上海市风华中学2026届高三上学期期末练习数学试题

2025年上海市风华中学高三数学第一学期期末练习 数学 试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~-12 题每题5分） 1. 已知集合，，则_____________. 2. 不等式的解集为____________________. 3. 已知复数，其中为虚数单位，则___________. 4. 在的二项展开式中，项的系数为______. 5. 已知随机变量，且，则___________. 6. 记为等差数列的前项和.若，，则_____________. 7. 有个男孩和个女孩排成一列，个女孩互不相邻的站法种数为_____________. 8. 随机变量服从正态分布，若，则________. 9. 设且满足，则__________. 10. 已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点．若PO＝，则·的最大值为________． 11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为_________百米. 12. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 在下列函数中，值域为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 14. 某组样本数据由8个互不相同的数组成，去掉其中的最小数和最大数后，得到一组新的样本数据，则下列选项一定成立的是（ ） A. 两组样本数据的平均数相同 B. 两组样本数据的极差相同 C. 两组样本数据的中位数相同 D. 两组样本数据的方差相同 15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去个三棱锥，得到个面为正三角形、个面为正方形的一种半正多面体，若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 16. 设数列为：，其中第1项为，接下来2项均为，再接下来4项均为，再接下来8项均为，…，以此类推，记，现有如下命题：①存在正整数，使得；②数列是严格减数列.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三，解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设分别为的中点． （1）证明：直线平面； （2）求直线PB与平面所成的角的正切值． 18. 在中，已知，，. （1）求； （2）若D为BC上一点，且，求的面积. 19. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 20. 已知椭圆，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为． （1）若a=2，求椭圆E的标准方程； （2）以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点的最短距离为，求a的值； （3）当时，设点F为椭圆E的右焦点，，直线l交E于P、Q（均不与点A重合）两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、、，若，求的周长． 21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. 2025年上海市风华中学高三数学第一学期期末练习 数学 试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~-12 题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】或 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】10 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】## 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】D 三，解答题（本大题共有5题，满分78分） 【17题答案】 【答案】（1）取AD中点O，连接， 在四棱锥中，，则， 由，则，有， 又平面底面，平面底面，平面， ∴平面，平面，则， 又分别为的中点，底面是边长为a的正方形， 则， 所以两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为，平面，所以平面 所以平面PAD的法向量为， 因为，且平面， 所以平面； （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）. 【19题答案】 【答案】（1），，事件与事件不独立. （2）分布列答案见解析， 【20题答案】 【答案】（1）； （2）4； （3）8 【21题答案】 【答案】（1）； （2） 令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故. 即存在满足题意. （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $