已知线线角、线面角、面面角求其他量专项训练-2025-2026学年高二数学苏教版选择性必修第二册

已知线线角、线面角、面面角求其他量专项训练 已知线线角、线面角、面面角求其他量专项训练 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线线角求其他量 例1．（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，，设，连接 因为四边形为正方形，则是中点，点是棱的中点， 则，因为平面，平面， 所以平面； （2）连接，正四棱锥中，平面，， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，（负值舍去），故，，，， 所以，， 由题意知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得， 取，得， 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以， 所以二面角的余弦值为. 例2．（25-26高三上·天津西青·月考）如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面， ，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， 依题意，是平面的一个法向量，又， 则，而直线平面，所以平面. （2）， 设平面CPB的法向量为 ，则，取，得， 设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ， 设平面与平面夹角为，则， ，所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）由点H在PD上，设，则， 依题意，，而，解得， 所以线段的长为. 例3．（25-26高三上·山东济南·开学考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.    (1)证明：； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于O，因为为菱形，故； 又因为，O为的中点，故， 平面，故平面， 而平面，故. （2）以O为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 结合（1）可设，因为，所以，即， 而，故， 解得，因为，则，故，故， 则， 设平面的法向量为，则， 则，令，则，则， 又，则， 即直线与平面所成角的余弦值为. 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接， 则平面和平面交线为，即 因为为直三棱柱，所以为平行四边形， 所以为中点，为中点，所以， 又平面平面， 所以平面，即平面. （2）直三棱柱中，，所以两两垂直. 以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设，则， 所以 解得，所以线段长为. 变式2．（25-26高二上·天津·期中）如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，如下图所示： 因为为中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为为中点，为中点， 所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2）建立如下图所示的空间直角坐标系， 又， 所以， 设平面一个法向量为， 所以，所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，且， 所以， 所以， 化简得，解得或（舍）， 所以. 变式3．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图． (1)求证：． (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1），分别为中点，，即， 为中点，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）取中点，连接， ，为中点，，即， ，； 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 假设在线段上存在点，使得直线和所成角的余弦值为， 设，则， ， ， 整理可得：，解得：， 存在满足题意的点，此时. 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高三上·山西太原·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，. (1)证明：； (2)棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是的中点 【详解】（1）证明：底面为平行四边形，，， 在中，，， ， ，，，即， ，，平面， 平面，∵平面，， 四边形为平行四边形，. （2）解：由（1）得，，，平面 平面，∵平面，， ，， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点，设（）， ， 设是平面的一个法向量， 则，即 令，则，，， 设直线与平面所成角为， 则， 或（舍去）， ，即点是的中点. 棱的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 例2．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，等腰直角三角形，，，，，.点在棱上. (1)若平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点使直线与平面所成的角为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点与点重合或与点重合 【详解】（1）证明：在中，过点作交于点，连接， 因为，所以，所以四点共面.   因为平面，平面， 平面平面，所以.   所以四边形是平行四边形， 所以，所以为的中点. （2）过作于，连接. 因为，所以为中点. ，，，所以四边形为平行四边形. 又，所以. 又因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面.所以. 所以. 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.   因为，， 由题意得，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则即 令，则.所以平面的一个法向量为. 设，则. 所以.   设与平面所成角为， 则.    解得或.又因为，所以或. 所以点与点重合或与点重合. 则即 令，则.所以平面的一个法向量为. 设，则. 所以.   设与平面所成角为， 则.    解得或.又因为，所以或. 所以点与点重合或与点重合. 例3．（25-26高二上·湖北黄石·期末）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到直二面角，如图2所示. (1)求证：； (2)棱BC上存在一点M，当PM与平面ABC所成角的正弦值为时，求平面PAM与平面ABC所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【详解】（1）证明：如图1中，连接，设， 因为四边形为正方形，所以，则， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）解：因为二面角为直二面角，且是二面角的平面角， 所以，因为， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为正方形的边长为，可得， 所以， 设，且，所以， 则， 又由平面的一个法向量为， 因为与平面所成角的正弦值为， 可得，解得或， 当时，点，可得, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面所成角为， 则. 当时，点，可得, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面所成角为， 则， 综上可得，平面与平面所成角的余弦值为或. 变式1．（25-26高二上·浙江湖州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且．    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 又平面，所以． （2）如图，取的中点，的中点，连接，．    易知，则平面， 又平面，所以，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，，，所以， 且. 因为，所以. 因为，所以. 过作直线的垂线，垂足为，则. 所以，所以； . 所以，. 所以. ，则，， 故 因为直线与平面所成角的余弦值为，则其所成角的正弦值为， 因为平面，所以平面． 可知是平面的一个法向量， 故由题意可知，， 解得或（舍去）． 综上，． 变式2．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，. 【详解】（1）连接FG.在△中，F、G分别为的中点， 所以.又因为平面， 平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以.又，所以. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则，. 所以，. 设平面SCD的一个法向量为. 则，即， 令，得.所以平面SCD的一个法向量为. 又平面ESD的一个法向量为. 所以 所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为. （3）假设存在点H，设， 则. 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以. 故存在满足题意的点H，此时. 变式3．（25-26高二上·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点是的中点． (1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】(1)存在，证明见解析； (2). 【详解】（1）存在，当为的中点，点，，，共面． 证明如下： 取的中点，连接，又点是的中点，则， 由，得，则直线确定一个平面， 所以线段上存在一点，使得点，，，共面. （2）过点作，由底面，得底面， 而，，则，即直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则，由底面，得是平面的一个法向量， 于是，解得， 在底面直角梯形中，，，，则， 由为的中点，得， 所以三棱锥的体积为. 考点三 已知面面角求其他量 例1．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面，. (1)求证：； (2)若，当二面角的大小为时，求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为底面，底面， 所以，， 过作垂足为，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以. （2）由（1）可知为直角三角形，在平面内过点作，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，所以，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则，取， 设平面的法向量为，则，取， 因为二面角的大小为，所以， 解得或（舍去），所以， 所以，， 设直线和平面所成角为，则， 即直线和平面所成角的正弦值为. 变式2．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）在矩形中，由，且为的中点，得， 则，，即，而， 且平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）①由（1）知，过点作直线平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，设平面与平面所成夹角为， 则，所以平面与平面所成夹角的余弦值为. ②由，得，， 则，设平面的法向量， 则，取，得， 而平面的法向量，平面与平面的夹角， 则，解得， 所以. 例3．（25-26高二上·河南许昌·期末）如图，在四棱锥中，平面，平面平面，. (1)证明：平面； (2)已知点为线段上一点（与不重合）. （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点均在球的球面上，求球表面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）由平面平面，得， 在平面中，，则，又， 则，，由平面平面， 平面平面，平面，得平面， 又平面，则，而平面， 所以平面． （2）（i）由（1）知，即，又平面，即直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 由（1）平面，得为平面的一个法向量，记， 由题意得， 整理得，则，所以． （ii）由（i）知，即， 设球的球心坐标为，半径为，则， 即， ， 解得， 而，则当时，取得最小值， 所以球表面积的最小值为. 变式1．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在三棱锥中，. (1)若平面平面. （i）求证：； （ii）三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求球的半径； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2). 【详解】（1）（i）由题意得，，平面平面， 因为平面平面平面，所以平面， 又平面，所以. （ii）如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 设三棱锥外接球球心，则球心到的距离相等， 所以， 即 解方程得，所以， 故. （2）过点作棱交的延长线于点， 因为，所以， 所以点是在以为圆心，为半径的圆上一点， 故以点为坐标原点，为轴，过点且平行于的直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则，所以 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以平面的一个法向量为； 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为二面角的余弦值为， 所以， 又因为，将其代入整理得，解得， 所以，此时， 故二面角的余弦值为时，. 变式2．