线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练-2025-2026学年高二数学苏教版选择性必修第二册

线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 考点目录 线线角的空间向量求法 线面角的空间向量求法 面面角的空间向量求法 考点一 线线角的空间向量求法 例1．（25-26高二上·云南楚雄·期末）如图，在五棱锥中，平面平面. (1)证明：. (2)已知，且点均在球的球面上. （i）证明：点在平面内. （ii）求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面， 且，平面，所以平面. 又平面，所以. （2）（i）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，过点作轴，垂足为. 因为，所以， 又，所以，则， . 设，球的半径为， 则 解得. 故点在平面内. （ii）解：由（i）可知， ， 所以直线与所成角的余弦值为. 例2．（2026·山东·一模）已知正方体，E，F分别是，的中点，如图所示．    (1)求与所成角的大小； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为， 则有 即，， 因为E，F分别是，的中点，所以 则， 因， ，则， 则与所成角的大小为； （2）由， 可得，即， ，即， 又因为平面， 所以平面. 例3．（25-26高二上·四川达州·期末）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与的夹角. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则， ，， 因此向量共面，而直线确定平面， 则平面，而平面，所以平面. （2）由（1）得，，因此， 而，则， 所以异面直线与的夹角为. 变式1．（2026·河北·模拟预测）如图，该几何体是由半圆锥 PO 和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB 的中点，A，B，C，H 四点共面，△PAB 是边长为10的正三角形，BC=8，AC=6，在半圆弧AB上取一点F，使得AF∥BC，连接PF，D，E 分别为线段PA，PF 的中点． (1)证明：平面ODE∥平面 PBC． (2)求异面直线 BH 与OE 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由 D，E 分别为线段PA，PF 的中点，知DE∥AF，又由AF∥BC，知DE∥BC， 平面PBC，平面PBC，故DE∥平面PBC 又由D，O分别为线段PA，AB 的中点，知OD∥PB， 平面PBC，平面PBC，故OD∥平面PBC， 又由OD，DE⊂平面ODE，且OD∩DE=D，知平面ODE∥平面PBC． （2）以O为坐标原点， 的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，． 又△PAB 是边长为10 的正三角形，知则． 过点 F 作FG⊥AB，垂足为G，由AB=10，BC=8，AC=6，知 又由AF∥BC，知 则AF=8， 知 故 又E 为线段PF 的中点，则 故 则. 故异面直线BH 与OE 所成角的余弦值为 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在棱长都为的正三棱柱中，为侧面的中心，为的中点，点为棱上一动点（不包含端点）. (1)证明：平面； (2)若直线与直线所成角的余弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，则为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）取线段的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，又因为平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系如图， 设点，其中，易知、、, 则，，， 所以， 因为，解得， 此时的长为. 变式3．（2025·青海·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，是的中点． (1)证明：平面平面． (2)证明：平面． (3)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）证明：，即，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以． 又因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）证明：取的中点，连接，，，． 则在中，．因为平面，平面， 所以平面． 在中，，，， 所以，即. 而，，则有，所以，， 所以是等边三角形，所以，即． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面． （3）连接，结合（1）（2）易得两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，． 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 考点二 线面角的空间向量求法 例1．（25-26高二上·安徽六安·期末）在正方体中，如图、分别是的中点．    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，假设正方体的棱长为2，由题意可知：   ， 所以 因为 所以 又因为平面，所以平面； （2）由（1）可得：平面的法向量可以取 又因为所以 即， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角的余弦值为. 例2．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图， 四边形为矩形， 平面平面， ，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在平面中，因为，，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 所以，且， 由余弦定理可得， 所以，则， 因为，、平面，所以平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， ， 设直线与平面所成角为，则. 又，所以直线与平面所成角的大小为. 例3．（25-26高三上·湖南长沙·期末）如图，四棱锥中，底面是矩形，M是的中点，平面. (1)证明： (2)若点P是棱上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，则， ， ， ， （2）由（1）可得， 设平面的法向量为， 则取，则， 设，其中， 则， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则 解得，即. 变式1．（25-26高二上·浙江衢州·期末）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，，   ，，， 又，，平面 直线平面，平面，. （2），， ，且， 又，， 又，，， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，    设平面的法向量， 则，即， 令，解得平面的一个法向量， 直线与平面所成角的正弦值. 直线与平面所成角的正弦值. 变式2．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）连接，取中点F，连接，如图所示．    因为，，所以，，所以四边形为平行四边形． 所以，则，所以，即． 因为平面，平面，所以， ，，平面，所以平面， 又平面，所以． 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 则，， ，， 则，即， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    所以，，，，， 所以，， 因为，所以，又， 所以，又， 设平面的一个法向量， 所以，得，令，得， 所以平面的一个法向量． 设与平面的夹角为， 所以． 即与平面的夹角的正弦值为． 变式3．（2026·新疆·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面，. (1)证明：平面平面； (2)若，，是上一点，且.，，，在同一个球的表面上，设该球的球心为，过点作球的截面，所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为. （i）求球的表面积； （ii）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见答案 (2)（i）   (ii) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）将三棱锥补成直三棱柱， 且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，， 所以.在中，， 由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为， 则， 所以最小截面圆的面积为， 当截面过球心时，截面面积最大为， 所以，， 由， 所以，故， 已知平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以是平面的一个法向量， 因此直线与平面所成角的正弦值为： . 考点三 面面角的空间向量求法 例1．（25-26高三上·陕西安康·期末）如图，已知一个圆台的上、下底面半径分别为2、3，高为3，轴截面与轴截面的夹角为，为下底面圆周上一点，，连接，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为为下底面圆周上一点，所以， 因为，所以， 因为下底面，下底面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，过在下底面内作一条直线与垂直，分别以直线、、为，，轴建立空间直角坐标系， 因为轴截面与轴截面的夹角为，所以， 所以的方向向量为， 由（1）得，平面的一个法向量为， 因为圆台的上、下底面半径分别为2、3，高为3， 所以，，， 设平面的一个法向量为，所以， 令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 例2．（2026·安徽合肥·一模）如图，直三棱柱的所有棱长都等于2，点，分别是线段，上的动点（异于端点），且． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在棱上分别取点，使． 则． 因为，，所以． 又，所以． 由，得， 所以四边形是平行四边形．所以． 又平面，平面，所以平面． （2）由（1）知，令，则， 在中利用余弦定理得， 即，解得． 所以点分别是中点．所以点分别是中点． 以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设平面与平面夹角为，则． 故平面与平面夹角的余弦值为． 例3．（2026·安徽淮北·一模）如图，在四棱锥中，平面，分别为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面． （i）求实数的值； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）． 【详解】（1）证明：以为原点，以、、的正方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系，则： ，即． 又平面知，由，则平面． （2）（i），平面的一个法向量为，显然， 故平面，而平面平面，于是， 设； （ii）由（i）， 设平面的一个法向量分别为， 则：， 取，则，即． 设平面的一个法向量分别为， ， 取．则，即， ． 设二面角的平面角为，则， ，，， ，， 即二面角的正弦值为． 变式1．（25-26高一上·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点在棱上，平面，，. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，连接交于，连接，则为的中点， 因为平面，平面平面，平面，所以； 又为的中点，所以为的中点； （2）如图，作的中点，连接，则， 因为平面，所以平面，又平面， 所以，因为底面是菱形，，所以，所以两两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则 ，所以， 所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，即，令，则，所以； 设平面的一个法向量为，则 ，即，即，令，则，所以； 所以； 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，平面，M，N分别是，的中点，平面． (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面，平面，， 平面，平面，， 又，BC，平面ABC，平面， 又平面，平面平面． （2）平面，． 以B为原点，为x轴，为y轴，过点B且与平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，． 平面AMP，，即，解得， ，则， ，． 设平面PBN的法向量为， 则即取， 同理，平面PBC的一个法向量为．． 设二面角的大小为，则， 即二面角的正弦值为． 变式3．（25-26高二上·广东湛江·期末）如图，在五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，是的中点. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在点在线段上，且. 【详解】（1）取的中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，同理得， 因此，则， 即平面，则平面， 又平面，所以平面平面. （2）由（1）得直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 显然平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 由，取，得， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值. （3）由（2）得，， 假设在线段上存在点满足要求，设，则， ，设直线与平面所成角为， 则，则， 此时， 所以在线段上存在点满足要求，且. 2 学科网（北京）股份有限公司 $线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 考点目录 线线角的空间向量求法 线面角的空间向量求法 面面角的空间向量求法 考点一 线线角的空间向量求法 例1.(25-26高二上·云南楚雄期末)如图，在五棱锥P-ABCDE中，平面PAE⊥平面 ABCDE,∠EAB=∠AED=90° C (I)证明：AB⊥PE (2)已知AE=3V5,DE=V3,BC=2AB=4,∠ABC=120°，PA⊥AE,PA=2,且点P,B,C,D均在球0的球面上. (i)证明：点O在平面ABCDE内. (i)求直线AC与PO所成角的余弦值 例2.(2026山东一模)己知正方体ABCD-A,B,CD,E,F分别是A,D,CD,的中点，如图所示. D A B D B (I)求EF与BC,所成角的大小： (2)求证：EF⊥平面BB,DD, 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 例3.(25-26高二上四川达州期末)如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点E,F分别为棱BC,CD的中点 A D B D B… E C (1)证明：EF/平面BDD,B,; (2)求异面直线A,B与EF的夹角 变式1.(2026·河北模拟预测)如图，该几何体是由半圆锥PO和三棱锥P-ABC组合而成的，H为半圆弧AB的 中点，A,B,C,H四点共面，△PAB是边长为I0的正三角形，BC=8,AC=6,在半圆弧AB上取一点F,使得 AFIIBC,连接PF,D,E分别为线段PA,PF的中点. A (I)证明：平面ODEI平面PBC. (2)求异面直线BH与OE所成角的余弦值. 2 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 变式2.(25-26高三上·湖南长沙月考)如图，在棱长都为2的正三棱柱ABC-A,B,C,中，D为侧面BCC,B,的中心， E为AC的中点，点F为棱B,C,上一动点（不包含端点）· A C F D B (I)证明：AB,∥平面ADE: ②若直线A4与直线EF所成角的余弦值为25，求EF, 5 变式3.(2025·青海模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,AD=AB=2√5， CD=CB=2,PA=PD,∠ADC=∠APD=90°，F是AP的中点. A 小 (I)证明：平面PAB⊥平面PCD. (2)证明：BF∥平面PCD. (3)求直线BF与直线PC所成角的余弦值. 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 考点二 线面角的空间向量求法 例1.(25-26高二上·安微六安·期末)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，如图E、F分别是BB,CD的中点. D B D以 B (I)求证：DF⊥平面ADE; (2)求直线AC,与平面AED所成角的余弦值. 例2.(25-26高二上湖北十堰期末)如图，四边形CDEF为矩形，平面ABCD L平面CDEF,AB/ICD, AD⊥DC,AB=AD=DE=DC=1 2 E D B (I)求证：BC⊥平面BDE: (2)求直线BC与平面BEF所成角的大小 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 例3.(25-26高三上·湖南长沙期末)如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=1,AB=√2，M是 SB的中点，SA⊥平面ABCD M B D (1)证明：MC⊥BD, ②)若点P是棱5C上的动点，直线AP与平面A4MC所成角的正弦值为求的 变式1.(25-26高二上·浙江衢州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2√2，AB=BC=2, ∠ABc- B (I)证明：AC⊥BP; (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 5 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 变式2.(25-26高二上·山东日照·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC, AB=AD=PB=1,BC=2,点E是棱PD上的一点，BE⊥PD. B D (I)求证：平面EBC⊥平面PCD; (2)求直线PD与平面EBC所成角的正弦值. 变式3.(2026新疆模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AB⊥AC. B (I)证明：平面PAB⊥平面PAC; (2)若AB=6,AC=8,D是AC上一点，且AD=3DC.P,A,B,C在同一个球的表面上，设该球的球心为O, 过点D作球0的截面，所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π. ()求球O的表面积； (ii)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值. 6 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 考点三 面面角的空间向量求法 例1.(25-26高三上陕西安康期末)如图，已知一个圆台0,02的上、下底面半径分别为2、3，高为3，轴截面 0PO0,与轴酸面01BO,的夹角为受R为下底面圆周上一点，CR10,Q,连接BR,AR A D B C (1)求证：平面ABR⊥平面O,PQO2; (2)求平面O,PQO,与平面O,CP夹角的余弦值 例2.(2026安徽合肥.一模)如图，直三棱柱ADF-BCE的所有棱长都等于2，点M,N分别是线段AC,BF上 的动点（异于端点），且CM=BN. D M N (I)证明：MN∥平面BCE: (2)若MN=1,求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值. 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 例3.(2026安微淮北一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/1CD,∠BAD=90°， PA=4,AB=2AD=2DC=6,M,N分别为PB,PD的中点. M B (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)设PAn平面MCN=Q,AQ=1AP (i)求实数2的值； (i)求二面角B-CQ-D的正弦值. 变式1.(25-26高一上河北邯郸期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形，点 E在棱PD上，PBI∥平面EAC,∠ABC=60°，PA=AB=2. D B (1)求证：E为PD的中点； (2)求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值 线线角、线面角、面面角的空间向量求法专项训练 变式2.(25-26高三上·安徽毫州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，BC⊥平面PAB,M,N分别是BC,AC的 中点，BN⊥平面AMP. B - W (I)证明：平面PAC⊥平面ABC; (2)若BP=BC=2,求二面角N-BP-C的正弦值. 变式3.(25-26高二上：广东湛江·期末)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形， ABI/CD,CD//EF,AB=DE=EF=2,CD=4,AD=10,AE=2V3,M是CD的中点 A B D M (I)证明：平面ABCD⊥平面CDEF; (2)求平面BCM与平面BEM所成角的余弦值； ③)在线段AM上是否存在点N,使得直线EN与平面BEM所成角的正弦值为3N?若存在，请求出AN的值，若 26 不存在，请说明理由， 0