专题10.坐标方法的简单应用（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题10.坐标方法的简单应用（举一反三讲义） 【题型01 实际问题中用坐标表示位置】.................................2 【题型02 用方向角和距离确定物体位置】...............................3 【题型03 根据方位描述确定物体位置】.................................4 【题型04 求点沿x轴y轴平移后的坐标】...............................6 【题型05 由平移方式确定点的坐标】...................................6 【题型06 已知点平移前后坐标,判断平移方式】..........................7 【题型07 已知图形的平移,求点的坐标】................................8 【题型08 已知平移后的坐标求原坐标】.................................9 【题型09 坐标系中的平移 】..........................................9 【题型10 坐标系中的动点问题】......................................10 【题型11 中点坐标】................................................11 【题型12 点坐标规律探索】..........................................12 【题型13 解答题4题】..............................................13 知识梳理 知识点01:用坐标表示地理位置 1. 建立平面直角坐标系表示位置（三步法） 定原点：选一个明显、居中的地点为原点 O(0,0)（如学校、广场）。 定方向：通常规定 东为 x 轴正方向，北为 y 轴正方向。 定单位：根据实际距离确定比例尺（如 1 单位长度 =100 米）。 描点写坐标：在坐标系中标出各地点，写出对应坐标。 2. 用方向角 + 距离表示位置（极坐标思想） 必备两要素：参照物、方向角（方位角）、距离。 规范表述：“在参照物的北（南）偏东（西）α 方向，距离 d 处”。 示例：“超市在学校北偏东 30∘ 方向，距离 500 米处”。 知识点02:用坐标表示平移（最重要） 设点坐标为 (x, y)，平移 a>0 个单位： 知识点03:图形平移 图形平移 = 所有关键点一起平移 平移后：形状、大小不变，只改变位置 方法：先求关键点新坐标，再顺次连线。 【题型1.实际问题中用坐标表示位置】 【典例】在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若演员的位置用来表示，演员的位置用来表示，则演员的位置可用坐标表示为 ． 【跟踪专练2】如图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋的位置用坐标表示为，黑棋的位置用坐标表示为，则白棋的位置坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】2024年5月5日在四川成都举行的“尤伯杯”羽毛球团体决赛中，中国队第16次夺得冠军．如图1是比赛场馆图，图2是场馆某正方形座位示意图．小李、小亮、小东的座位如图所示（网格中，每个小正方形的边长都是1）．若小亮的座位用表示，小李的座位用表示，则小东的座位可以表示为 ． 【题型2.用方向角和距离确定物体位置】 【典例】如图，一艘货船在处遇险，需要向相距的港口求救，用方向和距离描述港口相对于货船的位置是 ． 【跟踪专练1】如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 【跟踪专练2】如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点处，那么点的位置在点的 距点处． 【跟踪专练3】如图是某时刻卫星云图的示意图，每相邻两个圆之间的距离是10千米，以台风中心为观测点，岛屿A在（    ）．    A．北偏西方向30千米处 B．北偏东方向30千米处 C．西偏北方向20千米处 D．北偏西方向30千米处 【题型3.根据方位描述确定物体位置】 【典例】乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【跟踪专练2】按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【跟踪专练3】小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 【题型4.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】平面直角坐标系内，将点向左平移1个单位得到点B，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【跟踪专练2】把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【题型5.有平移方式确定点的坐标】 【典例】平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位，则平移后的点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标 ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【题型6.已知点平移前后的坐标.判断平移方式】 【典例】在平面直角坐标系中，将点平移后的对应点为，写出点A的一种沿坐标轴方向的平移方式 ． 【跟踪专练1】将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ． 【跟踪专练3】如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【题型7.已知图形的平移,求点的坐标】 【典例】向右平移4个单位长度得到，则点平移后对应的D点坐标为 【跟踪专练1】如图，长方形的顶点为坐标原点，点在轴上，点的坐标为．如果将长方形平移后，点与点重合，得长方形，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 【跟踪专练3】如图，点，点，将线段平移至线段，点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型8.已知平移后的坐标求原坐标】 【典例】平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【跟踪专练1】已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型9.坐标系中的平移】 【典例】已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ． 【跟踪专练3】如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【题型10.坐标系中的动点问题】 【典例】定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若经过点与点的直线平行于轴，，则点的坐标是 ． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【题型11.中点坐标】 【典例】在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 【题型12.点坐标规律探索】 【典例】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为长方形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点的坐标为 ． 【跟踪专练3】如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 2．苹果熟了，一个苹果从树上掉下来．如图，苹果从处落到了处．（网格单位长度为1） (1)写出，两点的坐标； (2)苹果由处落到处，可看作由哪两次平移得到的？ 3．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.坐标方法的简单应用（举一反三讲义） 【题型01 实际问题中用坐标表示位置】.................................2 【题型02 用方向角和距离确定物体位置】...............................5 【题型03 根据方位描述确定物体位置】.................................7 【题型04 求点沿x轴y轴平移后的坐标】..............................10 【题型05 由平移方式确定点的坐标】..................................12 【题型06 已知点平移前后坐标,判断平移方式】.........................15 【题型07 已知图形的平移,求点的坐标】...............................17 【题型08 已知平移后的坐标求原坐标】................................20 【题型09 坐标系中的平移 】.........................................22 【题型10 坐标系中的动点问题】......................................24 【题型11 中点坐标】................................................27 【题型12 点坐标规律探索】..........................................29 【题型13 解答题4题】..............................................33 知识梳理 知识点01:用坐标表示地理位置 1. 建立平面直角坐标系表示位置（三步法） 定原点：选一个明显、居中的地点为原点 O(0,0)（如学校、广场）。 定方向：通常规定 东为 x 轴正方向，北为 y 轴正方向。 定单位：根据实际距离确定比例尺（如 1 单位长度 =100 米）。 描点写坐标：在坐标系中标出各地点，写出对应坐标。 2. 用方向角 + 距离表示位置（极坐标思想） 必备两要素：参照物、方向角（方位角）、距离。 规范表述：“在参照物的北（南）偏东（西）α 方向，距离 d 处”。 示例：“超市在学校北偏东 30∘ 方向，距离 500 米处”。 知识点02:用坐标表示平移（最重要） 设点坐标为 (x, y)，平移 a>0 个单位： 向右平移 a 个单位 → (x+a, y) 向左平移 a 个单位 → (x−a, y) 向上平移 a 个单位 → (x, y+a) 向下平移 a 个单位 → (x, y−a) 口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 知识点03:图形平移 图形平移 = 所有关键点一起平移 平移后：形状、大小不变，只改变位置 方法：先求关键点新坐标，再顺次连线。 【题型1.实际问题中用坐标表示位置】 【典例】在一次数学实践活动中，小明绘制了校园周边区域示意图．已知家所在位置的坐标为，体育馆所在位置的坐标为，则学校所在位置的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据家和体育馆的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，则学校所在位置的坐标为， 故选：A． 【跟踪专练1】如图是某舞蹈队形的方阵图，每个格点表示一位演员的位置，随着音乐的节奏，各个位置的演员分别做出不同的动作，形成优美的图案．若演员的位置用来表示，演员的位置用来表示，则演员的位置可用坐标表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查用坐标表示实际问题. 根据已知点的坐标确定原点位置，进而确定点B的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： 由图可知：B演员的位置可表示为. 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋的位置用坐标表示为，黑棋的位置用坐标表示为，则白棋的位置坐标表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解答本题的关键． 根据黑棋的坐标向上个单位向左一个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋的坐标即可． 【详解】解：黑棋的位置用坐标表示为，黑棋的位置用坐标表示为，可建立平面直角坐标系，如图： 白棋的坐标为， 故选：C． 【跟踪专练3】2024年5月5日在四川成都举行的“尤伯杯”羽毛球团体决赛中，中国队第16次夺得冠军．如图1是比赛场馆图，图2是场馆某正方形座位示意图．小李、小亮、小东的座位如图所示（网格中，每个小正方形的边长都是1）．若小亮的座位用表示，小李的座位用表示，则小东的座位可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查确定点的坐标，根据小亮所在位置的坐标确定原点O的位置，建立平面直角坐标系，即可求解． 【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如图： ∴小东的座位可以表示为， 故答案为：． 【题型2.用方向角和距离确定物体位置】 【典例】如图，一艘货船在处遇险，需要向相距的港口求救，用方向和距离描述港口相对于货船的位置是 ． 【答案】南偏西， 【分析】本题考查方位的描述，注意，描述方位需要描述方向和距离两个部分．根据图形，读出线段与正南方向的夹角，再加上距离为即可进行描述． 【详解】解：由题意得，港口相对于货船的位置是南偏西，， 故答案为：南偏西，． 【跟踪专练1】如图所示，小明在A处，小红在B处，小李在C处，米，米，下列说法正确的是（    ） A．小红在小明北偏东方向处 B．小红在小明南偏西方向处 C．小明在小红南偏西方向，距离为10米处 D．小明在小李北偏东方向，距离为18米处 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．根据方向角的定义进行判断，即可解答． 【详解】解：∵在的北偏东方向的米处， ∴小红在小明北偏东方向的米处，故A，B错误； ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小红南偏西，距离为10米处，故C正确， ∵在的南偏西方向的米处， ∴小明在小李南偏西，距离为18米处，故D错误． 故选：． 【跟踪专练2】如图，圆的直径是，如果点的位置在点的东南方向距点处，那么点的位置在点的 距点处． 【答案】北偏东30°方向 【分析】本题考查了坐标确定位置，正确地识别图形是解题的关键． 根据点的位置在点的东南方向距点处，于是得到点的位置． 【详解】解：∵圆的直径是 ∴, ∵点的位置在点的东南方向距点处， ∴点的位置在点的北偏东方向距点处， 故答案为：北偏东方向． 【跟踪专练3】如图是某时刻卫星云图的示意图，每相邻两个圆之间的距离是10千米，以台风中心为观测点，岛屿A在（    ）．    A．北偏西方向30千米处 B．北偏东方向30千米处 C．西偏北方向20千米处 D．北偏西方向30千米处 【答案】D 【分析】根据平面图形上方向的辨别上北下南，左西右东，以台风中心为观测点，即可确定A点的方向；根据每相邻两个圆之间的距离表示10千米，可计算实际距离，据此解答即可． 【详解】解：∵每相邻两个圆之间的距离是10千米， ∴岛屿A在距离台风中心千米处， 据图所示，以台风中心为观测点，岛屿A在北偏西方向30千米处或西偏北方向30千米处， 故选：D． 【点睛】此题考查的是位置与方向，分清东、南、西、北、东北、东南、西北、西南，是解决问题的关键，结合题意分析解答即可． 【题型3.根据方位描述确定物体位置】 【典例】乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【答案】北偏东27°的处 【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解． 【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处， 即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处． 故答案为：北偏东27度的处． 【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，点B在点A的南偏东方向上，则点B的位置可能是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键. 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于的角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 根据题意和图示可知： 射线表示南偏东方向，射线表示南偏东约方向，射线表示南偏东方向， ∴点B的位置可能是． 故选：D． 【跟踪专练2】按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【答案】 西北 东南 【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息，即可进行填写． 【详解】解：（1）在☆的东南面画△如，下图所示； （2）在☆的西面画□，如图所示； （3）在☆的东北面画○，如图所示； （4）在☆的西北面，☆在的东南面． 故答案为：西北，东南． 【点睛】本题主要考查了方向和方位的知识，熟练掌握“上北下南，左西右东”是解题关键． 【跟踪专练3】小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 【答案】A 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据题意，画出坐标系，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系， 由图可知：小文向北直走，再向西直走就能到游乐园门口了； 故选A． 【题型4.求点沿x轴y轴平移后的坐标】 【典例】平面直角坐标系内，将点向左平移1个单位得到点B，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标平面内点的平移，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将点向左平移1个单位得到点B，则点B的坐标是． 故选：B． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移， “右移加，左移减，上移加，下移减”．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加3，纵坐标减4即可得到点B的坐标． 【详解】解：点先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 【跟踪专练2】把点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点，点正好落在轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标平移的规则得到点的坐标为，由点正好落在轴上求出的值，从而即可得到答案． 【详解】解：点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， 点的坐标为， 点正好落在轴上， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握坐标平移的规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【题型5.有平移方式确定点的坐标】 【典例】平面直角坐标系中，将点向上平移4个单位，则平移后的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，掌握知识点是解题的关键． 根据点的平移规律，向上平移时，横坐标不变，纵坐标增加平移单位数． 【详解】解：将点向上平移4个单位，横坐标3不变，纵坐标加4，即， ∴平移后的点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点，的坐标分别为，，若将线段AB平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中线段的平移，解题的关键是利用已知点的坐标变化确定平移规律（横、纵坐标的变化量），再将规律推广到其他点．要解决线段平移后点的坐标问题，需先确定点到的平移规律（横坐标和纵坐标的变化量），再将该规律应用到点 上，从而得到 的坐标． 【详解】已知点的坐标为，平移后点 的坐标为． 横坐标的变化量：，即点的横坐标向左平移了4个单位； 纵坐标的变化量：，即点的纵坐标向下平移了3个单位． 点的坐标为，根据上述平移规律（横坐标减4，纵坐标减3）： 横坐标：； 纵坐标：． 因此，点 的坐标为． 故选D 【跟踪专练2】如图，点，点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点；点向上平移个单位，再向右平移个单位，得到点，，按这个规律平移得到点，则点的横坐标 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点坐标规律探索，点的平移，先求出点，，，的横坐标，得出规律即可，熟练掌握平移的性质得出坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题． 【详解】解：∵线段平移到线段， ∴线段向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到线段， ∴， ∴． 故选：C． 【题型6.已知点平移前后的坐标.判断平移方式】 【典例】在平面直角坐标系中，将点平移后的对应点为，写出点A的一种沿坐标轴方向的平移方式 ． 【答案】先向右平移3个单位，再向下平移2个单位 【分析】本题考查平移，根据点的坐标得到平移方式即可解答． 【详解】解：点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到， 故答案为：先向右平移3个单位，再向下平移2个单位． 【跟踪专练1】将点通过平移得到点，以下方式正确的是（　　） A．沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 B．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个单位长度 C．沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度 D．沿x轴向左平移4个单位长度，再沿y轴向上平移3个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标平移，根据点的坐标平移法则：左减右加，上加下减，即可得解，熟练掌握点的坐标平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将点通过平移得到点，平移方式可为沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移4个单位长度， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为（   ）． A．32 B．40 C．52 D．66 【答案】D 【分析】本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出m，n的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别是为，，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和， ∴可知将线段向右平移7个单位，向上平移6个单位得到的位置， ∴，， ∴与坐标分别是和， ∴与轴平行， ∴， ∴线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积的面积， 故选：D． 【题型7.已知图形的平移,求点的坐标】 【典例】向右平移4个单位长度得到，则点平移后对应的D点坐标为 【答案】 【分析】此题考查了坐标系中图形的平移，根据平移规律进行解答即可. 【详解】∵向右平移4个单位长度得到， ∴点向右平移4个单位长度后对应的D点坐标为，即， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，长方形的顶点为坐标原点，点在轴上，点的坐标为．如果将长方形平移后，点与点重合，得长方形，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化—平移，根据题意将长方形向左平移个单位，再向下平移个单位后，得长方形，此时点与点重合，然后根据点坐标平移的规律即可得出结论．解题的关键是掌握点坐标平移的规律：左减右加，上加下减． 【详解】解：∵长方形的顶点为坐标原点，点在轴上，点的坐标为， 将长方形向左平移个单位，再向下平移个单位后，得长方形，此时点与点重合， ∴点向左平移个单位，再向下平移个单位后与点重合， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正方形四个顶点的坐标分别是，将线段先向右再向下平移之后得到线段，点A的对应点为，若点E到直线的距离等于点F到直线的距离，则的数量关系为 ． 【答案】 【分析】此题考查坐标与图形的平移，关键是根据坐标与图形的平移特点解答．根据坐标得出轴，轴，进而利用两点的距离得出方程解答． 【详解】解；正方形四个顶点的坐标分别是，，，， 轴，轴， 设， 线段平移之后得到线段，点的对应点为， ， ， ， 点到的距离等于点到的距离， ， ， 故答案为：， 【跟踪专练3】如图，点，点，将线段平移至线段，点B的对应点D的坐标为，则点A的对应点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于线段是由线段平移得到的，而点的对应点D的坐标为，比较它们的坐标发现横坐标减少3，纵坐标减少5，利用此规律即可求出点A的对应点C的坐标． 本题考查点坐标的平移变换，要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移中，对应点的对应坐标的差相等，解决本题的关键是根据已知对应点找到各对应点之间的变化规律． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到的， 而点的对应点D的坐标为， ∴由B平移到D点的横坐标减少3，纵坐标减少5， 则点的对应点C的坐标为． 故选：A． 【题型8.已知平移后的坐标求原坐标】 【典例】平面直角坐标系中一个点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是，那它原来的位置坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系内点坐标的平移规律．掌握在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度（即：横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减）是解题关键．根据平移方式和平移后点的坐标即可直接求解． 【详解】解：设原来的位置坐标是， ∵该点先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后坐标是， ∴，， 解得：，， ∴原来的位置坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知△ABC内任意一点P（a，b）经过平移后对应点P1（a＋2，b－6），如果点A在经过此次平移后对应点A1（4，－3），则A点坐标为（    ） A．（6，－9） B．（2，－6） C．（－9，6） D．（2，3） 【答案】D 【分析】点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3），由此可得结论． 【详解】解：由题意，点A向右平移2个单位，向下平移6个单位得到A1（4，3）， ∴点A坐标（4−2，−3＋6），即（2，3）， 故选：D． 【点睛】本题考查的是坐标与图形变化——平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位得到点，则点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用平移变换的性质判断出点的坐标，根据四个象限的符号特点即可得结论． 【详解】解：将点向上平移个单位得到点， ， 点在第四象限， 故选：． 【点睛】考查坐标与图形变化一平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，以及记住各象限内点的坐标的符号． 【题型9.坐标系中的平移】 【典例】已知平面直角坐标系中存在一点，现将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的平移规律，根据直角坐标系中点的平移规律求解即可． 【详解】解：将平面直角坐标系向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，相当于将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的边长为4，顶点D的坐标是，轴，则顶点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的边长为4，顶点D的坐标是，则将点D向下平移4个单位长度得到点，根据轴，只需将点A向右平移4个单位长度得到点即，解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为4，顶点D的坐标是， 故将点D向下平移4个单位长度得到点， 又轴， 故将点A向右平移4个单位长度得到点即， 故选：A． 【跟踪专练2】平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查直角坐标系的知识，设出B点的坐标，根据轴，可确定B点横坐标，根据可确定B点的纵坐标． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，平面直角坐标中，直线分别与两坐标轴的正半轴相交，为直线AB上的一个动点，在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是（   ） A．x增大，y也增大 B．x增大，y却减小 C．x减小，y却增大 D．x减小，y也减小 【答案】B 【分析】本题主要考查点的平移，熟练掌握平移的特征是解题的关键．根据“右加左减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：在点P从点A平移到点B的过程中，坐标x，y的值变化情况是x增大，y却减小， 故选B． 【题型10.坐标系中的动点问题】 【典例】定义：在平面直角坐标系中，若两个不同的点满足，则称点互为“等距点”．如点互为“等距点”．已知两点的坐标分别为，，若在线段上存在一点与点互为“等距点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设线段上存在一点与互为“等距点”，得；根据，解答即可． 本题考查了坐标新定义问题，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设线段上存在一点与互为“等距点”，得， 解得； 根据两点的坐标分别为，，得， 故， 解得， 当时，，此时点与点重合，不符合题意， 故的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键． 根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动100秒所走的路程为200个单位长度，,则点P相当于运动了14圈后又运动4个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动100秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动14圈后又运动4个单位长度，即第100秒点所在的位置是， 故选：A． 【跟踪专练2】若经过点与点的直线平行于轴，，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，且两点之间距离等于横坐标差的绝对值． 若两点在平行于x轴的直线上，则纵坐标相同，再根据两点间的距离进行求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴，， 解得：或， ∴点的坐标是或， 故答案为：或 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标求出四边形的周长是解题的关键． 根据所给点的坐标，可求出四边形的周长，再根据细线的长度即可解决问题． 【详解】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线的长度为，， 细线的另一端在绕四边形第圈时的第个单位长度的位置， 即点的位置，坐标为． 故选：B． 【题型11.中点坐标】 【典例】在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴点D为的中点， ∵点，， ∴点E的坐标为，即， 故选：A． 【跟踪专练1】公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件．为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：表示起点，表示终点．如果软件需要在点A和点B之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式，是解题的关键．设中转站的坐标为，根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】解：设中转站的坐标为， ∵中转站到点A和点B的距离相等， ∴中转站为的中点， ∴， ∴中转站的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，点，轴，点的纵坐标为．则以下说法正确的是（   ） A．当时点P是线段的中点 B．无论取何值，线段的长度恒为3 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，根据已知点的坐标，即可判断A，B选项，根据的坐标分别求得，求出m的值，进而判断C，D选项． 【详解】解：∵点， 当，则，，， ∵，即点P不是线段的中点，故A选项错误； ∵点， ∴， ∴不是定值，故B选项错误； ∵轴，点的纵坐标为，， ∴， ∵，， 当时， 则或， 解得：或， 即有2个m的值，故C选项错误； 当时，则或（无解）， 解得：， 即有1个m的值，故D选项正确． 故选：D． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，若两点、，线段AB的中点是，则点的坐标为，例如：点、点，则线段AB的中点的坐标为，即请利用上面的结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点，N，线段MN的中点恰好位于轴上，且到轴的距离是3，则的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，中点坐标公式，先求出的中点的坐标，再根据点满足的条件列出方程求出、的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意可得：点，N， ∴线段MN的中点 ∵点恰好位于轴上，且到轴的距离是3， ∴ 解得：或 ∴或 综上所述，的值等于或 故答案为：或． 【题型12.点坐标规律探索】 【典例】在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，理解题中所给定义是解题的关键．解题时，根据题中所给定义直接求解即可． 【详解】解：∵的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”且的5级关联点为 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，四边形为长方形，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了描述在平面直角坐标系中的点，熟练掌握点的坐标特点是解题的关键； 观察图形，发现点D的横坐标与点A一致，纵坐标与点C一致，即可得出点D坐标． 【详解】解：观察图形发现： 点D的横坐标与点A一致，纵坐标与点C一致， 则点D的横坐标为，纵坐标为 ∴点 故选： D． 【跟踪专练2】如图，某机器人按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，…，按这样的运动规律，则第2025次运动到点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题关键是发现P点的横坐标、纵坐标的规律． 观察可知点P的横坐标即为运动的次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0，据此规律求解即可． 【详解】解：第一次运动后的坐标为：， 第二次运动后的坐标为：， 第三次运动后的坐标为：， 第四次运动后的坐标为：， 第五次运动后的坐标为：， …… ∴可以得出规律：点P的横坐标为运动次数，纵坐标每4次一轮，分别为1，0，2，0； P点的横坐标是运动次数即，纵坐标与第一次运动到达的点的纵坐标相同即1， 第次运动后的坐标为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得，再找到运动方向的规律即可求解． 【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的时间分别为，则， ∴， 相加得：， ． ∵， ∴运动了1980秒时它到点；方向向左， 又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动． 故到2024秒，需由再向左运动秒， ， ∴2024秒时，这个粒子所处位置为 故选：A． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【详解】（1）解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． （2）解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 2．苹果熟了，一个苹果从树上掉下来．如图，苹果从处落到了处．（网格单位长度为1） (1)写出，两点的坐标； (2)苹果由处落到处，可看作由哪两次平移得到的？ 【答案】(1)    (2)先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （或者先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度）． 【分析】此题主要考查了作图平移变换，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． （1）根据平面直角坐标系写出坐标即可，注意横坐标在前，纵坐标在后； （2）根据、的坐标可得平移方法． 【详解】（1）解：，． （2）解：先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （或者先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度）． 3．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 【答案】(1) (2)点或 (3)或12 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中长方形的性质、图形的平移以及图形面积的计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据长方形对边相等的性质，直接得出点的坐标； （2）先算出长方形周长，再分直线与相交、与相交两种情况，结合周长比例求出点坐标； （3）根据平移性质得到、坐标，再分情况利用梯形面积公式或三角形面积和来计算四边形面积． 【详解】（1）解：∵长方形中，，，且， ∴ （2）解：∵， ∴， ①当直线与边相交时， ∵， ∴，，即， ②当直线与边相交时， ∵， ∴，即； （3）解：①当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， ∵， ∴ ②当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， 连接，则，则， ∴ ． 4．如图，在平面直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成． (1)观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将变换成，则的坐标是＿＿＿＿，的坐标是＿＿＿． (2)若按第（1）题找到的规律将进行n次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是＿＿＿＿＿，Bn的坐标是＿＿＿＿＿． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了坐标与图形性质、坐标点的规律变化，根据给定点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键． （1）根据点的变化，可找出点的坐标；同理可得出点的坐标； （2）结合（1）中点的坐标的变化，可找出点的坐标； 【详解】（1）解：， ； ， ． 故答案为：；． （2）， ； …，. ． 故答案为：；． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $