向量有多少个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【答案】8个，分别为 【分析】根据相等向量的概念得到答案. 【详解】题图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量方向相同的向量与其相等，共有8个， 分别为， 【经典例题五 平行向量(共线向量)】 【例1】（25-26高一下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义与正六边形的性质直接得出. 【详解】图中与共线的向量有： ，共9个， 故选：C. 【例2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. （1）写出与共线的向量； （2）写出与的模大小相等的向量； （3）写出与相等的向量. 【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3）与. 【分析】（1）利用共线向量的定义，结合中位线的性质，得到答案；（2）利用中位线的性质结合点是的中点，得到答案；（3）结合相等向量的定义，得到答案. 【详解】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点， 所以.所以与共线的向量有：，，，，，，； （2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，； （3）与相等的向量有：与. 1．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 【答案】120 【分析】根据且，判断四边形为平行四边形，可得，即可求得答案. 【详解】某人从点A出发，经过点，到达点，最后停在点，易知，，又在四边形中，，所以四边形为平行四边形， 所以. 故答案为：120 4．（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 【拓展训练一 向量概念辨析与分类】 【例1】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 【答案】C 【分析】由平面向量的基本概念判断即可. 【详解】对于A：若与都是单位向量，则，故A错误； 对于B：与是平行向量,故B错误； 对于D：向量是既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：C 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)最大值为，最小值为． 【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值. 【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示． （2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值； 当点C位于点或的位置时，取得最大值， 故的最大值为，最小值为． 1．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据向量的概念可依次判断各个选项. 【详解】解：①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误； ②若，方向不同，则 不一定成立； ③在四边形中，若，则且，所以四边形是平行四边形，正确； ④平行四边形中，一定有，正确； ⑤若，，则，正确； ⑥， ，则，取时，与不一定共线，错误． 其中不正确的命题的个数为3. 故选：B. 3．（2024高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则ABCD为平行四边形； ④的充要条件是且； ⑤已知，为实数，若，则与共线． 其中真命题的序号是 ． 【答案】③ 【分析】根据相等向量的定义，根据共线向量的定义，根据向量不能比较大小，根据充要条件的定义等知识，即可得答案； 【详解】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，，但方向不确定，所以的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为，所以且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形． ④是错误的，当且方向相反时，即使，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线． 故答案为：③ 【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查向量的基本概念，难度不大，属于中档题． 4．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    1．（24-25高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】①错误，只有速度，位移是向量． ②错误，零向量有方向，它的方向是任意的． ③错误， ④错误，非零向量的单位向量有两个，一个与同向，一个与反向． 故选：A. 2．（24-25高二·全国·课后作业）下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①错误. 两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误. 向量不能比较大小；③正确. ，为相反向量；④错误.  A与C，B与D不一定重合. 【详解】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关. ②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小. ③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量. ④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合. 故选：C 【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点. 3．（24-25高一下·内蒙古·单元测试）下列命题中正确的个数是 （    ） （1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则； （3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据向量大小与方向确定命题(1)(2)(3)真假.根据向量加法判断（4）真假. 【详解】若为单位向量，且，则；(1)错， 若，则但不一定成立；（2）错， 因为，所以（3）错， 因为,所以（4）对， 选B. 【点睛】向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度． (2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等相量：方向相同且长度相等． 4．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 5．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误. 两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误. 当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误. 向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确. 故选：D. 6．（多选）（24-25高一下·山西·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据向量的相关概念，可得答案. 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 7．（多选）（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 9．（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足， 则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 【答案】BC 【分析】利用相等向量的概念和共线向量的概念来进行判断即可. 【详解】对于A，若空间向量满足，则，这显然是错误的，因为向量相等要满足大小相等，方向相同； 对于B，在正方体中，必有，这显然是正确的，因为他们的长度相等，两直线平行，并且方向相同； 对于C，若空间向量满足，则，这显然是正确的，因为向量的相等也具有传递性； 对于D，在空间中，，则，当时，因为任何向量与都是共线向量，所以是不一定成立的，故D错误； 故选：BC. 10．（多选）（24-25高一下·陕西·期中）下列说法正确的是（   ） A．质量是向量 B．相等向量的起点不一定相同 C．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D．若某质点受到的作用处于平衡状态，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的定义易判断A；根据相等向量的概念易判断B；根据共线向量的规定易判断C；根据物理上关于质点受力处于平衡状态的描述易判断D. 【详解】对于A，因质量没有方向，故不是向量，即A错误； 对于B，相等向量只规定了大小相等，方向相同，起点可以不同，故B正确； 对于C，物理学中的作用力与反作用力是两个大小相等，方向相反的两个向量，故是一对共线向量，即C正确； 对于D，根据物理上关于质点受力处于平衡状态的描述，易得，故D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 【答案】①③⑤ 【分析】根据向量的定义及知识即可逐项判断求解. 【详解】对①：由定义知①正确； 对②：由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故②不正确； 对③：根据定义可知单位向量的长度都为1，故③正确； 对④：单位向量方向可以不同，故④错误； 对⑤：任意向量与零向量都共线，故⑤正确； 故答案为：①③⑤. 12．（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 【答案】③ 【分析】利用向量共线、相等的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边； ②若四边形为平行四边形，则，不正确； ③若，，则，正确； ④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确； 故答案为：③. 13．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】③ 【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合. 【详解】①错误．若，则①不成立； ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同； ③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上． 故答案为：③ 【点睛】本题主要考查平面向量的概念及其关系，要注意零向量的方向任意，与任何向量是共线向量；判断向量是否共线，要根据向量的方向来进行判断，属于基础题. 14．（2024高三·浙江·专题练习）给出下列命题： ①的充要条件是且； ②若向量与同向，且，则； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是 ． 【答案】⑤ 【分析】根据向量相等与共线以及零向量相关概念进行判断选择. 【详解】①当与是相反向量时，满足且，但≠，故①假； ②向量不能比较大小，故②假； ③与任意向量平行，故③假； ④当与中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假； ⑤由相等向量定义知，⑤真； ⑥的相反向量仍是，故⑥假． 【点睛】本题考查向量相等与共线以及零向量相关概念，考查基本分析判断能力. 15．（2024高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形； ④的充要条件是且； ⑤已知λ，μ为实数，若，则与共线. 其中真命题的序号是 . 【答案】③ 【分析】根据向量的概念，向量相等与向量平行（共线）等判断， 【详解】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点. ②是错误的，，但方向不确定，所以的方向不一定相等或相反. ③是正确的，因为，所以|且；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形. ④是错误的，当且方向相反时，即使|，也不能得到，所以且不是的充要条件，而是必要不充分条件. ⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线. 故答案为：③． 【点睛】本题考查向量的概念，向量的平行（共线）、向量相等等概念，特别注意：我们用有向线段表示向量，但向量不是有向线段． 16．（24-25高一下·四川凉山·阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想. 17．（24-25高二·全国·课后作业）如图，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分别为AC，DF的中点，写出： （1）与相等的向量； （2）与的负向量相等的向量； （3）与共线的向量． 【答案】（1），；（2），，；（3），，，， 【分析】（1）利用相等的向量的定义即可得出；（2）的负向量为，再利用相等的向量的定义即可得出；（3）利用共线的向量的定义即可得出． 【详解】在矩形ACDF中，且AC＝2CD，B，E分别为AC，DF的中点，得 （1）与相等的向量为：，； （2）与的负向量相等的向量为：，，； （3）与共线的向量为：，，，，． 【点睛】本题考查了相等向量，共线向量、负向量的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个； (2)与平行且模为 的向量共有几个？ (3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？ 【答案】（1）5个；（2）24个；（3）2个. 【分析】(1)根据相等向量的概念，即可得到向量相等的向量个数，得到答案； (2)根据向量的模的概念，即可得与向量平行且模为 的向量的个数； (3)根据向量的模概念，即可得到与向量方向相同且模为3的向量共的个数． 【详解】(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)． (2) 根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为 的向量共有24个． (3) 根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个． 【点睛】本题主要考查了相等向量概念，以及向量模的概念的应用，其中解答中熟记相等向量的概念和向量模的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 19．（2024高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)本题首先可以根据勾股定理得出是直角三角形，然后根据点为半圆上一点得出，最后根据即可得出结果； (2)本题首先可以根据得出，然后根据计算出，最后即可得出结果。 【详解】(1)由题意知，在中，，，， 所以，是直角三角形， 因为点为半圆上一点，所以 所以，故 (2)因为，所以，， 即，解得，即。 【点睛】本题考查向量平行的证明以及向量的模的计算，若两向量所在直线平行或重合，则说明这两个向量平行，向量所在线段的长即向量的模，考查计算能力，是中档题。 20．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 向量概念重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 平面向量的概念与表示 题型二 向量的模 题型三 零向量与单位向量 题型四 相等向量 题型五 平行向量(共线向量) 拓展训练一 向量概念辨析与分类 知识点一：向量的概念与表示 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量． 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 知识点诠释： （1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． （2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． （3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 3、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 4、向量的表示方法： （1）字母表示法：如等． （2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量． 知识点诠释： （1）用字母表示向量便于向量运算； （2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一·江苏·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 2．（24-25高一·全国·课后作业）给出下列命题： ①向量的大小是实数 ② 平行向量的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示  ④向量就是有向线段，正确的有 . 知识点二：向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）． 知识点诠释： （1）向量的模． （2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量． 知识点诠释： （1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； （2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 知识点诠释： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【即时训练】 1．（24-25高一下·甘肃定西·阶段练习）如果是两个单位向量，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024高三·全国·专题练习）把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是 . 知识点三：向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）． 规定：与任一向量共线． 知识点诠释： 1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别． 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系． 3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量． 【即时训练】 1．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知两个向量与共线，下列说法正确的是（    ） A．与平行 B．或 C．与方向相同 D．存在实数，使得 2．（2025高二·全国·专题练习）下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 【经典例题一 平面向量的概念与表示】 【例1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）分别以正方形ABCD的四个顶点为起点与终点的所有有向线段能表示的不同向量有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．12个 【例2】（24-25高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 1．（24-25高一下·陕西西安·期中）在等腰中，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（    ）．    A． B． C． D． 3．（24-25高一下·海南儋州·阶段练习）下列各量中，向量有： ．（填写序号） ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥加速度． 4．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【经典例题二 向量的模】 【例1】（24-25高一·全国·课后作业）设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【例2】（24-25高一下·安徽淮北·阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．    (1)，点在点的正西方向； (2)，点在点的北偏西方向； (3)求出的值． 1．（24-25高一下·河南许昌·期末）已知点在所在平面内，满足，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 2．（24-25高一·全国·课后作业）已知点O固定，且||=2，则A点构成的图形是(　　) A．一个点 B．一条直线 C．一个圆 D．不能确定 3．（2024高一·全国·专题练习）已知，若，则 . 4．（25-26高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【经典例题三 零向量与单位向量】 【例1】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题是否正确，请简述理由． (1)模为0的向量方向不确定； (2)若且//，则； (3)共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 1．（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 2．（24-25高一下·山西阳泉·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一下·山东烟台·阶段练习）与向量方向相反的单位向量为 ． 4．（25-26高一·上海·课堂例题）如果把平面上所有的单位向量的起点都平移到同一点，那么它们的终点构成的图形是什么？ 【经典例题四 相等向量】 【例1】（25-26高一下·河南郑州·期中）设都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（   ） A． B． C． D．且 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）在四边形中，已知，求证：四边形为平行四边形． 1．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同 C．，且 D．且 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（   ） A．若为单位向量，则 B．若为平行向量，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知四边形和都是平行四边形，则与向量相等的向量为 ． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与向量相等的向量有多少个？（在图中标出相应字母，写出这些向量） 【经典例题五 平行向量(共线向量)】 【例1】（25-26高一下·江苏淮安·阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【例2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点. （1）写出与共线的向量； （2）写出与的模大小相等的向量； （3）写出与相等的向量. 1．（24-25高一下·上海长宁·阶段练习）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）某人在平面上从A点出发向西行走了到达点，然后改变方向，向西偏北方向行走了到达点，最后又改变方向，向东行走了到达点，则 . 4．（24-25高一下·安徽六安·期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【拓展训练一 向量概念辨析与分类】 【例1】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．若与是平行向量，则 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 D．若，则 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且． (1)画出所有满足条件的向量； (2)求的最大值与最小值． 1．（2024高一下·上海·专题练习）下列说法正确的为（    ） A．共线的两个单位向量相等 B．若，，则 C．若，则一定有直线 D．若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 2．（24-25高一下·广东东莞·开学考试）给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③在四边形中，若，则四边形是平行四边形； ④平行四边形中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则 其中不正确的命题的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且 ，则ABCD为平行四边形； ④的充要条件是且； ⑤已知，为实数，若，则与共线． 其中真命题的序号是 ． 4．（2024高一下·全国·专题练习）在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 1．（24-25高一·全国·假期作业）下列说法正确的个数为（    ） ①面积、压强、速度、位移这些物理量都是向量 ②零向量没有方向 ③向量的模一定是正数 ④非零向量的单位向量是唯一的 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二·全国·课后作业）下列说法： ①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同； ②若向量，满足，且与同向，则； ③若两个非零向量与满足，则，为相反向量； ④的充要条件是A与C重合，B与D重合. 其中错误的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·内蒙古·单元测试）下列命题中正确的个数是 （    ） （1）若为单位向量，且，则； （2）若且，则； （3）； （4）若平面内有四点A、B、C、D，则必有. A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2025·广东·模拟预测）若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高一下·湖北荆州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．若，，则 D．向量与向量的长度相等 6．（多选）（24-25高一下·山西·月考）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 7．（多选）（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 8．（多选）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 9．（多选）（2025高一·全国·专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足， 则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，则 D．空间中，，则 10．（多选）（24-25高一下·陕西·期中）下列说法正确的是（   ） A．质量是向量 B．相等向量的起点不一定相同 C．物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 D．若某质点受到的作用处于平衡状态，则 11．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）在下列判断中，真命题的是 . ①长度为的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线． 12．（24-25高一下·上海·课后作业）下列说法正确的是 （写序号）． ①若与共线，则点A、B、C、D共线； ②四边形为平行四边形，则； ③若，则； ④四边形中，，则四边形为正方形． 13．（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是 ． 14．（2024高三·浙江·专题练习）给出下列命题： ①的充要条件是且； ②若向量与同向，且，则； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； ④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ⑥任一向量与它的相反向量不相等． 其中真命题的序号是 ． 15．（2024高三·全国·专题练习）给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则或； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且，则ABCD为平行四边形； ④的充要条件是且； ⑤已知λ，μ为实数，若，则与共线. 其中真命题的序号是 . 16．（24-25高一下·四川凉山·阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 17．（24-25高二·全国·课后作业）如图，矩形ACDF中，AC＝2CD，B，E分别为AC，DF的中点，写出： （1）与相等的向量； （2）与的负向量相等的向量； （3）与共线的向量． 18．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个； (2)与平行且模为 的向量共有几个？ (3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？ 19．（2024高一·全国·课后作业）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，. （1）求证：； （2）求. 20．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 学科网（北京）股份有限公司 $