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，. (1)若，求四棱锥的体积； (2)设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)16 (2) 【详解】（1）在底面中，因为是底面直径， 所以， 又，故， 所以. 所以. 因为是圆柱的母线，所以面，所以四棱锥的体积为. （2）以为坐标原点，以为轴正方向，在底面内过点C作平面的垂直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，故. ， 因此，. ，，则 设平面和平面的法向量分别为， 则有：， 取， 设平面与平面的夹角为，则 ， 整理得或（无解，舍），由于k为正整数，解得. 变式3．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． (1)当时，求证：平面； (2)已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由条件得，是的中点，取的中点，连接，，（如图1）， 则， 在菱形中，为的中点，所以， 所以，且，所以四边形是平行四边形，     则，而平面平面， 所以平面. （2）由为的中点，则， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面.    （方法一）底面是菱形，，所以为正三角形，则， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图2）， 则，     设，其中，则， ，     设平面的法向量为，所以， 即，取，可得， 又平面即平面的法向量为，     由二面角的大小为，则， 即，化简得， 又，所以，即. （方法二）作于点于点，连（如图3）， 依题意，平面， 故平面，从而，故，     设，则，     而，故，     又，故，解得，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $已知线线角、线面角、面面角求其他量专项训练 已知线线角、线面角、面面角求其他量专项训练 考点目录 已知线线角求其他量 已知线面角求其他量 已知面面角求其他量 考点一 已知线线角求其他量 例1．（25-26高二上·山东青岛·月考）如图所示，正四棱锥中，点E是棱的中点. (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为，求二面角（锐角）的余弦值. 例2．（25-26高三上·天津西青·月考）如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 例3．（25-26高三上·山东济南·开学考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.    (1)证明：； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值. 变式1．（25-26高三上·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC (1)记平面平面，证明：平面； (2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长. 变式2．（25-26高二上·天津·期中）如图，在三棱锥中，底面，，点D，E，N分别为棱，，的中点，M是线段的中点，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长. 变式3．（25-26高二上·福建厦门·月考）如图，在中，分别为的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图． (1)求证：． (2)线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高三上·山西太原·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，. (1)证明：； (2)棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由. 例2．（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，等腰直角三角形，，，，，.点在棱上. (1)若平面，求证：为的中点； (2)在线段上是否存在点使直线与平面所成的角为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·湖北黄石·期末）图1是边长为的正方形ABCD，将沿AC折起得到直二面角，如图2所示. (1)求证：； (2)棱BC上存在一点M，当PM与平面ABC所成角的正弦值为时，求平面PAM与平面ABC所成角的余弦值. 变式1．（25-26高二上·浙江湖州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，，，且为正三角形，，点为的中点，点为棱上一点，且．    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的余弦值为，求的值． 变式2．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 变式3．（25-26高二上·河南开封·期末）如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，点是的中点． (1)线段上是否存在一点，使得点，，，共面？存在请证明，不存在请说明理由； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 考点三 已知面面角求其他量 例1．（25-26高三上·山东青岛·期末）如图，三棱锥中，底面，平面平面，. (1)求证：； (2)若，当二面角的大小为时，求直线和平面所成角的正弦值. 变式2．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图甲所示，已知在长方形中，且E为BC的中点，将图甲中沿折起，使得如图乙. (1)求证：平面平面； (2)若点是线段上的动点，且满足. ①若求平面与平面夹角的余弦值； ②若平面与平面的夹角为求λ的值. 例3．（25-26高二上·河南许昌·期末）如图，在四棱锥中，平面，平面平面，. (1)证明：平面； (2)已知点为线段上一点（与不重合）. （i）若二面角的余弦值为，求的值； （ii）若四点均在球的球面上，求球表面积的最小值. 变式1．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在三棱锥中，. (1)若平面平面. （i）求证：； （ii）三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求球的半径； (2)若二面角的余弦值为，求的长. 变式2．（25-26高三上·湖北襄阳·期末）如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，是与的交点，. (1)若，求四棱锥的体积； (2)设点在线段上，且存在一个正整数，使得，若已知平面与平面的夹角的正弦值为，求的值. 变式3．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，为的中点，为棱上一点． (1)当时，求证：平面； (2)已知平面平面，当二面角的大小为时，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $