组合中三个重要模型的建立及应用 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

组合中三个重要模型的建立及应用讲义 许多排列组合问题都有其相对应的基本模型,即可将问题的结果公式化.只要我们认清每个模型的问题本质,就能保证在解题时灵活地驾驭这些模型,以达到迅速准确解题之目的.下面再为同学们介绍组合中三个相关的重要模型,熟悉和掌握这些有用的模型是十分必要的.这些模型揭示着个相同元素的组合关系,我们可用“板隔法”对每个模型结论的正确性作出严格证明.这三个模型的表述、证明与应用分别如下: 一、建立模型1:把个相同的小球全部装入个编号为的盒子中;若要求每个盒内至少装一个球,则共有装法数为(其中,且). 【证明】(利用隔板插空放置法)先把个相同的球排成一排仅有一种排法,这些球中间(两端除外)有个空档,再用块板随意插入空档(每板只插一空档)可将个球分隔成组,且每组至少有一球;然后按从左到右(或从右到左)约定的一种顺序依次装入对应的个盒中,即问题相当于从个不同元素中取个元素的所有组合个数,故共有种装法,且易得. 【例1】设集合,从集合到的函数中,求满足,且中每个元素都有中的元素与之对应的函数的个数. 【解析】由于要求中个元素都有中的元素与之对应,且满足…,即为单调递增函数,但非严格单调递增函数;因函数值可以相等,则可将这个函数值看着个相同元素.故在个不等号处用块板隔离成四部分,按从左到右的一个顺序分别对应着中个元素.由模型1易得共有个这样的函数. 【点评】本题要理解函数的概念,要求集中的每一个元素在对应法则的作用下与集中的唯一一个元素相对应,且中每个元素都有中的元素与之对应;本问题等价于“将个相同的球全部放入个不同盒子中,求每盒至少一球的放法”. 【变式1】某汽车运输公司有6个车队,每个车队的车都多于5辆;现从这6个车队中抽调10辆车用于抗洪救灾搬运物资,且每个车队至少抽调一辆,则不同的抽调方案有多少种? 【提示】可把辆车看成个相同元素,按模型1知有种抽调方案. 二、建立模型2:把个相同的小球全部装入个编号为的盒子中;若每个盒子允许放球或不放球,且数量不限,则共有装法数为. 【证明】(利用隔板任意放置法)要将相同的个球全部装进个不同盒子中,需要先把球分成组,每盒放入一组中的球即可.这样一来,可先用块板将这个球分隔成组,由于球是相同的,然后再把已分好的组球按从左到右(或从右到左)约定的一种顺序对应依次装入这个盒中.考虑到每个盒中可装也可不装球,且装球的数量不限,于是将这个球和块板按任意顺序放成一排需占个位置.则问题等价于从这个位置中任选个位置分别插入块隔板,故共有种方法.值得注意的是,式中正整数的大小关系可任意规定. 【例2】已知四元方程;则(1)方程有多少组非负整数解?(2)方程有多少组正整数解? 【解析】(1)经考察分析,倘若我们用数0代表无球,数代表个球;则本问题等价于“将个相同的球全部放入个不同盒子中,且允许有盒子不放球,有几种不同的放法?”;由模型2易得共有组非负整数解.(2)本问题等价于“将个相同的球全部放入个不同盒子中,要求每个盒子至少装一个球,有几种不同的放法?”;由模型1易得共有组正整数解. 【点评】将数字分拆成个数字,这些数字可看成个相同的元素;对于问题(1)来说,非负整数包括数,若某个元字母等于表示没取到元素,某个元字母等于表示取到个元素.善于进行转化是解决问题的关键. 【变式2】已知三项式为;求其展开式中共有多少项? 【提示】由于三项式的展开式中的每一项都形如的齐次式;其中各指数和为,对应项的系数.于是问题等价于三元方程有多少组非负整数解?由模型2可得共有项. 【例3】将只相同的钢笔和本相同的笔记本分给甲、乙、丙、丁名学生,全部分完且每人至少分到一本笔记本,有多少种不同分法? 【解析】第一步分钢笔,由模型2知:,易得分法数为;第二步分笔记本,由模型1知:分法数为.故由分步计数原理(乘法原理)得有种分法. 【点评】由于钢笔数为比个人数要小,因此不是每个人都能分到钢笔,也允许将只钢笔全部分给某一个人,这就是模型2的适用范围之广和灵活运用之处;另外在解题中要注意模型1与模型2的条件区分和正确使用,以免操作失误. 【变式3】某地区教育局将9个“省三好学生”名额分配给5所不同的学校,其中A校至少要有两个名额,其它学校至少一个名额,求不同的分配方案有多少种. 【提示】法一(分类法)由于9个“省三好学生”名额是表示9个相同的元素.①当A校分配两个名额时仅有一种分法,再将余下7个名额按模型1分给其它4所学校有种分法;其它情况同理:②当A校分三个名额时有种分法;③当A校分四个名额时有种分法;④当A校分五个名额时有种分法.故共有分配方案为种.法二(间接法)因每所学校至少分一个名额按模型1操作有种分法,其中包含A校仅分配一个名额的分法有种是不合题意;故有种分法. 三、建立模型3:把个相同的小球全部装入个编号为的盒子中;若要求每个盒内球的个数不少于盒子编号数，则共有装法数为(其中,且). 【证明】(隔板任意或插空放置法)由于要求每个盒内球的个数不少于盒子的编号数.若按方案Ⅰ进行,可先向个编号为的盒子里分别装入个球(相同球)仅有一种方法,再把剩下的…个相同球任意装进这个盒中,可按模型2进行下去,显然,易得满足要求的装法共有种,且式中;若按方案Ⅱ进行,可先向个编号为的盒子里分别装入个球(相同球)只有一种方法,使每个盒子里至少还需装一个球,再把剩余的…个相同球按模型1操作继续装入个盒中,由于,故装法共有种,且由,得. 【例4】将个相同的球全部装入个编号为的盒子中;(1)若要求号与号盒各放个球,则有几种装法?(2)若恰有只盒子是空的,则有几种装法?(3)若要求号与号盒各放个球,其它个盒内球的个数不少于盒子的编号数,则有几种装法?(4)若要求号与号盒各放个球,其它盒内球的个数不少于盒子的编号数,则有几种装法? 【解析】(1)先将号与号盒各放个相同的球仅有一种放法,再把剩下的个球任意装入其它三个盒内,且这三个盒允许有盒子不放球,由模型2易得有种装法.(2)先选出只不放球的盒有种选法;再将个球装入个盒中且每盒至少一球,由模型1易得有种装法;故由乘法原理可得有种装法.(3)先向号盒内各装个相同球仅有一种方法,再将剩下的14个球按模型3方式装入其它盒内,此时把代入模型3可得有种装法.(4)先向号盒内各装个相同球仅有一种方法,又向号盒内分别装入个球也只有一种方法;再将剩下的个球按模型1继续装入号三个盒内,故有种装法(或向号盒内分别装入个球仅有一种方法,再将剩下的个球按模型2继续装入号三个盒内,故有种装法). 【点评】利用上面这三个模型的结论,在求解有关相同元素的组合题时,常使问题化难为易,出奇制胜地获解.另外模型3可用模型1或模型2来替代解题,如例4中的第(4)问那样;只不过直接使用模型3解题速度会特快,如例4中的第(3)问这样. 【变式4】把本相同的书分给编号为的三个学生阅览室，要求每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,则不同的分法有多少种? 【提示】由模型3知:这里,故有种分法. 总而言之,解题时若会善于分析,并灵活沟通问题与三个模型间的内在联系,则还能利用这三个模型解决如例2、例4这样一些更深层次意义的相关问题,的确妙哉！ 【跟踪训练题】 1.某商业步行街的一侧有并排着的个店面,现有位商人打算承包这个店面做生意;为方便管理,他们商量各自承包的店面要相连在一起,并且每人至少承包个店面,问有多少种承包方案? 2.某一小型私营企业老板为献爱心,打算向当地县里山区所“希望小学”赠送台一样的新电脑;(1)若每所受赠学校至多获得台电脑,有几种赠送方法?(2)若每所受赠学校获得电脑台数不限,有几种赠送方法? 3.某大型联欢晚会上,有一个节目主持人与现场观众互动环节:观众只要答对了主持人提出的问题就有礼品获得;已知甲、乙、丙、丁名观众在这一环节中分别答对了4,3,2,1个问题,现有件相同的礼品准备全部分给这个人,要求每人所获得礼品的件数不少于其答对问题的个数,问共有几种分法? 【跟踪训练题答案】 1.把个店面看作个相同的球,由模型1得有种承包方案. 2.(1)从所学校中选所有种;(2)将台一样的电脑看作个相同的球,所学校看作个不同的盒子,故由模型2知有种赠送方法. 3.将件相同的礼品看作个相同的球,个人看作个不同的盒子;由模型3知,这里,故有种分法. 学科网（北京）股份有限公司 $