20.2 勾股定理的逆定理及其应用讲义（2知识4题型精讲精练）寒假预习2025-2026学年 人教版 八年级数学下册

20.2 勾股定理的逆定理及其应用 基础知识 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角。 注意：勾股定理是“直角三角形 ⇒ 三边关系”，而逆定理是“三边关系 ⇒ 直角三角形”，二者互为逆命题。 应用逆定理时，必须先确定最长边，避免因边长顺序导致错误。 注意区分勾股定理和逆定理的应用场景：已知直角三角形求边长用勾股定理；已知三边判断是否为直角三角形用逆定理。 2. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：；；；； 等。 注意：勾股数的应用： 记住常见的勾股数，如 ； 等，可以快速判断三角形是否为直角三角形。 勾股数的倍数也是勾股数，如 是 的 倍。 经典例题 典例1：（判断三角形是否为直角三角形）判断由下列各组线段组成的三角形是不是直角三角形： (1) ，，； (2) ，，； (3) ，，。 【解析】(1) 计算可得： 因为 ，所以该三角形是直角三角形。 (2) 计算可得： 因为 ，所以该三角形不是直角三角形。 (3) 计算可得： 因为 ，所以该三角形是直角三角形。 【解题技巧】判断直角三角形的步骤： 确定三角形的最长边 。 计算 和 。 若 ，则三角形是直角三角形；否则不是。 变式1：（判断三角形形状）已知三角形的三边长分别为 、、（），当 为何值时，此三角形是直角三角形？ 【解析】因为 ，所以 是三条边中最长的边。 若该三角形是直角三角形，则根据勾股定理的逆定理，必有： 展开并化简方程： 解得 或 。 因为 ，所以 不符合题意，舍去。 当 时，三边长为 、、，满足勾股定理逆定理，是直角三角形。 典例2：（利用逆定理求角度）在 中，，， 边上的中线 ，求 的度数。 【解析】因为 是 边上的中线，所以 。 在 中，三边长分别为 ，，。 验证三边关系： 所以 。 根据勾股定理的逆定理， 是直角三角形，且 ，即 。 在 中，，所以 是锐角。 变式2：实际应用（航海问题）一艘轮船从港口 出发，以 海里/时的速度向正北航行，经过 小时到达 处，再从 处以 海里/时的速度向正东航行，经过 小时到达 处。求 、 两处的距离。 【解析】计算 和 的长度： 由题意可知，，所以 是直角三角形。 根据勾股定理： 所以 海里。 【解题技巧】逆定理的实际应用： 在解决实际问题时，先根据题意画出图形，判断是否存在直角三角形。 若存在，利用勾股定理的逆定理证明直角，再结合勾股定理求解边长。 一、勾股定理的逆定理（判断直角三角形） 1．（2025秋•温岭市期末）下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【分析】根据构成三角形的条件及勾股定理逆定理逐项验证即可得到答案． 【解答】解：A、由1+2＝3可知，这三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、2，3，4满足构成三角形的条件，但是22+32＝13≠16＝42，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意； C、5，12，13满足构成三角形的条件，且52+122＝169＝132，三条线段首尾相连能组成直角三角形，符合题意； D、4，5，6满足构成三角形的条件，但是42+52＝41≠36＝62，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 2．（2025秋•天台县期末）下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行判断即可． 【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； B、∵∠A＝35°，∠B＝55°，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴2∠C＝180°， 则∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，不符合题意； D、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A∠A∠A＝180°， ∴∠A， ∴△ABC不是直角三角形，符合题意， 故选：D． 3．（2025秋•常州期末）由下列线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B． C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a：b：c＝2：3：4 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【解答】解：A、32+42＝52，组成的三角形是直角三角形，不符合题意； B、12+（）2＝（）2，组成的三角形是直角三角形，不符合题意； C、52+122＝132，组成的三角形是直角三角形，不符合题意； D、（2x）2+（3x）2≠（4x）2，组成的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 4．（2025秋•嵩县期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　） A．80° B．60° C．45° D．30° 【答案】C 【分析】过B作BM∥AC，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可． 【解答】解：过B作BM∥AC，如图，连接DM， 由勾股定理得：DM，BM，BD，AC， ∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2， ∴△DMB是等腰直角三角形， ∴∠DBM＝45°， ∵AC∥BM， ∴∠APB＝∠DBM＝45°， 故选：C． 5．（2025秋•高青县期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为　45　 °． 【答案】45． 【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案． 【解答】解：连接AC， 由勾股定理得：AC2＝22+12＝5， BC2＝22+12＝5， AB2＝12+32＝10， ∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2， ∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°， 故答案为：45． 6．（2025秋•洛宁县期末）已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为　2或4　 ． 【答案】2或4． 【分析】根据勾股定理：分两种情况第三边是斜边和不是斜边的两种结果计算即可． 【解答】解：根据勾股定理分两种情况： （1）当第三边为斜边时，第三边长2； （2）当斜边为6时，第三边长4； 故答案为：2或4． 7．（2025秋•聊城期末）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，可以先求出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1， ∴BC， ∵AB＝3，AC＝2， ∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC1， 故答案为：1． 8．（2025秋•松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　①②③　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 【答案】①②③． 【分析】根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④． 【解答】解：①∠A﹣∠B＝∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C＝180°， 由∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得∠A＝90°， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则最大角， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ③（b+c）（b﹣c）＝a2，展开得b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2， ∴△ABC为直角三角形，符合题意； ④a＝1，，c＝3，∵， ∴a+b＜c， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故答案为：①②③． 9．（2025秋•大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　等腰直角　 三角形． 【答案】等腰直角． 【分析】根据非负数的性质求出a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，进而判断出△ABC的形状． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0， ∴a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b，且a2+b2＝c2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 10．（2025秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为　　 ． 【答案】． 【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质推出AE＝BE，由勾股定理的逆定理推出∠C＝90°，令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，由勾股定理得到x2+32＝（4﹣x）2，求出x，即可得到CE的长． 【解答】解：连接AE， 由题意知：MN垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴AC2+CE2＝AE2， 令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x， ∴AE＝4﹣x，∴x2+32＝（4﹣x）2， ∴x， ∴CE． 故答案为：． 11．（2025秋•禹王台区校级期末）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求： （1）AC的长； （2）该四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，运用勾股定理求得； （2）根据三角形面积公式得到，根据勾股定理的逆定理推出△ACD是直角三角形，根据三角形面积公式得到．推出S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD． 【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°， ∴； （2）， ∵在△ACD中，CD＝12，AD＝13，AC＝5， ∴CD2+AC2＝122+52＝132＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴． ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36． 12．（2025秋•朝阳区校级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长．我们可以利用a，b，c之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边长是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 　锐角　 三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是8，15，x，则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？ 【分析】（1）先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再得出答案即可； （2）分为两种情况，12为最长边或x为最长边，根据勾股定理求出即可． 【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81， ∴92＜72+82， ∴该三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）当最长边是15时，x； 当最长边是x时，x17， 即x＝17或这个三角形是直角三角形． 13．（2025秋•黔江区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，试说明△ABC是直角三角形； （2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据非负数性质求解a，b，c，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵， ∴根据非负数的性质得，a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0， ∴a＝5，b＝12，c＝13， ∵52+122＝132， ∴a2+b2＝c2， ∴根据勾股定理的逆定理得，∠C＝90° ∴△ABC是直角三角形； （2）解：存在， ①AB＝AD时，以A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CB于点D1， ∵AC⊥BD1 ∴CD1＝BC＝5； ②BA＝BD＝13时，以B为圆心，BA长为半径画弧，交直线CB于点D2、D3， ∴CD3＝BD3+BC＝13+5＝18；CD2＝BD2﹣BC＝13﹣5＝8； ③DA＝DB时，作AB的垂直平分线交直线CB于点D4，设CD4＝x，则D4A＝D4B＝CD4+BC＝x+5， ∵AC⊥CD4， ∴， ∴122+x2＝（x+5）2， 整理得，10x＝119， 解得，即， 综上所述，CD的值为5或8或18或． 二、勾股数的识别与规律探究 1．（2025秋•亭湖区期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，， B．3，4，5 C．2，3，2 D．0.5，1.2，1.3 【答案】B 【分析】根据勾股数的概念判断即可． 【解答】解：A、∵1，，不都是正整数， ∴1，，不是勾股数，不符合题意； B、∵32+42＝52， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵22+22≠32， ∴2，3，2不是勾股数，不符合题意； D、∵0.5，1.2，1.3都不是正整数， ∴0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．（2025秋•景德镇期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，逐一验证各选项即可． 【解答】解：A：0.6，0.8均非正整数，故不是勾股数，不符合题意； B：8，15，17均为正整数，且82+152＝64+225＝289，172＝289，则82+152＝172，是勾股数，符合题意； C：非整数，故不是勾股数，不符合题意； D：4，5，6均为正整数，但42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．（2024秋•富平县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　25　 ． 【答案】25 【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可． 【解答】解：设第三个数为x， ∵是一组勾股数， ∴①x2+72＝242， 解得：x（不合题意，舍去）， ②242+72＝x2， 解得：x＝25， 故答案为：25． 4．（2025秋•成都期末）若a，b，c是一组勾股数，且a＝20252+20262，b＝4050×2026，a＞c，则c＝　4051　 ． 【答案】4051． 【分析】根据勾股数的概念计算即可． 【解答】解：∵a，b，c是一组勾股数，a＞c， ∴c ＝4051， 故答案为：4051． 5．（2025秋•岳阳县期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【答案】11，60，61． 【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 6．（2025秋•稷山县校级期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为　（9，40，41）　 ． 【答案】（9，40，41）． 【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4个勾股数组中间的数为：4×（9+1）＝40，即可得出结论． 【解答】解：根据图中给出的数据可得： 由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40， ∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40． 故答案为：（9，40，41）． 7．（2025秋•调兵山市月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　13，84，85　 ． 【答案】13，84，85． 【分析】观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解． 【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13， 则第三个数字为b+1， 由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2， 即169+b2＝b2+2b+1， 整理得169＝2b+1， 解得b＝84， 故b+1＝85． 因此第⑥组勾股数为13，84，85． 故答案为：13，84，85． 8．（2025秋•鼓楼区校级期中）如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． （1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数． （2）请写出任意一组含有68的“勾股数”：　68，285，293（答案不唯一）　 ． 【分析】（1）根据完全平方公式、勾股数的定义证明； （2）根据2mn＝68，得到mn＝34，根据（1）中结论计算，得到答案． 【解答】（1）证明：a2+b2＝（2mn）2+（m2﹣n2）＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4， c2＝（m2+n2）＝m4+2m2n2+n4， 则a2+b2＝c2， ∵m，n是正整数，m＞n， ∴a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数； （2）解：2mn＝68， 则mn＝34， 当m＝17，n＝2时，m2﹣n2＝172﹣22＝285，m2+n2＝172+22＝293， ∴68，285，293是一组含有68的“勾股数”， 故答案为：68，285，293（答案不唯一）． 9．（2024春•嘉鱼县期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解决】 （1）根据柏拉图的研究，当m＝6时，请直接写出一组勾股数：　12，35，37　 ； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m2﹣1，2m，m2+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【分析】（1）把m＝6代入计算即可； （2）根据完全平方公式、勾股数的概念证明； （3）举出最小数是奇数的一组勾股数即可． 【解答】（1）解：当m＝6时，2m＝12，m2﹣1＝35，m2+1＝37， 则这组勾股数是12，35，37， 故答案为：12，35，37； （2）证明：（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1，（m2+1）2＝m4+2m2+1， ∴（m2﹣1）2+（2m）2＝（m2+1）2， ∵m表示大于1的整数， ∴m2﹣1，2m，m2+1都是正整数， ∴m2﹣1，2m，m2+1是一组勾股数； （3）5、12、13，是柏拉图给出的勾股数公式不能构造出的勾股数，（答案不唯一）． 三、勾股定理逆定理的实际应用（直角三角形模型直接应用） 1．（2025秋•市北区期末）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 【答案】B 【分析】如图：连接AC，根据勾股定理可求得AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答． 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB⊥CB， ∴∠ABC＝90°， ∵AB＝3米，BC＝4米， ∴AC＝5米， ∵AD＝12米，CD＝13米， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD为直角三角形， ∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（m2）． 故选：B． 2．（2025秋•浚县期末）据中央气象台消息，超强台风桦加沙于2025年9月24日在广东阳江海陵岛第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20km/h的速度移动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC＝400km，AC＝300km，AB＝500km．问： （1）海港C会不会受到台风的影响？ （2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【分析】（1）通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，利用面积法求出C到AB的距离CD，比较CD与250km的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、250km为半径作圆，交AB于E、F，利用勾股定理求出ED的长度，得到EF的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∵3002+4002＝5002，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形．∠ACB＝90°， ∵S△ABC， ∴300×400＝500×CD， 解得：CD240， ∵以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （2）如图2，设台风中心移动到点E，F处时刚好影响海港C，连接CE，CF，则EC＝FC＝250km， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：ED70（km）， ∵ED＝FD， ∴EF＝2ED＝140km． ∵台风中心移动的速度为20km/h， ∴140÷20＝7（h）， ∴受台风影响的时间为7h． 四、勾股定理及逆定理的综合应用 1．（2025秋•承德县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE． （1）若点E为BC的中点，BC＝8，DE＝3，BD＝5，则△BDE是　直角　 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD＝4，BC＝8，求BE的长； （3）如图2，点P在边AC上运动，连接PD，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F． ①判断DE与DP的位置关系，并说明理由； ②若AC＝4，BC＝6，PA＝1，求DE的长． 【答案】（1）直角； （2）BE＝5； （3）①DE⊥DP，理由见解析；②． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可得出结论； （2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可； （3）①等边对等角得到∠A＝∠PDA，中垂线的性质结合等边对等角得到∠EDB＝∠B，进而推出∠PDA+∠EDB＝90°，即可得证；②连接PE，设DE＝BE＝x，则CE＝6﹣x，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：（1）∵点E为BC的中点，BC＝8， ∴BEBC8＝4， ∵DE＝3，BD＝5，且32+42＝52， ∴DE2+BE2＝BD2， ∴△BDE是直角三角形， 故答案为：直角； （2）∵AE平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴CE＝DE． 设BE＝a，则DE＝CE＝8﹣a， 在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2， ∴42+（8﹣a）2＝a2， ∴a＝5， 即BE＝5． （3）①DE⊥DP． 理由如下： 由题意知PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA． ∵EF是BD的垂直平分线， ∴DE＝BE（线段垂直平分线的性质）， ∴∠EDB＝∠B． ∵∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣（∠PDA+∠EDB）＝180°﹣90°＝90°． ∴DE⊥DP． ②如图，连接PE． 设DE＝BE＝x，则CE＝6﹣x． ∵PA＝1，AC＝4， ∴PD＝1，PC＝3． 由勾股定理，得PE2＝PC2+CE2＝32+（6﹣x）2，PE2＝PD2+DE2＝12+x2， 即32+（6﹣x）2＝12+x2， ∴， ∴DE的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 基础知识 1. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 、、 满足 ，那么这个三角形是直角三角形，且边 所对的角为直角。 注意：勾股定理是“直角三角形 ⇒ 三边关系”，而逆定理是“三边关系 ⇒ 直角三角形”，二者互为逆命题。 应用逆定理时，必须先确定最长边，避免因边长顺序导致错误。 注意区分勾股定理和逆定理的应用场景：已知直角三角形求边长用勾股定理；已知三边判断是否为直角三角形用逆定理。 2. 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：；；；； 等。 注意：勾股数的应用： 记住常见的勾股数，如 ； 等，可以快速判断三角形是否为直角三角形。 勾股数的倍数也是勾股数，如 是 的 倍。 经典例题 典例1：（判断三角形是否为直角三角形）判断由下列各组线段组成的三角形是不是直角三角形： (1) ，，； (2) ，，； (3) ，，。 【解析】(1) 计算可得： 因为 ，所以该三角形是直角三角形。 (2) 计算可得： 因为 ，所以该三角形不是直角三角形。 (3) 计算可得： 因为 ，所以该三角形是直角三角形。 【解题技巧】判断直角三角形的步骤： 确定三角形的最长边 。 计算 和 。 若 ，则三角形是直角三角形；否则不是。 变式1：（判断三角形形状）已知三角形的三边长分别为 、、（），当 为何值时，此三角形是直角三角形？ 【解析】因为 ，所以 是三条边中最长的边。 若该三角形是直角三角形，则根据勾股定理的逆定理，必有： 展开并化简方程： 解得 或 。 因为 ，所以 不符合题意，舍去。 当 时，三边长为 、、，满足勾股定理逆定理，是直角三角形。 典例2：（利用逆定理求角度）在 中，，， 边上的中线 ，求 的度数。 【解析】因为 是 边上的中线，所以 。 在 中，三边长分别为 ，，。 验证三边关系： 所以 。 根据勾股定理的逆定理， 是直角三角形，且 ，即 。 在 中，，所以 是锐角。 变式2：实际应用（航海问题）一艘轮船从港口 出发，以 海里/时的速度向正北航行，经过 小时到达 处，再从 处以 海里/时的速度向正东航行，经过 小时到达 处。求 、 两处的距离。 【解析】计算 和 的长度： 由题意可知，，所以 是直角三角形。 根据勾股定理： 所以 海里。 【解题技巧】逆定理的实际应用： 在解决实际问题时，先根据题意画出图形，判断是否存在直角三角形。 若存在，利用勾股定理的逆定理证明直角，再结合勾股定理求解边长。 一、勾股定理的逆定理（判断直角三角形） 1．（2025秋•温岭市期末）下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 2．（2025秋•天台县期末）下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55° C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C 3．（2025秋•常州期末）由下列线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a＝3，b＝4，c＝5 B． C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a：b：c＝2：3：4 4．（2025秋•嵩县期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（　　） A．80° B．60° C．45° D．30° 5．（2025秋•高青县期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为　 　 °． 6．（2025秋•洛宁县期末）已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为　 　 ． 7．（2025秋•聊城期末）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为　 　． 8．（2025秋•松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 　 　 ． ①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3． 9．（2025秋•大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　 　三角形． 10．（2025秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为　 　 ． 11．（2025秋•禹王台区校级期末）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求： （1）AC的长； （2）该四边形ABCD的面积． 12．（2025秋•朝阳区校级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长．我们可以利用a，b，c之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边长是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形． 请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 　锐角　 三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是8，15，x，则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？ 13．（2025秋•黔江区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，试说明△ABC是直角三角形； （2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由． 二、勾股数的识别与规律探究 1．（2025秋•亭湖区期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（　　） A．1，， B．3，4，5 C．2，3，2 D．0.5，1.2，1.3 2．（2025秋•景德镇期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（　　） A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6 3．（2024秋•富平县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　． 4．（2025秋•成都期末）若a，b，c是一组勾股数，且a＝20252+20262，b＝4050×2026，a＞c，则c＝　　 　 ． 5．（2025秋•岳阳县期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　 　 ． 6．（2025秋•稷山县校级期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为　 　． 7．（2025秋•调兵山市月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数： ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25； ④9，40，41； ⑤11，60，61 … 根据上述规律，写出第⑥组勾股数为　 　 ． 8．（2025秋•鼓楼区校级期中）如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． （1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数． （2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： 　 　 ． 9．（2024春•嘉鱼县期中）阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解决】 （1）根据柏拉图的研究，当m＝6时，请直接写出一组勾股数：　 　； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m2﹣1，2m，m2+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 三、勾股定理逆定理的实际应用（直角三角形模型直接应用） 1．（2025秋•市北区期末）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（　　） A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2 2．（2025秋•浚县期末）据中央气象台消息，超强台风桦加沙于2025年9月24日在广东阳江海陵岛第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20km/h的速度移动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC＝400km，AC＝300km，AB＝500km．问： （1）海港C会不会受到台风的影响？ （2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 四、勾股定理及逆定理的综合应用 1．（2025秋•承德县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE． （1）若点E为BC的中点，BC＝8，DE＝3，BD＝5，则△BDE是　 　 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角”） （2）如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD＝4，BC＝8，求BE的长； （3）如图2，点P在边AC上运动，连接PD，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F． ①判断DE与DP的位置关系，并说明理由； ②若AC＝4，BC＝6，PA＝1，求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $