20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步练习 2025—2026学年人教版八年级数学下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用 同步练习 一、选择题： 1.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是() A.1,V2,V3 B.V2,√3，V5C.2,V3,√5 D.1,2,√3 2.下列各组数中，为勾股数的是() A.4,5,6 B.5,12,13 C.1,V2,V3 D.0.3,0.4,0.5 3.在△ABC中，已知AB=1,BC=1,AC=V2,则() A.∠A=90° B.∠B=90° C.∠C=90 D.∠A=60° 4.若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2=0,则△ABC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5.如图，每个小正方形的边长为1，A,B,C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为() A.90° B.60 C.45° D.30 6.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD=2,BC=1,CD=3,则LB的度数为() B A.125° B.130° C.135 D.145 7.如图，若AB=10,BC=6,AC=8,则边AC上的中线BD的长为() A.5 B.4 C.213 D.210 第1页，共5页 8.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min,甲客轮用15mim到达点A,乙客轮用20min 到达点B,若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30的方向航行，则乙客轮的航行方向可 能是() A.北偏西30 B.南偏西30° C.南偏东60 D.南偏西60° 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,四边形ABCD的面积为 () B D A.144 B.72 C.48 D.24 10.若a,b,c为△ABC的三边，下列条件不能判定△ABC是Rt△ABC的是() A.a:b:c=1:2:3 B.a2-b2=c2 C.∠A-∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=1:1:2 二、填空题： 11.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.（填“是”或“不是”） (1)a=8,b=10,c=12: (2)a=12,b=5,c=13. 12.在△ABC中，AB=√2，AC=BC=1,则△ABC的形状是 13.如图，在平面直角坐标系中，A(-2,4),B(2,1),则A0与B0的位置关系是一· 典B 14.图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图根据安全标准需满足BC1CD,现测得AB=CD= 6dm,BC=3dm,AD=9dm,其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90),通过计 第2页，共5页 算说明该车（填“符合”或“不符合”）安全标准. A B 图1 图2 15.己知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(5-a)2+√12-b+|c-13=0,则△ABC的面积 为一 A 16.如图，在4×4的正方形网格中，点A,B,C均在格点上，则∠a+ a LB=度. 三、解答题： 17.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角？a,b,c所对的角分 别是LA,LB,∠C (1)a=41,b=9,c=40; (2)a=2,b=V2,c=V6. 18.小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作：①测得水 平距离BD的长为15m;②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25m;③测得牵线放风筝的小 明的身高为1.6m. (1)求风筝的垂直高度CE: (2)若小明想风筝沿CD方向下降12m,则他应该往回收线多少米？ 第3页，共5页 19.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC.由于某种原 因，由C到A的路现在己经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条 直线上)，并新修一条路CH,已知CB=V√5km,CH=2km,HB=1km. H B (1)CH是否为从村庄C到河边最近的路？请计算说明； (2)新路CH比原路CA少多少千米？ 20.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形ABCD进行改建，将四 边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元.经测量 ∠B=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m. D B (1)求A,C两点之间的距离. (2)求购买运动型塑胶地板的费用. 第4页，共5页 21.已知△ABC的三边分别为a=n2-1,b=2n,c=n2+1.(n>1) (1)求证：c是△ABC的最长边， (2)求证：△ABC是直角三角形. (3)直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12. 22.下表是古希腊哲学家柏拉图和我国古代数学著作《仇九章算术》分别给出的勾股数公式： 如果m表示大于1的整数，a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为一组勾股 柏拉图 数 仇章算a= 0m2-n),b=m,c=0m2+m2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数（注：a, 术》 b, c的相同倍数组成的一组数也是勾股数) (1)小明查阅资料发现柏拉图公式存在缺陷，试写出一组柏拉图公式无法构造的勾股数： (2)根据仇章算术》中的记载，当m=5,n=3时，这组勾股数为； (3)请你通过计算，验证《九章算术》中记载公式的准确性， 第5页，共5页 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 同步练习 一、选择题： 1.下列各组线段中，不能构成直角三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.下列各组数中，为勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.在中，已知，，，则(    ) A. B. C. D. 4.若的三边、、满足，则是(    ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5.如图，每个小正方形的边长为，，，是小正方形的顶点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在四边形中，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，若，，，则边上的中线的长为(    ) A. B. C. D. 8.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点，乙客轮用到达点，若，两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是(    ) A. 北偏西 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 9.如图，在四边形 中， ， ，四边形 的面积为(    ) A. B. C. D. 10.若，，为的三边，下列条件不能判定是的是(    ) A. ：：：： B. C. D. ：：：： 二、填空题： 11.判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形．填“是”或“不是” ，，；           ，，．           12.在中，，，则的形状是          ． 13.如图，在平面直角坐标系中，，，则与的位置关系是          ． 14.图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，通过计算说明该车          填“符合”或“不符合”安全标准． 15.已知的三边长分别为，，，且满足，则的面积为          ． 16.如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，则           度 三、解答题： 17.判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角，，所对的角分别是，，C. ，， ，，． 18.小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；测得牵线放风筝的小明的身高为． 求风筝的垂直高度； 若小明想风筝沿方向下降，则他应该往回收线多少米？ 19.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点，，在同一条直线上，并新修一条路，已知，，． 是否为从村庄到河边最近的路？请计算说明； 新路比原路少多少千米？ 20.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元经测量，，，，． 求，两点之间的距离． 求购买运动型塑胶地板的费用． 21.已知的三边分别为，， 求证：是的最长边． 求证：是直角三角形． 直接写出一组满足的三边长，其中含正整数． 22.下表是古希腊哲学家柏拉图和我国古代数学著作九章算术分别给出的勾股数公式： 柏拉图 如果表示大于的整数，，，那么，，为一组勾股数． 九章算术 ，其中，，是互质的奇数注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数． 小明查阅资料发现柏拉图公式存在缺陷，试写出一组柏拉图公式无法构造的勾股数：           根据九章算术中的记载，当，时，这组勾股数为           请你通过计算，验证九章算术中记载公式的准确性． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $答案与解析 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键. 根据勾股定理即可得到AB,BC,AC的长度，进行判断即可. 【解答】解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=V5,AB=V10, d .'.AC2+BC2=AB2. .△ABC是等腰直角三角形. ∴.∠ABC=45°. 故选C. 6.【答案】C 7.【答案】C 8.【答案】C 【解析】【分析】 此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a,b,C满足a+b=c2,那么这 个三角形就是直角三角形 首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路 线呈垂直关系，进而可得答案 第1页，共7页 【解答】 解：甲的路程：40×15=600(m), 乙的路程：20×40=800(m), .6002+8002=1000, ∴.甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， .甲客轮沿着北偏东30， ∴.乙客轮的航行方向可能是南偏东60°， 故选：C 9.【答案】D 【解析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 是解题的关键。 连接AC,根据Rt△ABC,用勾股定理求出AC的长度，再用勾股定理的逆定理，证明△ACD是直角三 角形，根据四边形ABCD的面积等于Rt△ACD和Rt△ABC面积之差，即可求解. 【详解】解：如图，连接AC, B .∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .AC=VAB2+BC2=V32+42=5' 又，CD=13,AD=12, .CD2=13=52+12=AC2+AD2, ∴.△ACD是直角三角形 ·四边形ABCD的面积为S=S。ACD-S。Ac=号×5×12-号×3×4=24， 故选：D. 10.【答案】A 【解析】解：A、,1+2≠3，故不能判定△ABC是直角三角形： B、a2-b2=c2,∴.b2+c2=a2,故能判定△ABC是直角三角形： C、.∠A-∠B=∠C,∴.∠A=∠B+∠C,∴.∠A=90°，故能判定△ABC是直角三角形： 第2页，共7页 D、:LA:LB:LC=:1日2，：C1+1+2×180°=90，放能判定△ABC是直角E角形 故选：A. 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判定此三角形为直角三角形，由三 角形内角和定理，只需判断其最大角等于90°即可判断这个三角形是直角三角形.依此可解此题， 本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理.判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定 理的逆定理和直角三角形的定义判断. 11.【答案】【小题1】 不是 【小题2】 是 12.【答案】等腰直角三角形 13.【答案】AO⊥BO 14.【答案】符合 15.【答案】30 16.【答案】45 第3页，共7页 【解析】解：如图，连接AB, A D E .AB=AC=V2+12=V5,BC=V3+12=V10, .'AB2+A C2=B C2, .△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°， .AB=AC=V5,AD=CE=1,AE=BD=2, ∴.△ABD≌△CAE(SSS), ∴.∠ABD=∠CAE=∠a, BD//CE, ∴.∠DBC=∠B, ∴.∠a+∠B=∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°， 故答案为：45 17.【答案】【小题1】 b2+c2=92+40=1681,a2=412=1681,.a2=b2+c2. .是直角三角形，∠A=90°. 【小题2】 .a2+b2=2+,c2=, ∴.a+b2=c2.∴.是直角三角形，∠C=90°. 18.【答案】【小题1】 第4页，共7页 解：在RM△BCD中，根据勾股定理，得CD=VBC2-BD=V25-152=20° ∴.CE=CD+DE=20+1.6=21.6m: 答：风筝的垂直高度CE为21.6m. 【小题2】 如答图，在CD上取点F,使CF=12m. .'DF=CD-CF=8m. 在RtABDF中，根据勾股定理，得BF=VDF+BD=8+15=17 .25-17=8m. 答：他应该往回收线8m. 19.【答案】【小题1】 解：CH是从村庄C到河边的最近路.理由如下： .CB=V5,CH=2,HB=1,.CB=CH+HB,∴.△BCH为直角三角形， ∴.∠BHC=90°，.CH⊥AB,∴.CH为点C到AB的最短路线. 故CH是从村庄C到河边的最近路： 【小题2】 设AC=xkm,则AB=xkm,AH=(x-1)km, 在Rt△ACH中，（X-1)☐+2=X解得x=2.5'即AC=2.5km .AC-CH=2.5-2=0.5(km), 答：新路CH比原路CA少0.5千米. 20.【答案】【小题1】 如图，连接AC, 第5页，共7页 D C .∠B=90°，AB=9m,BC=12m, .'AC=VAB2+BC2=V92+122=15(m) 答：A,C两点之间的距离15m. 【小题2】 由(1)得AC=15m, .CD=8m,AD=17m, .CD+AC2=8+152=289=172=AD2. ∴.△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， :四边形A0CD的面积为5度+58AD=号AB-BC+号AC-CD=号×9×12+号×15×8=14(m)。 ,运动型塑胶地板每平方米200元， .购买运动型塑胶地板的费用为114×200=22800（元. 答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元. 21.【答案】【小题1】 解：证明：：c-a=2+1-(2-1)=2>0 ∴.c>a .c-b=n2+1-2n=i,且n>1, . ..c>b. ∴.c是△ABC的最长边. 【小题2】 证明：.a+b2=, c2=i, .a2+b2=c2. ∴.△ABC是直角三角形. 第6页，共7页 【小题3】 当b=12时，n=6, .a=35,c=37. 故△ABC的三边长分别为12,35,37. 元或a=12,b=213,c=14或a=10,b=211,c=12( 22.【答案】【小题1】 5,12,13/元答案不唯一乙 【小题2】 8,15,17 【小题3】 i im-mn+intmn 4 4 +nn+好r 1 i就， 即a2+b2=c2, a=m-m),b=m,c=m+m)达是互质的奇数是一组勾股数。 第7页，共7页