7.1.2 两条直线垂直 同步练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

7.1.2 两条直线垂直 同步练习 一、单选题 1．若A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外一点，，且，，，则点P到直线l的距离是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，，B、O、D三点在一条直线上，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线和相交于点，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 6．以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是（   ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定 D．弯曲河道改直 7．已知是直线外一点，以为一个端点作线段，使端点在直线上，并且使线段的长为，这样的线段可以作的条数是（    ）． A．0或1 B．1或2 C．0或2 D．非以上答案 8．如图，直线AB，CD相交于点O，给出下列条件：①；②；③；④．其中能说明的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 10．如图，于点D，，，，点E是线段上的一个动点（包括端点），连接，那么的最小值是 ． 11．如图，直角三角形中，已知，，，，点为边．上一动点．线段的长度的最小值为 ． 12．如图，O为直线上一点，，分别平分和，则和的位置关系是 ． 13．如图测量运动员的跳远成绩应选取图中线段 的长度．    14．如图，点A，B，C在一条直线上，已知，，则与的位置关系是 ． 15．已知和互为邻补角，且，平分，射线在内部，且，，，则 ． 16．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，一辆汽车在直线形公路上由A向B行驶，点C，D分别是位于公路两侧的村庄，设汽车行驶到点E时，离村庄C最近，行驶到点F时，离村庄D最近． (1)请你在上分别画出E，F两点的位置； (2)如果在公路上有一个点P到村庄C和村庄D的距离之和最短，请在公路上画出点P． 18．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 19．如图，所有小正方形的边长都为1个单位长度，A、B、C都在格点上． (1)过点A作直线的垂线，垂足为G； (2)过点A作直线，垂足为A，直线交于点H； (3)过点A作直线的平行线l； (4)点A到直线的距离等于 个单位长度． 20．如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数是多少？    21．如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 22．如图，直线相交于点O，．其中与是一对对顶角，小亮同学发现，并写出如下证明过程： 与互补，与互补（依据1）， （依据2） (1)上述小亮同学的证明过程中，依据1，依据2分别指的是： ①依据1：________； ②依据2：________． (2)通过小亮上述证明过程可以得到对顶角的性质：________． (3)如图，若，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据点到直线的距离的定义（直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离）即可得． 【详解】解：是直线上的一点，是直线外一点，，且， 点到直线的距离是5， 故选：A． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，熟记定义是解题关键． 2．D 【分析】本题考查垂直的定义和邻补角的定义，先根据垂直求出的度数，然后根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据求出，再根据角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，根据垂线的定义可得的度数，则可求出的度数，进而求出的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫作这点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义得出答案即可． 【详解】解：于， 点到直线的距离是线段的长度， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据垂线段最短分三种情况解答即可求解，掌握垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：当与的距离小于时，这样的线段可作条； 当与的距离等于时，这样的线段可作条； 当与的距离大于时，这样的线段可作条； 综上，这样的线段可作条或条或条， 故选：． 8．C 【分析】此题主要考查垂线的定义，角的概念，对顶角、邻补角的定义，准确识图，理解垂线的定义，对顶角、邻补角的定义是解决问题的关键． 根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可． 【详解】解：①∵直线，相交于点，， ∴， 故条件①能说明； ②∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故条件②能说明； ③∵直线，相交于点， ∴， 根据已知条件，不能得到， 故条件③不能说明； ④∵直线，相交于点， ∴， ∵， ∴， 故条件④能说明， 综上所述：能说明的条件有①②④，共3个． 故选：C． 9．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行作答即可． 【详解】解：由题意，蕴含的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 10．4 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：当时，的值最小，此时． 故答案为：4 11． 【分析】本题考查了垂线段最短和三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，，， 当时，的值最小， 此时：， ， 故答案为：． 12．/垂直 【分析】此题考查角平分线的定义，垂直的判断，解题的关键是理解题意． 根据角平分线定义得到，，得到，即可求解． 【详解】解：∵是平角， ∴，即． ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】利用从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】依据垂线段最短，可得测量运动员跳远成绩选取的应是图中线段的长度． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段的性质：垂线段最短．垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 14．互相垂直 【分析】本题考查垂直的定义，正确求得是解题的关键．根据题意可得，进而求得，即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、C三点在一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即与的位置关系是垂直关系， 故答案为：互相垂直． 15．或 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、邻补角，正确分两种情况讨论是解题关键．分两种情况进行讨论：在上方和在下方，先求得的度数，再根据，即可得到的度数． 【详解】解：①如图1，当在上方时， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当在下方时， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或， 故答案为：或． 16． 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短；两点之间，线段最短； （1）根据垂线段最短，分别过点C、D向直线作垂线即可； （2）根据两点之间，线段最短，连接与直线的交点即为点P． 【详解】（1）解：点E，F的位置如图所示： （2）点P的位置如图所示． 18．(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 19．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)2 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于中考常考题型． （1）根据垂线的定义作出图形即可； （2）根据垂线的定义作出图形即可； （3）根据平行线的定义作出图形即可； （4）线段的长即为点A到直线的距离． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）如图，直线l即为所求． （4）解：线段的长即为点A到直线的距离是2个单位长， 故答案为：2． 20． 【分析】根据垂直定义求出，再利用对顶角相等得到，进而由求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 【点睛】此题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义及证明、垂直的定义等知识点，掌握各个角之间的和差关系是解题关键． （1）由可得、，结合即可求证； （2）由题意得，可推出 ，；进而得，从而得，分类讨论在上方和下方两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∴平分 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 如图： 则； 如图： 则； 综上所述：的度数为或 22．(1)①依据1：邻补角的定义②同角的补角相等 (2)对顶角相等 (3) 【分析】本题主要考查邻补角、补角、对顶角和垂直的定义： （1）根据小亮的证明过程并结合图形可以得出结论； （2）根据对顶角的性质进行判断即可； （3）根据对顶角性质得，求出，最后根据可得出结论 【详解】（1）解：与互补，与互补（邻补角的定义）， （同角的补角相等） 所以，依据1是邻补角的定义；依据2是同角的补角相等 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等 （2）解：通过小亮上述证明过程可以得到对顶角的性质：对顶角相等； 故答案为：对顶角相等； （3）解：∵，且， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $