精品解析：宁夏青铜峡市第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题(A)

青铜峡市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高 二 数学（A卷） 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 2. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（ ）. A. B. C. D. 4. 已知等差数列中，，则（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 10. 下列说法错误的有（ ） A. 椭圆C：的焦点坐标为 B. 双曲线C：的虚轴长是6 C. 椭圆C:的焦点的周长为16 D. 圆和圆的公共弦所在直线方程为 11. 直线方程为，若在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与交点坐标为，直线在y轴上的截距是 C. 已知直线经过与交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，的方程为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共18分．） 12. 已知数列的前n项和为，则__________ 13. 已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 14. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为__________；2021年全年他们约定的“家庭日”共有__________个. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； （2）求的面积； （3）求外接圆的方程. 17. 记分别为数列的前项和，其中，. （1）求的通项公式； （2）求. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求点到平面的距离. 19. 已知点是离心率为的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市第一中学2025-2026学年第一学期12月月考试卷 高 二 数学（A卷） 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知数列，则该数列的第36项为（ ） A. B. 36 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】归纳可得该数列的通项公式为，再代入计算可得. 【详解】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 2. 设，，向量，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 3. 数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用观察归纳法求出通项公式. 【详解】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C 4. 已知等差数列中，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项求值即可. 【详解】已知数列为等差数列，且， 则，解得：， . 故选：A 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 6. 圆关于直线对称的圆的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点即所求圆的圆心，两圆半径相同，得到所求圆. 【详解】由，得圆心为，半径， 设圆心关于直线的对称点为， 则 解得 故所求圆的方程为． 故选：C. 7. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点差法计算得出，借助离心率公式计算即可. 【详解】设， 因为为线段的中点，所以， 由，两式相减可得：， 整理得，即， 所以，则，即椭圆的焦点在轴上， 即，则， 所以. 故选：B. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义以及余弦定理计算可得，再由双曲线定义可得，即可得双曲线的方程. 【详解】不妨设，椭圆长半轴长为，双曲线实轴长为，如下图所示： 根据椭圆定义可知，由离心率定义可得， 解得； 又，可得， 解得； 由易知，可得； 又，可得， 因此可得双曲线的方程为. 故选：D 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（ ） A. 异面直线与所成角为60° B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法错误的有（ ） A. 椭圆C：的焦点坐标为 B. 双曲线C：的虚轴长是6 C. 椭圆C:的焦点的周长为16 D. 圆和圆的公共弦所在直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用椭圆方程、双曲线方程求解判断ABC；确定两圆位置关系并求出公共弦所在直线方程判断D. 【详解】对于A，椭圆C：的焦点在轴上，A错误； 对于B，双曲线C：的虚半轴长，虚轴长，B错误； 对于C，椭圆C：的实半轴长，半焦距， 因此焦点的周长，C错误； 对于D，的圆心，半径，圆 的圆心，半径，，因此圆与圆相交， 将两圆方程相减得两圆公共弦所在直线方程，D正确. 故选：ABC 11. 直线的方程为，若在x轴上的截距为，且，则下列说法正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与的交点坐标为，直线在y轴上的截距是 C. 已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为 D. 已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由直线方向向量的定义可判断选项正误；对于B，由题可得方程，得交点坐标，可判断选项正误；对于C，考虑直线过原点及直线横纵截距全不为0两种情况，可判断选项正误；对于D，由题可得方程，可判断选项正误. 【详解】对于选项A，直线的方程为，其斜率. 所以的一个方向向量为，因此向量也是的一个方向向量， A正确. 对于选项B， 由，可知， 由在轴上的截距为知过点， 所以直线的方程为，即， 所以在轴上的截距为， 联立，解得，，交点为，B正确. 对于C，当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 将点代入可得，所以直线的方程为． 综上，满足条件的直线的方程为或．故C错误； 对于D，由题意过点的动直线中，原点到直线的距离最大时，直线与原点和的连线垂直， 故此时直线的斜率为， 所以直线为，即，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共18分．） 12. 已知数列的前n项和为，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】利用求解即得. 【详解】数列的前n项和为，当时，， 而不满足上式， 所以. 故答案为： 13. 已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，结合图形和抛物线的定义，求出的最小值． 【详解】过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值 故答案为： 14. 百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为__________；2021年全年他们约定的“家庭日”共有__________个. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，过点，离心率； （2），经过点，焦点在轴上的双曲线； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）确定曲线类型，再设出标准方程，借助离心率及所过点列出方程组求解. （2）根据给定条件，设出双曲线方程，代入求出虚半轴长平方即可. 【小问1详解】 依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 16. 已知的三个顶点分别是，，. （1）求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； （2）求的面积； （3）求的外接圆的方程. 【答案】（1）边所在直线的方程：，垂直平分线的方程：； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用点斜式求出边所在直线的方程，求出的中点坐标，再由点斜式计算可得； （2）求出及点到直线的距离，再由面积公式计算可得； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【小问1详解】 因，，所以， 所以边所在直线的方程为，即， 又的中点为，即， 所以边垂直平分线的方程为，即； 【小问2详解】 因为， 又点到直线：的距离， 所以. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以，即， 即的外接圆的方程为. 17. 记分别为数列的前项和，其中，. （1）求通项公式； （2）求. 【答案】（1） （2）1222 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析求解，注意分和两种情况； （2）根据（1）中结果可得数列的通项公式，再利用分组求和法以及等差数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，则，又， 两式相减得； 且符合上式，所以 . 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出平面的法向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 可得，，，，由为棱的中点，得， 向量，， 故，又为平面的一个法向量， 又面， 所以平面. 【小问2详解】 向量，，. 设为平面的法向量，则，即， 令，得为平面的一个法向量， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 向量，设平面的法向量， ，即，令，得为平面的一个法向量， 则. 19. 已知点是离心率为的椭圆上的一点. （1）求椭圆的方程； （2）点在椭圆上，点关于坐标原点的对称点为，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由； （3）斜率为的直线交椭圆于、两点，求当面积为时直线的方程. 【答案】（1） （2）直线和斜率之积为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）由离心率及过点即可求出椭圆方程； （2）设，可得，从而可得，即可求解； （3）先联立直线与椭圆得出，点到直线的距离为，计算，利用均值不等式求面积的最值和直线的方程． 【小问1详解】 由题可得，，， 将代入椭圆方程得，，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 依题意得在椭圆上，直线和的斜率和都存在且不为0， 设，所以，，， ，所以直线和的斜率之积为定值； 【小问3详解】 设直线的方程为，，， 由消去，整理得， ，则，则，， ， 点到直线的距离为， ，，即，此时直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $