双曲线中一个重要的定面积定理的证明及应用 讲义-2026届高三数学二轮专题复习

双曲线中一个重要的定面积定理的证明及应用讲义 我们知道双曲线中有一系列的重要性质，其中有很多性质为大家所熟悉；但下面这个既实用又重要的定面积性质定理却可能不为人知,若在解题中会灵活使用这个定理，能起到事半功倍之效.现向同学们介绍如下. 定理：过双曲线上任意一点，作两条直线分别与双曲线的两条渐近线平行；则这四条直线所围成的平行四边形的面积为定值.具体情况如下: (1) 若双曲线的方程为或()时,则. (2) 若双曲线的方程为时，则. (3) 若双曲线的方程为时，则. 一、定理证明 证明：(1)(图1)因双曲线方程为，其渐近线方程为.由对称性，不妨在双曲线的右支上任取一点，则有；过点作两直线分别与渐近线平行，设与交于点，与交于点；则点到直线的距离(因点在直线的右侧，则)；设，而直线方程为，方程为，将两方程消去解出，则，(方程为时同理可得). 证明：(2)(图2)因双曲线方程为,从而知轴和轴为双曲线的两条渐近线；在双曲线上任取一点，则有；过点作轴交轴于，作轴交轴于，得平行四边形为矩形，于是. 证明：(3)(图3)先考虑双曲线方程为时,其两条渐近线方程分别为和；在双曲线上任取一点，则有；过点作交轴于，作轴交直线于，得一个平行四边形；设，由直线方程和轴方程解出，而到轴的距离，.(当方程为时，其图像为方程的图像关于轴对称而得，同理). 二、定理应用 例1.过双曲线上任意一点作两条直线分别与两条渐近线平行，且这两条直线与两渐近线所围成的平行四边形的面积为；求双曲线的离心率. 解：由双曲线方程得，又据上述性质定理(1)知，则，故双曲线的离心率. 例2.过曲线：的图像上任意一点作两条直线分别与两坐标轴平行，且这两条直线与两坐标轴所围成的四边形面积为，若点也在曲线的图像上，求实数的值. 解：由上述性质定理(2)知，即.将点的坐标代入方程中，解得；将点的坐标代入方程中,解得.综合得. 例3.点在函数的图像上，过点作两条直线分别与直线和直线平行，且这四条直线所围成的平行四边形的面积为，若点在直线上，求的取值范围. 解：由上述性质定理(3)知，点的坐标代入方程中得，则，于是点；将点的坐标代入方程中得，且，则 =,当且仅当,得且,即时，；故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $