6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示同步训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示同步训练 一、单选题 1．已知向量，若与共线，则实数（    ） A． B．2 C．或2 D．或 2．已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 3．下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 5．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 6．在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量，则下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．下列各组向量中，可以用来表示向量的是（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与反向 D．、可作一组基底 11．已知向量和均不共线，且，则向量可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，，，且与平行，则 ． 13．已知向量，，，若与共线，则的最小值为 . 14．已知，且，则的值为 ． 四、解答题 15．已知向量，． (1)若，，，求证：、、三点共线． (2)已知，若，且，求的值； 16．设A，B，C，D为平面内的四点，. (1)若，求点D坐标； (2)设向量，若与平行，求实数k的值. 17．已知平面内三点，，. (1)用表示，表示，求，，，. (2)猜想三点的位置关系，并证明猜想. 18．已知向量，，. (1)求向量； (2)证明：向量与共线； (3)已知实数、满足，求、的值. 19．已知平面向量，. (1)求向量的坐标； (2)当实数k为何值时，与共线. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据向量共线的坐标运算即可. 【详解】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 2．B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 3．B 【分析】由单位向量的意义和共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对于A，因为向量的模为，故A错误； 对于B，因为，且向量的模为，故B正确； 对于C，因为向量的模为，故C错误； 对于D，因为，所以向量与向量不共线，故D错误. 故选：B. 4．D 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 5．C 【分析】求出的坐标，再根据平行关系求出即可. 【详解】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 6．C 【分析】根据平面向量的一组基底为两个不共线的非零向量，结合的坐标，逐项判断可得答案. 【详解】A.为零向量，不能作为基底，A错误. B.由得，，故，不能作为一组基底，B错误. C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确. D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误. 故选：C. 7．D 【分析】根据已知向量、求出的坐标，再依据两向量平行的坐标关系来判断选项中的向量是否与平行. 【详解】因为，所以． 若向量满足，则该向量与平行，检验易知D符合题意． 故选：D． 8．B 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 9．ACD 【分析】判断向量是否共线，以及是否与向量共线即可得答案. 【详解】对于A，因为，所以不共线，可以表示向量，A正确； 对于B，因为，所以共线，又向量与不共线，B错误； 对于C，因为，可以表示向量，C正确； 对于D，因为，所以不共线，可以表示向量，D正确； 故选：ACD． 10．ABC 【分析】由，即可判断A、B、D，求出的坐标，即可判断C. 【详解】因为，， 所以，则，，故A、B正确； 因为，所以、不可作一组基底，故D错误； 又， 所以，则与反向，故C正确. 故选：ABC 11．AC 【分析】根据条件可得不共线，结合共线向量的坐标表示可得结果. 【详解】由题意得，不共线. A.∵，∴不共线，A正确. B.∵，∴，故为共线向量，B错误. C. ∵，∴不共线，C正确. D.∵，∴，故为共线向量，D错误. 故选：AC. 12． 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得的值. 【详解】由题意可得，且， 因为与平行，所以，解得. 故答案为：. 13．2 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 14．15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 15．(1)证明见解析 (2)=1． 【分析】（1）转化为证明向量为共线向量，即可证明三点共线； （2）利用向量共线的坐标关系，即可求解. 【详解】（1）因为， =2， 所以2，， 有公共点D，从而、、三点共线． （2），因为，所以， 解得=1． 16．(1) (2) 【分析】（1）设，先求出和的坐标，然后利用列方程求解即可； （2）根据向量的线性坐标运算求出，的坐标，然后利用向量共线的坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，所以，设，又，所以， 因为，所以，解得，所以点D坐标为； （2），， 所以，， 因为与平行， 所以，解得. 17．(1)，，， (2)猜想三点共线，理由见解析 【分析】（1）利用向量的坐标运算求解即可； （2）由（1）可得，可得结论. 【详解】（1）因为平面内三点，，， 所以，， 所以，. （2）猜想三点共线，理由如下： 因为。，所以，所以是共线向量，且有公共点, 所以三点共线. 18．(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）利用平面向量加法的坐标表示可求得向量的坐标； （2）利用平面向量共线的坐标表示可证得结论成立； （3）利用平面向量线性运算的坐标表示可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【详解】（1）由题意可得． （2）因为向量，，所以，所以向量与共线． （3）因为，所以， 可得方程组，解得. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标计算公式求解； （2）利用向量共线的坐标关系列式求解. 【详解】（1）. （2），， 与共线，，解得：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $