内容正文:
专题09用坐标描述平面内点的位置(举一反三讲义)
【题型01 写出直角坐标系中点的坐标】.................................3
【题型02 求点到坐标轴的距离】.......................................5
【题型03 判断点所在的象限】.........................................7
【题型04 已知点所在的象限求参数】...................................8
【题型05 坐标系中描点】............................................10
【题型06 坐标与图形结合 】.........................................13
【题型07 解答题4题】..............................................15
知识梳理
知识点01:平面直角坐标系
定义:平面内互相垂直且原点重合的两条数轴,组成平面直角坐标系。
组成:
水平数轴:x 轴(横轴),向右为正方向;
竖直数轴:y 轴(纵轴),向上为正方向;
两轴交点:原点 O。
知识点02:点的坐标表示
1.对于平面内任意一点 P:
向 x 轴作垂线,垂足对应的数是横坐标;
向 y 轴作垂线,垂足对应的数是纵坐标。
2.表示方法:P(a, b)
横坐标在前,纵坐标在后;
中间用逗号隔开,加小括号,是有序实数对。
知识点03:四个象限的符号规律(必考)
x 轴、y 轴把平面分成四个象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
坐标系把平面分成四个象限,按逆时针编号:
第一象限:( + , + )
第二象限:( - , + )
第三象限:( - , - )
第四象限:( + , - )
知识点04:点到坐标轴、原点的距离
设点 P (x, y):
到 x 轴 的距离:|y|
到 y 轴 的距离:|x|
到 原点 的距离:(勾股定理)
【题型1.写出直角坐标系中点的坐标】
【典例】在一次科学探测活动中,探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内,则目标的坐标可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点,根据第三象限中点的符号的特点可知目标的坐标可能是.
【详解】解:因为目标在第三象限,所以其坐标的符号是,观察各选项只有D符合题意,
故选:D.
【跟踪专练1】若线段轴且,点A的坐标为,则点B的坐标为 .
【答案】或
【分析】本题考查点的坐标,熟练掌握点的坐标特征是解题的关键.
由于线段平行于轴,则点和点的纵坐标相同;根据,点的横坐标与点的横坐标相差,可求点的坐标.
【详解】解:轴,点的坐标为,
点的纵坐标为,
又,
点的横坐标为或.
点的坐标为或,
故答案为:或.
【跟踪专练2】若点在第二象限,点到轴的距离为,到轴的距离为,则点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】本题考查了坐标系中点到坐标轴的距离,根据到轴的距离是点的纵坐标的绝对值,到轴的距离则是点的横坐标的绝对值即可求解,掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】解:∵点到轴的距离为,到轴的距离为,
∴,,
∴,,
∵点在第二象限,
∴,,
∴点的坐标是,
故选:.
【跟踪专练3】在平面直角坐标系内,已知轴.
(1)若点坐标为,点坐标为,则的值为 .
(2)若点坐标为,且,则点的坐标为 .
(3)若点、、的坐标分别为、、,且轴,则 .
【答案】 或
【分析】本题考查了平行于坐标轴的点的坐标特点,解题的关键是:
(1)根据平行于x轴的点的纵坐标相同求解即可;
(2)根据平行于x轴的点的纵坐标相同求出点B的纵坐标,然后分B在A的左侧和右侧讨论求解即可;
(3)根据平行于x轴的点的纵坐标相同,平行于y轴的点的横坐标相同分别求出a,b的值,然后代入计算即可.
【详解】解:(1)∵轴,,,
∴,
∴,
故答案为:;
(2)∵轴,,
∴B的纵坐标为7,
又,
∴当B在A的左侧时,B的横坐标为;
当B在A的右侧时,B的横坐标为;
∴B的坐标为或;
(3)∵轴,、,
∴,
∴,
∵轴,,,
∴,
∴,
故答案为:.
【题型2.求点到坐标轴的距离】
【典例】在平面直角坐标系中,点到x轴的距离是 .
【答案】
【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离,根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值求解即可.
【详解】解:点到x轴的距离是,
故答案为:.
【跟踪专练1】已知点,,当时,点,的位置是( )
A.在轴上 B.在轴或平行于轴的直线上
C.在轴上 D.在轴或平行于轴的直线上
【答案】B
【分析】本题考查了两点间距离公式,坐标与位置的关系,掌握两点间距离公式,纵坐标相等的点在轴或平行于轴的直线上是解题的关键.
利用两点距离公式,根据条件推导出坐标相等,从而确定两点位置关系.
【详解】解:∵=,
∴两边平方得,
∴,
∴,
∴点和的坐标相同,故它们在轴或平行于轴的直线上
故选:B.
【跟踪专练2】是第三象限内的一个点,且点到两坐标轴的距离之差为5,则点的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了第三象限点的坐标特征、点到坐标轴的距离公式、绝对值方程的解法,掌握第三象限点横纵坐标均为负,点到坐标轴的距离等于对应坐标的绝对值是解题的关键.
根据第三象限点的坐标特征,横纵坐标均为负,利用点到坐标轴的距离公式列方程求解.
【详解】解:∵ 点在第三象限
∴且,
由解得,
故的取值范围为
∵点到轴的距离为 ,到轴的距离为
∴当时,到y轴的距离为,到轴的距离为
∵两距离之差为5
∴,即
∴或
解得或
∵
∴舍去,取
∴点的坐标为,即
故答案为:.
【跟踪专练3】在平面直角坐标系中,若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值,则称,两点互为“等差点”,例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于,它们互为“等差点”.若点和点互为“等差点”,则的值为( )
A.或 B. C.或 D.或
【答案】D
【分析】先算出点到两坐标轴距离之差的绝对值,再根据“等差点”定义得出点到两坐标轴距离之差的绝对值表达式,通过绝对值方程求解的值.本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴距离及绝对值方程的求解,熟练掌握点到坐标轴距离的计算方法和绝对值方程的解法是解题的关键.
【详解】解:点到两坐标轴的距离之差的绝对值为,点到两坐标轴的距离之差的绝对值为,
∴,
,
∴或,
解得或
故选:
【题型3.判断点所在的象限】
【典例】平面直角坐标系中,点在第 象限.
【答案】三
【分析】本题考查点所在的象限,解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征:第一象限,第二象限,第三象限,第四象限.据此判断可得答案.
【详解】解:∵,,
∴平面直角坐标系中,点在第三象限,
故答案为:三.
【跟踪专练1】在平面直角坐标系中,点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标.直接利用偶次方的性质得出,再利用点的坐标特点即可求解.
【详解】解:因为,,
所以点所在的象限是第二象限,
故选:B.
【跟踪专练2】已知点在轴上,点在轴上,则点位于第 象限.
【答案】二
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征,熟知坐标轴上及象限内的点的坐标特征是解答的关键.根据坐标轴上点的坐标特征求得m、n值,再根据各个象限中点的坐标特征解答即可.
【详解】解:∵点在轴上,点在轴上,
∴,,
解得,,
∴点在第二象限,
故答案为:二.
【跟踪专练3】在平面直角坐标系中,点一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的特征,熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键,根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征,判断点的横纵坐标符号即可确定所在象限.
【详解】解:∵,
∴,
∵
∴点的横坐标为正数.纵坐标为负数.
∴点在第四象限,
故选:D.
【题型4.已知点所在的象限求参数】
【典例】点在轴上,则 .
【答案】2
【分析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征,解一元一次方程.解题的关键在于熟练掌握在轴上的点坐标的纵坐标为0.由题意知,,进而求解即可.
【详解】解:由题意知,,
解得.
故答案为:2.
【跟踪专练1】已知点在第二象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】此题考查第二象限内点的坐标特点,根据第二象限点的横坐标为负求解即可.
【详解】解:∵点在第二象限,
∴.
故选:B.
【跟踪专练2】若第四象限内的点满足,,则点P的坐标是 .
【答案】
【分析】本题考查了绝对值,平方根,象限中的点坐标.解题的关键在于明确的取值范围.
由在第四象限可知,,计算,求出符合要求的解即可.
【详解】解:∵在第四象限
∴,
∵
∴或(舍去)
∵
∴(舍去)或
∴点坐标为
故答案为:.
【跟踪专练3】若点在坐标轴上,则点的坐标为( )
A. B.
C.或 D.或
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标,分两种情况进行计算是解题的关键,分点A在x轴上与y轴上两种情况进行讨论即可.
【详解】解:分两种情况:
当点在x轴上时,,
解得:,
∴点A的坐标为或;
当点在y轴上时,,
解得:,
∴点A的坐标为;
综上所述:点A的坐标为或,
故选:C.
【题型5.坐标系中描点】
【典例】如图,的顶点都在方格的格点上,顶点,的坐标分别为,,则顶点的坐标是 .
【答案】
【分析】本题考查了坐标平面中点的位置的确定,解题的关键是根据点,的坐标建立平面直角坐标系.依据点,的坐标建立直角坐标系中,即可得到点的坐标.
【详解】解:根据题意,建立平面直角坐标系如图所示,
由图可知点的坐标为.
故答案为:.
【跟踪专练1】下列说法正确的是( )
A.坐标轴上的点可以用一个实数表示
B.坐标平面内的点和表示同一个点
C.坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定
D.纵坐标为a,横坐标为b的点的坐标可表示成
【答案】C
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示方法.根据平面直角坐标系中点的坐标表示方法逐一判断其正确性,即可.
【详解】解:选项A:坐标轴上的点(如x轴或y轴)需用形如或的坐标表示,包含两个实数,而非仅一个实数,故A错误.
选项B:点与仅在时表示同一位置,否则位置不同(如与),故B错误.
选项C:根据平面直角坐标系的定义,每个点由唯一的有序实数对确定,且每个有序实数对对应唯一的点,故C正确.
选项D:坐标的规范写法为“横坐标在前,纵坐标在后”,即横坐标为、纵坐标为时应写作,而非,故D错误.
故选:C.
【跟踪专练2】如图,在平面直角坐标系中,已知的顶点坐标分别为,,.若在第二象限内有一点,且四边形的面积是的面积的,则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形的面积及坐标与图形性质,先根据点A,B,C的坐标求出和的面积,再结合四边形的面积是的面积的得出的面积,据此求出a的值即可.
【详解】解:由题知,
∵的顶点坐标分别为,,,
∴,.
又∵四边形的面积是的面积的,
∴四边形的面积为,
∴,
则,
解得,
所以点P的坐标为.
故答案为:.
【跟踪专练3】图中标明了李同学家附近的一些地方.某日早晨,李同学从家里出发,沿,的路线转了一下,又回到家里,如图,依次连接他经过的地方,你得到的图形是( )
A.心形 B.鱼 C.帆船 D.箭头
【答案】D
【分析】本题考查坐标确定位置,在平面直角坐标系中,一定要理解点与坐标的对应关系,是解决此类问题的关键.由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可.
【详解】解:如下图所示,得到一个“箭头”的图形,
故选:D
【题型6.坐标与图形综合】
【典例】如图,在平面直角坐标系中,点,点,则 .
【答案】3
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征.由点A,B的横坐标相等,则根据计算即可.
【详解】解:∵点,点,
∴,
故答案为:3.
【跟踪专练1】已知点坐标为,点到两坐标轴的距离相等,则的值是( )
A. B. C.或 D.或
【答案】D
【分析】本题考查了平面坐标系的相关概念,根据关键句“点到两坐标轴的距离相等”,可得出横纵坐标的绝对值相等,再进一步求解即可.
【详解】解:点P到两坐标轴的距离相等,
,
两边同时平方,得:,
化简得:,
解得:或.
故选:.
【跟踪专练2】已知轴,且到轴距离为2,则点的坐标是 .
【答案】或
【分析】本题考查坐标与图形,点到坐标轴的距离,根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同,以及点到轴的距离为纵坐标的绝对值,进行求解即可.
【详解】解:∵,
∴,
∵到轴距离为2,
∴,
∴,
∴点的坐标是或;
故答案为:或
【跟踪专练3】平面直角坐标系中由两点,规定,则称点为M,N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”,现有点,,若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点C的坐标有( )
① ② ③ ④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了点的坐标,解决问题的关键是掌握“和点”的定义和“和点四边形”的定义.
根据“和点四边形”的定义,需考虑点C为A、B的和点,或A、C的和点为B,或B、C的和点为A三种情况,分别计算点C的坐标,再判断选项中符合条件的个数.
【详解】解:当C为A、B的和点时:
C的坐标为,对应选项①.
当B为A、C的和点时:
设C的坐标为,则,解得,,对应选项②.
当A为B、C的和点时:
设C的坐标为,则,解得,,对应选项③.
选项④验证:
不存在任何情况使得④满足上述条件.
∴点C的坐标有3个.
故选C.
解答题
1.在平面直角坐标系中,点的坐标为,已知的两个平方根分别是与.
(1)求点的坐标;
(2)点沿轴的方向向右平移多少个单位长度后到两坐标轴的距离相等?
【答案】(1)点的坐标为.
(2)1个.
【分析】此题考查坐标与图形变化,关键是根据平方根的概念得出的坐标解答.
(1)根据平方根的概念得出的方程,进而解答即可;
(2)根据平移的性质解答即可.
【详解】(1)解:根据题意,得,
解得,
,
点的坐标为.
(2)解:设点沿轴的方向向右平移个单位长度,
则平移后的点坐标为.
根据题意,平移后的点到两坐标轴的距离相等,可得,
,
,
解得.
故点沿轴的方向向右平移个单位长度后到两坐标轴的距离相等.
2.在平面直角坐标系中,对于两点给出如下定义:若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值,则称,两点为“等距点”.如图中的两点即为“等距点”.
(1)①已知点的坐标为,在点中,为点的“等距点”的是___________;
②若点B的坐标为,,且两点为“等距点”,则点的坐标为___________;
(2) ,两点为“等距点”,求的值.
【答案】(1)①E;②
(2)1或2
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质,此题属于阅读理解类型题目,首先读懂“等距点”的定义,而后根据概念解决问题,难度较大,需要有扎实的基础,培养了阅读理解、迁移运用的能力.
(1)①找到、轴距离最大为的点即可;
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点,再根据“等距点”概念进行解答即可;
(2)先分析出直线上的点到x、y轴距离中有的点,再根据“等距点”概念进行解答即可.
【详解】(1)①点到x、y轴的距离中最大值为3,
点到x、y轴的距离中最大值为3,
点到x、y轴的距离中最大值为4,
点到x、y轴的距离中最大值为5,
与A点是“等距点”的点是E.
②点B的坐标为,,且两点为“等距点”,
当时,,点B的坐标为,不合题意,
当时,,点B的坐标为,
当时,即,点B的坐标为,不符合题意,
这些点中与A符合“等距点”的是.
故答案为①E;②;
(2)两点为“等距点”,
①若时,则或
解得(舍去)或.
②若时,则
解得或(舍去).
根据“等距点”的定义知,或符合题意.
即k的值是1或2.
3.在平面直角坐标系中,已知点,试分别根据下列条件,求出点的坐标.
(1)点在轴上;
(2)点在过点且与轴平行的直线上;
(3)点到两坐标轴的距离相等.
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查坐标系下求点的坐标:
(1)根据轴上的点的横坐标为0,得到,进行求解即可;
(2)根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同,进行求解即可;
(3)根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值,列出方程进行求解即可.
【详解】(1)解:由题意,得:,
解得:,
∴,
∴;
(2)由题意,得:,
解得:,
∴,
∴;
(3)由题意,得:,
解得:或;
当时,,则;
当时,,则;
综上:或
4.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点,然后解答问题:
,,,,,.
(1)A点到原点的距离是______个单位长度;
(2)将点向左平移6个单位,它会与点______重合;
(3)连接,则直线与轴是什么位置关系?
(4)点F到、轴的距离分别是多少?
【答案】(1)
(2)
(3)平行
(4)7 ;5.
【分析】此题主要考查了点的坐标性质以及平移的性质,根据坐标系得出各点的位置是解题关键.
(1)根据点坐标可得出点在轴上,即可得出点到原点的距离;
(2)根据点的平移的性质得出平移后的位置;
(3)利用图形性质得出直线与轴的位置关系;
(4)利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离.
【详解】(1)如图所示:点到原点的距离是3;
故答案为3;
(2)将点左平移个单位,它与点重合;
故答案为;
(3)点和点的横坐标相同,所以直线平行于轴,
(4)因为,所以点到轴的距离为7、到轴的距离为5.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
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专题09用坐标描述平面内点的位置(举一反三讲义)
【题型01 写出直角坐标系中点的坐标】.................................3
【题型02 求点到坐标轴的距离】.......................................3
【题型03 判断点所在的象限】.........................................4
【题型04 已知点所在的象限求参数】...................................4
【题型05 坐标系中描点】.............................................4
【题型06 坐标与图形结合 】..........................................6
【题型07 解答题4题】...............................................6
知识梳理
知识点01:平面直角坐标系
定义:平面内互相垂直且原点重合的两条数轴,组成平面直角坐标系。
组成:
水平数轴:x 轴(横轴),向右为正方向;
竖直数轴:y 轴(纵轴),向上为正方向;
两轴交点:原点 O。
知识点02:点的坐标表示
1.对于平面内任意一点 P:
向 x 轴作垂线,垂足对应的数是横坐标;
向 y 轴作垂线,垂足对应的数是纵坐标。
2.表示方法:P(a, b)
横坐标在前,纵坐标在后;
中间用逗号隔开,加小括号,是有序实数对。
知识点03:四个象限的符号规律(必考)
x 轴、y 轴把平面分成四个象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
坐标系把平面分成四个象限,按逆时针编号:
第一象限:( + , + )
第二象限:( - , + )
第三象限:( - , - )
第四象限:( + , - )
知识点04:点到坐标轴、原点的距离
设点 P (x, y):
到 x 轴 的距离:|y|
到 y 轴 的距离:|x|
到 原点 的距离:(勾股定理)
【题型1.写出直角坐标系中点的坐标】
【典例】在一次科学探测活动中,探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内,则目标的坐标可能是( )
A. B. C. D.
【跟踪专练1】若线段轴且,点A的坐标为,则点B的坐标为 .
【跟踪专练2】若点在第二象限,点到轴的距离为,到轴的距离为,则点的坐标是( )
A. B. C. D.
【跟踪专练3】在平面直角坐标系内,已知轴.
(1)若点坐标为,点坐标为,则的值为 .
(2)若点坐标为,且,则点的坐标为 .
(3)若点、、的坐标分别为、、,且轴,则 .
【题型2.求点到坐标轴的距离】
【典例】在平面直角坐标系中,点到x轴的距离是 .
【跟踪专练1】已知点,,当时,点,的位置是( )
A.在轴上 B.在轴或平行于轴的直线上
C.在轴上 D.在轴或平行于轴的直线上
【跟踪专练2】是第三象限内的一个点,且点到两坐标轴的距离之差为5,则点的坐标为 .
【跟踪专练3】在平面直角坐标系中,若点到两坐标轴的距离之差的绝对值等于点到两坐标轴距离之差的绝对值,则称,两点互为“等差点”,例如和到两坐标轴距离之差的绝对值都等于,它们互为“等差点”.若点和点互为“等差点”,则的值为( )
A.或 B. C.或 D.或
【题型3.判断点所在的象限】
【典例】平面直角坐标系中,点在第 象限.
【跟踪专练1】在平面直角坐标系中,点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【跟踪专练2】已知点在轴上,点在轴上,则点位于第 象限.
【跟踪专练3】在平面直角坐标系中,点一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【题型4.已知点所在的象限求参数】
【典例】点在轴上,则 .
【跟踪专练1】已知点在第二象限,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【跟踪专练2】若第四象限内的点满足,,则点P的坐标是 .
【跟踪专练3】若点在坐标轴上,则点的坐标为( )
A. B.
C.或 D.或
【题型5.坐标系中描点】
【典例】如图,的顶点都在方格的格点上,顶点,的坐标分别为,,则顶点的坐标是 .
【跟踪专练1】下列说法正确的是( )
A.坐标轴上的点可以用一个实数表示
B.坐标平面内的点和表示同一个点
C.坐标平面内的点由一对有序实数唯一确定
D.纵坐标为a,横坐标为b的点的坐标可表示成
【跟踪专练2】如图,在平面直角坐标系中,已知的顶点坐标分别为,,.若在第二象限内有一点,且四边形的面积是的面积的,则点P的坐标为 .
【跟踪专练3】图中标明了李同学家附近的一些地方.某日早晨,李同学从家里出发,沿,的路线转了一下,又回到家里,如图,依次连接他经过的地方,你得到的图形是( )
A.心形 B.鱼 C.帆船 D.箭头
【题型6.坐标与图形综合】
【典例】如图,在平面直角坐标系中,点,点,则 .
【跟踪专练1】已知点坐标为,点到两坐标轴的距离相等,则的值是( )
A. B. C.或 D.或
【跟踪专练2】已知轴,且到轴距离为2,则点的坐标是 .
【跟踪专练3】平面直角坐标系中由两点,规定,则称点为M,N的“和点”.若以坐标原点O与任意两点及它们的“和点”能构成四边形,则称这个四边形为“和点四边形”,现有点,,若以O,A,B,C四点为顶点的四边形是“和点四边形”,则点C的坐标有( )
① ② ③ ④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解答题
1.在平面直角坐标系中,点的坐标为,已知的两个平方根分别是与.
(1)求点的坐标;
(2)点沿轴的方向向右平移多少个单位长度后到两坐标轴的距离相等?
2.在平面直角坐标系中,对于两点给出如下定义:若点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值,则称,两点为“等距点”.如图中的两点即为“等距点”.
(1)①已知点的坐标为,在点中,为点的“等距点”的是___________;
②若点B的坐标为,,且两点为“等距点”,则点的坐标为___________;
(2) ,两点为“等距点”,求的值.
3.在平面直角坐标系中,已知点,试分别根据下列条件,求出点的坐标.
(1)点在轴上;
(2)点在过点且与轴平行的直线上;
(3)点到两坐标轴的距离相等.
4.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点,然后解答问题:
,,,,,.
(1)A点到原点的距离是______个单位长度;
(2)将点向左平移6个单位,它会与点______重合;
(3)连接,则直线与轴是什么位置关系?
(4)点F到、轴的距离分别是多少?
试卷第1页,共3页
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