计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练-2025-2026学年高二数学苏教版选择性必修第二册

计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 考点目录 相邻问题与不相邻问题 分组分配问题 考点一 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 例2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 例3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 例4．（25-26高二上·安徽安庆·月考）用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有 个．（用数字作答） 例5．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有 种不同的站法（用式子作答）. 例6．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答） 变式1．（2025·广东惠州·模拟预测）甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 变式2．（2025·福建厦门·模拟预测）五人并排站成一行，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数是（   ） A．6 B．24 C．48 D．120 变式3．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 变式4．（24-25高二下·河南信阳·期末）某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 变式5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有 种．（用数字作答） 变式6．（24-25高二下·河北邢台·月考）小元拍摄个人影像集，包含城市街拍风、复古风、英伦风、国潮风、简约时尚风和中国传统风6套装造．拍摄时，小元要求复古风与英伦风的装造拍摄顺序不能相邻，且城市街拍风的装造拍摄排在最前面或最后面，则不同的排法种数为 ． 考点二 分组分配问题 例1．（24-25高二下·重庆·月考）北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江西宜春·期末）全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 例3．（25-26高二上·河南南阳·期末）将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 例4．（24-25高二下·河北衡水·期末·多选）从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（    ） A．共有210种不同的安排方法 B．若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法 C．若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法 D．若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法 例5．（24-25高二下·河北承德·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 例6．（25-26高二上·北京·期末）将4位志愿者全部分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少分配1人，且每位志愿者不能兼职，则不同的分配方案有 种． 例7．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 . 例8．（25-26高二上·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（    ） A．150种 B．180种 C．240种 D．300种 变式2．（25-26高二上·山东潍坊·期末）某学校开设三类选修课程，现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学报名参加学习，每位同学仅报一类课程，每类课程至少有一位同学参加，其中甲同学只选择类课程，则不同的报名方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 变式3．（25-26高二上·福建漳州·期末）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 变式4．（24-25高二下·广东肇庆·月考·多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 变式5．（25-26高二上·江西·月考·多选）关于排列组合问题，下列结论正确的有（    ） A．4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有64种 B．用这5个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为60 C．现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有294种 D．某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有90种 变式6．（25-26高三上·重庆大足·月考）“新韵重庆·渝超同行”2025新鸥鹏重庆城市足球超级联赛已于9月13日正式拉开帷幕！某场比赛期间需将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到同一个场馆的概率为 ． 变式7．（25-26高三上·浙江杭州·月考）某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有 种. 变式8．（25-26高三上·广东深圳·月考）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 计数原理：相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 考点目录 相邻问题与不相邻问题 分组分配问题 考点一 相邻问题与不相邻问题 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“土、水”相邻的排法种数为（   ） A．12 B．24 C．72 D．48 【答案】D 【详解】由题意知：则“土、水”相邻的排法种数为. 故选：D. 例2．（25-26高二上·贵州遵义·期末）含甲、乙、丙在内的6人站成一排，其中甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为（   ） A．24 B．48 C．96 D．192 【答案】C 【详解】将乙丙看作一个整体，内部有种排列， 此时可看作5个元素排成一排，甲站两端， 先排甲，有，剩下4个元素全排列有， 故由乘法原理可得， 即甲只能站在头尾两端，且乙丙两人相邻，则不同站法的结果数为， 故选：C 例3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 【答案】D 【详解】将“数、书”捆绑，内部排列共有种，则可看作五个元素，五个次序， 若“礼”在第二次，则首先需从“乐、射、御”三艺中选择一艺放在第一次有种不同的次序， 再将剩余三个元素（数、书捆绑看作一个元素）在后面排列，有种不同的次序， 根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 若“礼”在最后一次，则将剩余四个元素（数、书捆绑看作一个元素）安排在剩余四个次序， 有种不同的次序，根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 综上，讲座不同的次序共有种， 故选：D. 例4．（25-26高二上·安徽安庆·月考）用1、2、3三个数字的全体或部分构造四位数，但不允许有两个1相邻出现，则这样的四位数有 个．（用数字作答） 【答案】60 【详解】若四位数中没有1，共有个， 若四位数中有1个1，共有个， 若四位数中有2个1，则这两个1不能相邻，有种放置方法， 其余两位各有2种选择（2或3），故共有个. 因此共有60个． 故答案为：60． 例5．（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有 种不同的站法（用式子作答）. 【答案】 【详解】8名学生排成一排有种方法，此时产生9个空， 再把2位教师插入有种方法， 所以有8名学生和2位教师站成一排合影，2位老师不相邻的排法有种不同的站法， 故答案为： 例6．（2025·浙江台州·一模）甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答） 【答案】192 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 变式1．（2025·广东惠州·模拟预测）甲､乙等6人围成一圈，且甲､乙两人相邻，则不同的排法共有（    ） A．6种 B．12种 C．24种 D．48种 【答案】D 【详解】因为由于环状排列没有首尾之分，将个不同元素围成的环状排列剪开看成个元素排成一排，即共有种排法， 由于个不同元素共有种不同的剪法，则环状排列共有种排法. 甲､乙两人相邻而坐，可将此2人当作1人看，即5人围一圆桌，有种坐法， 又因为甲､乙2人可换位，有种坐法，故所求坐法为种. 故选：D 变式2．（2025·福建厦门·模拟预测）五人并排站成一行，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数是（   ） A．6 B．24 C．48 D．120 【答案】B 【分析】将、看成一个整体，将题设等价于4人并排站成一行即可由全排列求解. 【详解】由于、必须相邻且在的右边，则可将、看成一个整体， 因此题设相当于4人并排站成一行，则不同的排法种数有种. 故选：B. 变式3．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）将4辆车停放到5个并排车位上，由于甲车的车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与甲车相邻停放，则不同的停放方法种数为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【详解】因为客车甲占两个车位且乙车与客车甲相邻停放， 所以将乙车与客车甲捆绑，看成一个车有种排法，与余下的两辆车全排有种排法， 所以共有种不同的停放方法. 故选：B. 变式4．（24-25高二下·河南信阳·期末）某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有 种． 【答案】2016 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 变式5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有 种．（用数字作答） 【答案】 【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有种不同的排法， 从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有种不同的排法， 由分步计数原理得，共有种不同的排法. 故答案为：. 变式6．（24-25高二下·河北邢台·月考）小元拍摄个人影像集，包含城市街拍风、复古风、英伦风、国潮风、简约时尚风和中国传统风6套装造．拍摄时，小元要求复古风与英伦风的装造拍摄顺序不能相邻，且城市街拍风的装造拍摄排在最前面或最后面，则不同的排法种数为 ． 【答案】144 【详解】城市街拍风的装造拍摄排在最前面或最后面，有2种排法， 复古风与英伦风的装造拍摄顺序不能相邻，有种排法， 所以不同的排法种数为. 故答案为：144. 考点二 分组分配问题 例1．（24-25高二下·重庆·月考）北京年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.为了宣传年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等6名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小明和小李必须安装不同的吉祥物，根据题设条件，将6人分成两组其中小明和小李不在同一组， 设小明所在的组为小明组，小李所在的组为小李组， ①若小明组2人小李组4人，先给小明组选1人，剩余3个人到小李组，有种不同的分组方法； ②若小明组3人小李组3人，先给小明组选2人，剩余2个人到小李组，有种不同的分组方法； ③若小明组4人小李组2人，先给小明组选3人，剩余1个人到小李组，有种不同的分组方法； 所以一共有种分组方法，然后再分配到两个安装组有种情况， 所以不同的分配方案种数为种. 故选：C. 例2．（25-26高二上·江西宜春·期末）全民登高谱新篇，策马奔腾启华年.1月1日，“中国体育彩票”2026年全国新年登高健身大会（江西分会场）在宜春明月山举行的活动中，某路段设三个服务站，宜春某高校5名同学到甲､乙､丙三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（    ） A．25种 B．150种 C．300种 D．50种 【答案】B 【详解】依题意，有两类分组方法： ① 5名同学按2人，2人，1人分成三个小组，有种分法， ② 5名同学按3人，1人，1人分成三个小组，有种分法. 再把分好的三个小组安排到三个服务站分别有种方法， 故每个服务点至少有1人的不同安排方法有：种. 故选：B. 例3．（25-26高二上·河南南阳·期末）将5名程序专家全部分配到1，2，3号3个实验室指导工作，每个实验室至少分配1名专家，其中专家必须去1号实验室，则不同的分配方案共有（    ） A．26种 B．36 种 C．38 种 D．50 种 【答案】D 【详解】当1号实验室有1人时，即专家，其余4名专家分配到2号和3号实验室， 且每个实验室至少1人，分配方案有种； 当1号实验室有2人时，先从其余4名专家中选1人到1号实验室有种方法， 再将其余3名专家分配到2号和3号实验室且每个实验室至少1人有种方法， 故共有种； 当1号实验室有3人时，分配方案有种； 可得不同的分配方案共有种． 故答案为：50 例4．（24-25高二下·河北衡水·期末·多选）从申、乙、丙、丁4名男生和小红、小花、小欣3名女生中选派3人参加A，B，C活动，且每项活动有且仅有1人参加，则（    ） A．共有210种不同的安排方法 B．若男生甲必须参加其中的一项活动，则共有120种不同的安排方法 C．若3人中必须既有男生又有女生，则有180种不同的安排方法 D．若小红必须参加且不能安排A活动，则有120种不同的安排方法 【答案】AC 【详解】对于A：将4名男生和3名女生安排3个人参加活动，则有，故A正确； 对于B：若男生甲必须参加其中的一项活动，则先将甲安排一项活动有中排法， 再将剩下的2项活动安排给剩下的6人有，则共有种排法，故B错误； 对于C：若3人中必须既有男生又有女生，则有，故C正确； 对于D：小红必须参加且不能安排A活动，则安排小红参加活动中选一项有种排法， 剩下2项活动安排给剩下6个人，则有，所以共有种排法，故D错误. 故选：AC. 例5．（24-25高二下·河北承德·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【详解】根据分步乘法计数原理，将4本不同的书分给3个人，共有种分配方法，故A错误； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B正确； 将6个名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，采用隔板法，共有种方法，故C正确； 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，共有或种选法，故D错误. 故选：BC. 例6．（25-26高二上·北京·期末）将4位志愿者全部分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少分配1人，且每位志愿者不能兼职，则不同的分配方案有 种． 【答案】 【详解】先从3个不同场馆中选个，有种， 再从4位志愿者中选个安排到这个场馆，有种， 最后将剩余人安排到剩下的个场馆，有种， 故不同的分配方案有种. 故答案为： 例7．（25-26高二上·辽宁铁岭·期末）将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为 . 【答案】36 【详解】从另外人中选人与小明、小红同组，再将形成的个小组分配到、、三个不同位置， 方法数为种， 当小明，小红一组，剩余三人分另外2组，一组人，另一组人， 则共种排法， 故最终总数为种． 故答案为：36． 例8．（25-26高二上·辽宁大连·期末）甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答） 【答案】60 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·贵州遵义·期末）遵义市为弘扬长征精神，计划将5本不同的《红色遵义》宣传册分给甲、乙、丙三个志愿者小屋．若要求每个志愿者小屋至少得到1本，则不同的分配方法共有（    ） A．150种 B．180种 C．240种 D．300种 【答案】A 【详解】第一步：分组 将5本不同的宣传册分成3组，每组至少1本，有以下2种情况： ①3－1－1型：分组数为（种）； ②2－2－1型：分组数为（种） 合计：（种）． 第二步：分配 将分好的3组宣传册分配给甲、乙、丙三个志愿者小屋，分配方式有（种）． 根据分步乘法计数原理，得不同的分配方法共有（种）． 故选：A． 变式2．（25-26高二上·山东潍坊·期末）某学校开设三类选修课程，现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学报名参加学习，每位同学仅报一类课程，每类课程至少有一位同学参加，其中甲同学只选择类课程，则不同的报名方法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】情况一：类课程只有甲同学参加，此时剩下乙、丙、丁、戊四位同学要报名、两类课程，且每类课程至少有一位同学参加， 先将四位同学分成两组，有两种分法：按分组，有种分法； 按分组，有种分法； 再将分好的两组同学全排列，安排到、两类课程中，有种排法； 根据分步乘法计数原理，这种情况下的报名方法有种； 情况二：类课程除甲同学外还有一位同学参加，从乙、丙、丁、戊四位同学中选一位同学和甲一起参加类课程，有种选法； 剩下三位同学要报名、两类课程，且每类课程至少有一位同学参加， 将三位同学分成两组，有种分法，再将分好的两组同学全排列，安排到、两类课程中，有种排法； 根据分步乘法计数原理，这种情况下的报名方法有种； 情况三：类课程除甲同学外还有两位同学参加，从乙、丙、丁、戊四位同学中选两位同学和甲一起参加类课程，有种选法； 剩下两位同学要报名、两类课程，有种排法； 根据分步乘法计数原理，这种情况下的报名方法有种； 根据分类加法计数原理，将上述三种情况的报名方法数相加，可得不同的报名方法共有种.. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·福建漳州·期末）2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【详解】根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦， 剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案， 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验， 则有种方案，综上总共有种方案. 故选： 变式4．（24-25高二下·广东肇庆·月考·多选）下面正确的是（   ） A．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B．将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有种不同的放法； C．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法； D．将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有19种不同的放法． 【答案】AC 【详解】将5个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为2、2、1或3、1、1，然后再将这三组小球放入三个盒子中， 因此，不同的放法种数为种，故A正确 每个小球有3种方法，由分步乘法计数原理可知，将5个不同的小球放入3个不同的盒子中， 盒子可空，不同的放法种数为种，故B错误； 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，只需在5个相同的小球中间所形成的4个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故C正确. 将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，等价于将8个相同的小球放入3个不同的盒子中， 每个盒子不空，只需在8个相同的小球中间所形成的7个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为种，故D错误； 故选：AC. 变式5．（25-26高二上·江西·月考·多选）关于排列组合问题，下列结论正确的有（    ） A．4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有64种 B．用这5个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为60 C．现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有294种 D．某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有90种 【答案】BCD 【详解】对A，根据分步乘法计数原理，有种，故A错误； 对B，末尾安排0时，有个偶数，末尾安排2或4时，有个偶数， 由分类加法计数原理可知，共有个偶数，故B正确； 对C，①选的3人中无甲：种； ②选的3人中有甲：种，总计种，故C正确； 对D，由定序问题消序法得共有种，故D正确. 故选：BCD 变式6．（25-26高三上·重庆大足·月考）“新韵重庆·渝超同行”2025新鸥鹏重庆城市足球超级联赛已于9月13日正式拉开帷幕！某场比赛期间需将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到同一个场馆的概率为 ． 【答案】 【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法，根据分步乘法计数原理可知，共种分法； 小李和小明分到一个场馆的分法有种；故小李与小明分到一个场馆的概率为． 故答案为：． 变式7．（25-26高三上·浙江杭州·月考）某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有 种. 【答案】 【详解】设报1项的同学有人，报2项的同学有人， 由题意有：5位同学每人报名1项或2项，3个项目每个项目恰有2人报名，总报名名额为， 所以，即恰好有1人报2项，其余4人各报1项， 第一步：先选报2项的同学有种选法， 第二步：选该同学报的2个项目有种选法，假设选的项目是和， 则项目各已有1人，还需各1人，项目还需要2人， 第三步：分配剩余4人，从4人中选1人去项目有种选法，选1人去项目有种选法， 剩余的2人去项目有种选法，共有种选法， 根据分步乘法计数原理有：种选法. 故答案为：. 变式8．（25-26高三上·广东深圳·月考）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数为 ． 【答案】150 【详解】先将五门课程分成，，和，，这两种情况，再安排到三个学年中， 则共有种选修方式． 故答案为；150. 2 学科网（北京）股份有限公司 $