精品解析：广东深圳市光明区2025-2026学年高三第一学期期末学业水平测试数学试题

试卷类型：A 2025-2026学年第一学期期末学业水平测试 高三数学 2026.1 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，或， 所以. 故选：A. 2. 设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】进行复数的计算，所以，即可得解. 【详解】， 所以，虚部为， 故选：A 3. “为第一象限角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，再由充分条件和必要条件的定义求解即可 【详解】因为为第一象限角，所以， ，所以， 而，则， 则， 为第一、三象限角， 所以推不出为第一象限角， 所以“为第一象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 5. 若是函数的图象的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，求出的值，结合可得答案. 【详解】是函数的图象的一条对称轴， 所以，则， 因为，所以当时，的最小值为. 故选：A. 6. 在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 7. 已知实数，，且，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由结合对数的换底公式求得或，分别代入化简，令，可得和，分别求出两个函数的值域即可得出答案. 【详解】， 令，因为，，所以， 所以，则，解得：或. 所以或. 又因为 当，则，则，， 令，则，则， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 在处取得最小值，且， 当趋近，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以. 当，则，则，， 令，则，则， ， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 在处取得最小值，且， 当趋近，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以.由，选项D符合题意. 故选：D. 8. 已知圆，直线与交于，两点，则数量积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知直线恒过，当时，数量积的最大值，求解即可. 【详解】由可得， 由可得， 令可得：，可得直线恒过， 取的中点为，则，则 ， 要使数量积取得最大值，则最大，即到直线的距离最大， 当与重合，即时，数量积的最大值， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出一组数据：2，4，4，6，6，7，13，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为11 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的平均数为6 D. 这组数据的80％分位数为6 【答案】AC 【解析】 【分析】由极差、众数，平均数和百分位数的定义求解即可. 【详解】对于A，这组数据的极差为：，故A正确； 对于B，这组数据的众数为，故B错误； 对于C，这组数据的平均数为，故C正确； 对于D，，所以这组数据的80％分位数为第6个数，即，故D错误. 故选：AC 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的纵坐标为 C. 的面积最大值为 D. 到的距离最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由焦点为可得可判断A；求出的方程，结合在上，可判断B；表示出，利用导数求出的面积的范围可判断C；由点到直线的距离表示出到的距离，即可判断D. 【详解】对于A，已知抛物线的焦点为， 所以，则，所以的方程为，故A正确； 对于B，，，因为点在上， 所以，在点处的切线斜率为， 所以：，因为，化简可得：， 令，可得，所以的纵坐标为，故B正确； 对于C，，则， 令中，可得：，所以， 所以为：， 令，所以， ，所以在上单调递增， 所以的面积无最大值，故C错误； 对于D，直线：，到直线的距离为： ， 当且仅当时，到的距离最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线，为曲线上任意一点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. C. 是关于的函数 D. 是关于的函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，联立与，变形可得，构造，求导，得到其单调性，结合零点存在性定理得到零点个数，A正确；B选项，设，变形得到，求导，得到其单调性和最值情况，B正确；C选项，令，求导，得到其单调性，由函数定义可判断C正确；D选项，取，构造函数，求导，得到其单调性，结合零点存在性定理可得存在两个使得，故不是关于的函数，D错误. 【详解】对于A，联立与可得 ，即， 令，则， 令，则，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， ，又，， 由零点存在性定理可得，，使得， 函数无其他零点，故直线与恰有两个公共点，A正确； B选项，设，则， 可变形为， 故，， ，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为，此时，满足要求， 故，B正确； C选项，令，则， 故为R上的减函数，且当趋向于时，趋向于， 当趋向于时，趋向于， 故对任意的，方程有唯一解，即有唯一解， 故是关于的函数，C正确； D选项，取，则，令， 则，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， ，又，， 由零点存在性定理可得，，使得， 故存在两个使得，故不是关于的函数，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_____________. 【答案】240 【解析】 【分析】写出通项公式，令的指数为，得到，从而常数项为. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，， 故答案为：240. 13. 设等比数列的公比，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由等比数列的性质求出，，再由等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】，， 则， 因为，解得：. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 14. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________. 【答案】 【解析】 【分析】设射击总次数的数学期望为，根据题意列出关于数学期望的方程求解即可. 【详解】设射击总次数的数学期望为， 若第一次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为， 此情况下发生的概率为，射击总次数为， 若第一次中靶，且第二次没有中靶，则后续需重新射击，且后续重新射击的总次数的数学期望仍为， 此情况发生概率为，射击总次数为， 若第一次中靶，第二次中靶，则此情况发生的概率为，射击总次数为2， 则射击总次数的数学期望为， 解得 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出，即可证明； （2）求出平面的法向量，由线面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 因为底面为正方形，平面， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以 【小问2详解】 ， 设平面的一个法向量为， ，则，令，则， 则，直线与平面所成角为， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 16. 已知数列前项和为，满足，. （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析；. （2） 【解析】 【分析】（1）直接采用作差法化简可得，变形可得，可证为等差数列，结合通项公式可求； （2）由（1）得，结合错位相减法化简可求. 【小问1详解】 ，当时，， ， ， 因为，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， . 【小问2详解】 由（1）得， ， ， ， ， . 17. 如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，. （1）证明：； （2）若，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别在和中使用余弦定理，列出方程组求解出，即可得证. （2）令，用表示出，利用解出，进而可得，在中使用正弦定理再结合求解出，最后在中使用余弦定理求出. 【小问1详解】 证明：设，，. 在中，由余弦定理：，即. 在中，由余弦定理：，即. 又，. 又，即，，代入上式展开化简得：，解得. ，即 【小问2详解】 由（1）知，，. 在上取一点，使， 因为，，，所以， 设，，，,则. ，即， ，. 即，解得或（舍）. 即，. 在中，由正弦定理得：，得. 又，即，解得或（舍）. 在中，由余弦定理得，解得. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）若点，过点的直线与相交于另一点. （i）当直线斜率为时，求点到直线的距离； （ii）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）或. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率可得，再把代入椭圆的方程联立可得，可求出的方程； （2）（i）设与椭圆联立求出，再求出直线的方程，由点到直线的距离公式可得出答案； （ii）设，由的面积为可得到直线的距离为，由此可得或，又因为在椭圆上求出点坐标，即可求出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，则， 所以，设椭圆，又因为点在上， 所以，解得， 则的方程为：； 【小问2详解】 （i）当直线过点且斜率为，则， 可知，与联立可得：， 所以，解得，则， 所以，，， 则直线的方程为：，化简可得， 所以点到直线的距离为. （ii）设，， 设到直线的距离为， 所以的面积为，解得， 直线的方程为， ，则， 所以或， 与联立可得：， ，此方程无解； 与联立可得：， 解得或， 当时，，此时，直线方程为. 当时，，此时， 直线的方程为：，化简可得. 直线的方程为:或. 19. 已知函数. （1）是否可以为的极值点？请说明理由； （2）若函数有三个极值点. （i）求的取值范围； （ii）若，求的最小值. 【答案】（1）不可以，理由见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据极值点的定义即可求解； （2）（i）对进行求导得，由题意可得方程有两个根，这两个根都不能等于或，令，研究函数的单调性，求出的范围，再排除零点为或的情况，即可求出答案； （ii）由（i）知中有一个为，不妨设，，令，根据题意可得，令，求出，结合题目信息可得，代入求出的取值范围，进而得到的范围，进而求出的范围，即可求出答案. 【小问1详解】 由题意知，， 若为的极值点，则，解得， 当时，， 令，则， 易知为增函数，且， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故， 所以在上单调递增，此时函数无极值点， 与为的极值点矛盾， 所以不可以为的极值点. 【小问2详解】 （i）由题意知，定义域为 则， 因为函数有三个极值点， 则其中一个极值点为，且方程有两个根，这两个根都不能等于或， 令，即函数有两个零点，这两个零点都不能等于或， 则， 当时，， 所以函数为增函数， 此时至多一个零点，不符合题意； 当时，令，解得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 若函数有两个零点， 则，解得， 当时，，则函数在上有一个零点， 当，，则函数在上有一个零点， 若是函数的零点，则，不满足， 故不是函数的零点， 若是函数的零点，则， 则， 综上所述，的取值范围为. （ii）由（i）知中有一个为，不妨设，， 则，可化为， 由（i）知是的根，且， 则，令， 则， 可化为，两式相除可得， 令，则， 联立，解得， 由，不等式可化为， 则， 令，则， 令，则， 则在上单调递增，则， 即，所以在上单调递增， 又，所以， 则，， 令，， 所以在上单调递减， 则，即， 则在上单调递减，则， 由得， 对函数求导得， 则函数在上单调递减， 则当时，函数取得最小值，最小值为， 则，即， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025-2026学年第一学期期末学业水平测试 高三数学 2026.1 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，若复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “为第一象限角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 4. 若函数在区间存在最大值，则可以取值为（ ） A. B. C. D. 5. 若是函数的图象的一条对称轴，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数，，且，则的可能取值为（ ） A B. C. D. 8. 已知圆，直线与交于，两点，则数量积最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出一组数据：2，4，4，6，6，7，13，下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为11 B. 这组数据没有众数 C. 这组数据的平均数为6 D. 这组数据的80％分位数为6 10. 已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的切线，与轴交于点，与轴交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的纵坐标为 C. 的面积最大值为 D. 到的距离最小值为 11. 已知曲线，为曲线上任意一点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与恰有两个公共点 B. C. 是关于的函数 D. 是关于的函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的常数项为_____________. 13. 设等比数列的公比，且，，则________. 14. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.9，该运动员连续射击时各次射击是否中靶相互独立，该运动员连续中靶两次则停止射击，那么射击总次数的数学期望为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 四棱锥中，底面为正方形，，平面，点为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知数列前项和为，满足，. （1）证明：数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图，在中，，点、分别在、延长线上，满足，，. （1）证明：； （2）若，求的长. 18. 已知椭圆的离心率为，点在上. （1）求的方程； （2）若点，过点的直线与相交于另一点. （i）当直线斜率为时，求点到直线距离； （ii）若的面积为，求直线的方程. 19. 已知函数. （1）是否可以为的极值点？请说明理由； （2）若函数有三个极值点. （i）求取值范围； （ii）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $