2026年中考数学一轮复习专项训练-方程（组）与不等式的实际应用

2026年中考数学一轮复习专项训练-方程（组）与不等式的实际应用 1．某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ (2)若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 2．学校在“体育节”期间举行羽毛球比赛，需要购买羽毛球及球拍．经了解甲、乙两个商场均对同一品牌的羽毛球用品春季促销．其中甲商场的羽毛球拍打九折，羽毛球打八折；乙商场开展买一赠一优惠：即买一副球拍送一盒羽毛球．已知羽毛球每盒25元，球拍每副90元，若学校打算购买羽毛球拍10副、羽毛球若干（不小于盒），学校去哪家商场购买比较合算． 3．现在越来越多的大学生选择回到家乡投身农业，在外地创业成功的大学毕业生小姣响应号召，毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地，最近为给基地蔬菜施肥，她购买甲、乙两种有机肥，已知购买2吨甲种有机肥和3吨乙种有机肥共需2700元，购买3吨甲种有机肥和4吨乙种有机肥共需3800元， (1)甲、乙两种有机肥每吨各多少钱？ (2)若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不超过5650元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？ 4．端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 5．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 6．某校八年级一班全体学生去某旅游区游玩，其中有一项游玩活动是“漂流”，需租用旅游景点的竹筏子．由于游人较多，此时，景点剩余的竹筏子已经不足10个．如果每个竹筏子坐4人，就有8人上不了竹筏子；如果每个竹筏子坐5人，则最后一个竹筏子不空也不满．问：这个旅游景点此时共剩余多少个竹筏子可以租用？该校八年级一班共有多少名学生？ 7．为增强体质，加强体育锻炼，学校计划拿出不超过4000元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为．单价和为180元． (1)篮球和排球的单价各是多少元？ (2)若要求购买的篮球和排球的总数量为42个，且购买的排球数不多于12个，有哪几种购买方案？ (3)在所有的购买方案中，哪种方案花钱最少？ 8．学校将周二下午的“阳光体育社团”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳的单价贵4元，且购买4条长跳绳与购买6条短跳绳的费用相同． (1)求两种跳绳的单价各是多少元？ (2)若学校准备用不超过1860元的现金购买长、短跳绳共200条，那么学校至少需要购买多少条短跳绳？ 9．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价为m元件（m为常数，且），售价为8元件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元件，售价为20元件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x件）满足关系式． (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出与x的函数关系式； (2)分别求的最大值； (3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．［利润（售价成本）产销数量专利费］ 10．某商场购进了A，B两种型号的耳机．已知购进每个A型耳机元，购进每个B型耳机元．若该商场准备购进个这两种型号的耳机，总费用不超过元，那么最多可购进B型耳机多少个？ 11．某商家为筹备“星际探险”促销活动，批量购进了甲、乙两款精美的飞船模型，两次进货的详细信息如下（单次进货单价保持不变）： 甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元 第一次 10 8 1200 第二次 6 12 1080 (1)求甲、乙两款飞船模型的进货单价； (2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款飞船模型共100件，若每件甲款飞船模型的售价为120元，每件乙款飞船模型的售价为80元，且销售完这100件飞船模型所获得的利润不低于3600元，则商家最少需购进甲款飞船模型多少件？ 12．某社区开展“垃圾分类”入户宣传活动，需要准备两种宣传物资：A物资（宣传折页）每份成本1.5元，B物资（定制垃圾袋）每份成本3元．已知本次活动共需准备200份物资，为了达到更好的宣传效果，要求B物资的数量不低于A物资数量的一半． (1)若同时采购A、B两种物资刚好花了450元，请问A物资和B物资各买了多少份？ (2)为控制预算，A物资和B物资共花费的成本不超过420元，在满足所有条件的情况下，A物资最多可以买多少份？ 13．如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，墙长为26m，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为m． (1)用含有的式子表示，并求出的取值范围； (2)当为何值时，此苗圃园的面积最大，最大面积为多少？ 14．某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 15．某城市平均每天产生垃圾700吨，需要甲乙两厂进行处理．如果两厂同时处理城市垃圾，每天需要7小时；如果两厂同时处理2.5小时后，由乙厂继续处理，还需10小时． (1)甲、乙两厂每小时各处理垃圾多少吨？ (2)已知甲厂每小时需要费用550元，乙厂每小时需要费用495元．如果此城市每天用于处理垃圾的费用不得超过7370元，那么甲厂每天至少处理垃圾多少小时？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 (2)共有7种购买方案 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【详解】（1）解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． （2）解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 2．当购买羽毛球大于32盒时，选择甲商场比较合算；当购买羽毛球等于32盒时，两个商场都一样；当购买羽毛球不小于盒而小于32盒时，选择乙商场比较合算. 【分析】此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，设购买羽毛球x盒，总价格为y元，根据题意表示出，，然后分3种情况即可求解． 【详解】解：设购买羽毛球x盒，总价格为y元，则 ， ， 若， 解得：， ∴当时，选择甲商场比较合算； 若， 解得：， 当时，两个商场都一样； 若， 解得：， 当时，选择乙商场比较合算． 3．(1)甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元 (2)小姣最多能购买甲种有机肥吨 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨y元，根据“购买2吨甲种有机肥和3吨乙种有机肥共需2700元，购买3吨甲种有机肥和4吨乙种有机肥共需3800元”，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲种有机肥m吨，则购买乙种有机肥吨，根据总费用不超过5650元列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元， 根据题意得： 解得： 答：甲种有机肥每吨元，乙种有机肥每吨元． （2）解：设购买甲种有机肥吨，则购买乙种有机肥吨， 根据题意得： 解得： 答：小姣最多能购买甲种有机肥吨． 4．(1)甲粽子每个的进价为2元，乙粽子每个的进价为3元 (2)①W与m的函数关系式为 ②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为266元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种粽子的进价为x元，则乙种粽子的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲种粽子的进价为2元，则乙种粽子的进价为3元； （2）解：①设购进甲中粽子m个，则购进乙粽子个，根据题意得： ， ∴W与m的函数关系式为：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得， ∴（m为正整数）． 即W与m的函数关系式为（m为正整数）； ②由①可知，，，m为正整数， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时． ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元． 5．(1) (2)制造A种型号芯片10万件时，会获得最大利润，最大利润是260万元 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意列出函数关系式以及一元一次不等式组是解本题的关键． （1）由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，再根据总利润等于两种芯片的利润之和求解即可； （2）先根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，列不等式求解m的范围，再利用一次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据题意得： ，即． （2）解：∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍， ∴，解得：， ∵、 ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（万元），此时． 答：制造A型芯片10万件，B型芯片30万件，会获得最大利润，最大利润是260万元． 6．这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出不等式组，注意x只能取整数．设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用，根据最后一个竹筏子不空也不满列出不等式组，求出不等式组的解集，再根据x只能取整数，求出x的值，最后求出总人数即可． 【详解】解：设这个旅游景点此时共剩余x个竹筏子可以租用， 根据题意得∶ 解得∶， ∵x只能取整数，且， ∴． ∴当时，该校八年级一班共有学生 (人)， 答：这个旅游景点此时共剩余9个竹筏子可以租用，该校八年级一班共有44名学生． 7．(1)篮球的单价是100元，排球的单价80元． (2)一共有3种方案，分别为：①购买篮球32个，排球10个；②购买篮球31个，排球11个；③购买篮球30个，排球12个． (3)方案③购买篮球30个，排球12个花钱最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等与不等关系是解题的关键． （1）根据题意可设篮球和排球的单价分别为元和元，然后根据单价和为180元可得关于x的方程，解方程即可求出结果； （2）设购买排球个，则购买篮球个，根据购买的排球数不多于12个和购买资金不超过4000元可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的范围，进一步即可求得整数m的具体值，进而可得结果． （3）分别算出三种方案的花费，然后比较即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球的单价分别为元和元， 依题意得：， 解得， 即，， 答：篮球的单价是100元，排球的单价80元． （2）解：设购买排球个，则购买篮球个， 由题意得：， 解得：， 因为m只能取整数，所以m的值可以为：10、11、12， ∴一共有3种方案，分别为：①购买篮球32个，排球10个；②购买篮球31个，排球11个；③购买篮球30个，排球12个． （3）解：方案①的花费为：（元）； 方案②的花费为：（元）； 方案③的花费为：（元）， ∴方案③购买篮球30个，排球12个花钱最少． 8．(1)长跳绳的单价为12元，短跳绳的单价为8元； (2)学校至少需要购买135条短跳绳． 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设短跳绳的单价为x元，则长跳绳的单价为元，根据题意可列出关于x的一元一次方程，解出x即可； （2）设学校购买y条短跳绳，则学校购买条长跳绳，根据题意可列出关于y的一元一次不等式，解出y的解集即可解答． 【详解】（1）解：设短跳绳的单价为x元，则长跳绳的单价为元， 根据题意有， 解得：， ， 答：长跳绳的单价为12元，短跳绳的单价为8元； （2）解：设学校购买y条短跳绳，则学校购买条长跳绳， 根据题意有， 解得：， 答：学校至少需要购买135条短跳绳． 9．(1) (2)的最大值为，的最大值为1420 (3)当时，选A产品；当时，选A产品或B产品均可；当时，选B产品 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题中所给的利润计算公式求解即可； （2）根据（1）中的函数解析式进行求解即可； （3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润并分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：∵， ∴， 由题意得， ∴当时，最大， ∴ ， 在中，， ∴抛物线开口向下， ∴顶点横坐标， 又∵B产品每日最多产销300件， ∴当时，最大，最大为； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴当时，A产品的最大利润更大，选A 产品； 当时， 解得，此时 A、B 产品利润相等，两种产品均可以选择； 当时， 解得， ∵， ∴时，B产品的最大利润更大，选B 产品． 10．最多可购进B型耳机个 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设购进x个B型耳机，则购进个A型耳机，利用，结合总价不超过元，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设购进B型耳机x个，则A型耳机个．依题意得 ， ， ， ． 答：最多可购进B型耳机个 11．(1)甲款进货单价为元，乙款为元 (2)商家最少需购进甲款飞船模型件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用（求进货单价）和一元一次不等式的应用（利润最值问题），解题关键是根据两次进货的数量与总费用列出方程组，根据利润不低于元的条件列出不等式，进而求解． （1）设甲、乙单价分别为元、元，根据第一次“甲乙”、第二次“6甲乙”列方程组，解方程组得单价； （2）设购进甲件，则乙为件，先算甲、乙每件利润，再根据“总利润”列出不等式，求的最小正整数解． 【详解】（1）解：设甲款飞船模型的进货单价为元，乙款为元． 根据题意列方程组：， 第一个方程两边同除以2得①， 第二个方程两边同除以6得②， ②得③， ①③得，解得， 将代入②得，解得， 答：甲款进货单价为元，乙款为元． （2）解：由（1）知，甲款每件利润为元，乙款每件利润为元． 设商家购进甲款飞船模型件，则购进乙款为件． 根据题意列不等式： 化简得； 即，解得． 答：商家最少需购进甲款飞船模型件． 12．(1)A物资买了100份，B物资买了100份； (2)133 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式组的应用，根据关系列出等式和不等式即可； （1）设A物资买了份，B物资买了份；列出方程，求解即可；             （2）设A物资买了份，B物资买了份；列出不等式，再根据B物资的数量不低于A物资数量的一半，列出不等式即可，求解即可. 【详解】（1）解：设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， B物资：， 答：A物资买了100份，B物资买了100份； （2）设A物资买了份，B物资买了份； ， 解得：， ∵B物资的数量不低于A物资数量的一半， ∴，   解得：， ∴， ∴A物资最多可以买133份. 13．(1)， (2)最大面积为 【分析】（1）利用总长的篱笆减去垂直于墙的两边的长度即可得的长，再列不等式组求解的范围； （2）利用矩形的面积公式用表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可． 本题主要考查二次函数和一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的解法及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为m， 则， 由题意， 解得． （2）苗圃园的面积为， ∵，二次函数的开口向下， ∴当时，苗圃园的面积最大， 最大面积为． 14．(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求出不等式的解集，用代数式表示出总费用，并分析费用何时最少． 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 15．(1)甲厂每小时处理垃圾55吨，乙厂每小时处理垃圾45吨 (2)甲厂每天至少处理垃圾6小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用（垃圾处理量计算）和一元一次不等式的实际应用（费用限制），解题的关键是根据题干中的“垃圾总量”和“费用上限”两个核心条件，分别建立方程（组）与不等式，进而求解未知数． （1）设甲、乙两厂每小时处理垃圾的吨数为未知数；根据“两厂同时处理7小时共处理700吨”和“两厂同时处理小时后乙单独处理10小时共处理700吨”，列出二元一次方程组；解方程组得到两厂每小时处理量． （2）设甲厂每天处理垃圾的时间为未知数；用总垃圾量减去甲处理的垃圾量，求出乙需处理的垃圾量，进而表示出乙的处理时间；根据“甲费用 乙费用 ≤ 7370元”列出一元一次不等式；解不等式并结合实际情况，确定甲厂每天至少处理时间． 【详解】（1）解：设甲厂每小时处理垃圾吨，乙厂每小时处理垃圾吨． 根据题意列方程组：， 化简第一个方程：； 将①代入第二个方程：； 计算得； 移项得，解得； 将代入①，得． 答：甲厂每小时处理垃圾55吨，乙厂每小时处理垃圾45吨； （2）设甲厂每天处理垃圾小时，则甲处理垃圾吨，乙需处理垃圾吨，乙处理时间为小时． 根据费用限制列不等式：； 化简，不等式变为； 去括号得； 合并同类项得； 系数化为1（不等号方向改变）得 答：甲厂每天至少处理垃圾6小时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $