30 第四单元 第21讲 解直角三角形及其应用-【中考拐点】2026年四川南充中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“解直角三角形及其应用”核心考点，严格对接课标“用锐角三角函数解直角三角形及解决实际问题”要求，通过知识导图梳理解直角三角形四种情况及仰角俯角、坡度坡角、方位角等应用类型，结合近三年中考真题分析考点分布，归纳出实际应用题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+针对训练”模式，如2024达州仰角俯角真题通过作辅助线构造直角三角形，示范三角函数应用方法，培养学生几何直观与推理能力。针对训练覆盖南充、乐山等地中考题，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此精准开展复习教学，提升学生中考得分率。

第21讲　解直角三角形及其应用 第四单元　三角形 《中考拐点》 2026南充数学 1 2 2 2 1 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 目 录 2 素养储备·依标扣本 考点综述 01 3 课标 要求 能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题. 知识 导图 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)已知斜边和一直角边(c，a)，由sin A＝，求∠A； ∠B＝90°－∠A；b＝①__________；  (2)已知两直角边(a，b)，由tan A＝，求∠A；∠B＝90° －∠A；c＝②___________； (3)已知斜边和锐角(c，∠A)，则∠B＝90°－∠A；a＝c·sin A；b＝c·cos A； (4)已知一直角边和锐角(a，∠A)，则∠B＝90°－∠A，b＝，c＝　  知识点一 解直角三角形 解直角三角形 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5 仰角、俯角：在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线③_____的角叫仰角，视线在水平线④_____的角叫俯角 知识点二 解直角三角形的实际应用 解直角三角形的实际应用 上方 下方 坡度(坡比)、坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示，坡面与水平面的夹角叫坡角i＝tan α＝⑤_____ 方位角：“南北”∥“南北”，“东西”∥“东西”；“南北”偏“东西”， 图中讨论的每个点都画“十字架”， 如 东南方指南偏东45°方向.如图，点A在点B北偏东50° 方向，则点B在 点A⑥____________方向  南偏西50° 知识点一 首页 目录 知识点二 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 素养积累·考点过关 考点综述 02 7 例1 (人教九下P35例2改编)如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E. (1)若∠A＝60°，求BC的长； 考点一 解直角三角形 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8 解：∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，∴∠E＝30°. 在Rt△ABE中，∵AB＝6， tan A＝， ∴BE＝AB·tan A＝6×tan 60°＝6. ∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝， ∴CE＝＝8. ∴BC＝BE－CE＝6－8. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)若sin A＝，求AD的长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号) 解：∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝， ∴设BE＝4x，则AE＝5x，AB＝3x. ∴3x＝6，解得x＝2，∴BE＝8，AE＝10. ∴tan E＝，∴DE＝. ∴AD＝AE－DE＝10－. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是(　　) A.3 B.6 C.8 D.9 针对训练 B 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 2.(2024·南充) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC ＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度 的最小值为(　　) A. B. C.2 D.3 C 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 3.(2025·乐山) 如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2. (1)求AB的长； 解：过点A作AJ⊥BC于点J. 在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°， ∴AJ＝AC·sin 60°＝2×， CJ＝AC·cos 60°＝2×＝1. 在Rt△ABJ中，∠B＝45°， ∴BJ＝AJ＝，∴AB＝. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求点C到线段AB的距离. 解：过点C作CK⊥AB于点K. 由(1)可知BC＝CJ＋BJ＝1＋. ∵S△ABC＝AB·CK＝BC·AJ， ∴CK＝， ∴点C到线段AB的距离为. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点1　仰角、俯角问题 例2 (2024·达州) “三汇彩亭会”是达 州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化 活动，起源于汉代，融数学、力学、 锻造、绑扎、运载于一体(如图1)，在 一次展演活动中，某数学“综合与实 践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处.借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭 考点二 解直角三角形的实际应用 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 15 中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测 点E处借助无人机技术进行测量，测 得AE平行于水平线BC，中轴AB上的 点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之 间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB ＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点M作MN⊥AB，垂足为N. 由题意知，四边形CMNB是矩形. ∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米， AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米). 在Rt△DMN中，∵tan∠DMN＝， ∴DN＝tan∠DMN·MN＝tan 30°×MN＝×6＝2(米). 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 在Rt△AEF中，∵sin∠AEF＝， ∴AF＝sin∠AEF·EF＝sin 45°×EF ＝×4＝2(米). ∵AF＋DN＝AN＋DF， ∴DF＝2＋2－4.8≈2×1.41＋2×1.73－4.8＝3.46＋2.82－4.8＝1.48≈1.5(米). 答：中轴上DF的长度约为1.5米. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 4.(2025·内蒙古) 如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处，从点C测得点A的俯角为60°，测得点B的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为__________m(结果保留根号).  针对训练 120 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 5.(2025·广安) 随着科技的发展，无人机在实 际生活中应用广泛.如图，O，C是同一水平线 上的两点，无人机从O点竖直上升到A点，在A 点测得C点的俯角为30°，A，C两点的距离为 24 m.无人机继续竖直上升到B点，在B点测得 C点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到 0.1 m).(点O，A，B，C在同一平面内，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75，≈1.73) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：如图，由题意可得DB∥AE∥CO. ∴∠BCO＝∠DBC＝36.9°，∠ACO＝ ∠EAC＝30°.在Rt△ACO中，AC＝24 m， ∴AO＝AC＝×24＝12(m)，CO＝AC ＝×24＝12(m).在Rt△BCO中， BO＝CO·tan 36.9°≈12×0.75＝9(m).∴AB＝BO－AO≈9－12≈3.6(m).∴无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点2　方位角问题 例3 (2024·泸州) 如图，海中有一个小岛C，某 渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上， 该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得 小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60° 方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A，C相距30 n mile.求C，D间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点C作CH⊥AB于点H. ∵∠CAB＝45°，AC＝30 n mile， ∴AH＝CH＝15 n mile. ∵∠CBH＝60°， ∴BC＝＝10(n mile). 过点D作DG⊥AB于点G. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴∠DBG＝180°－60°－30°－60°＝30°. ∴∠BDG＝60°.∴∠CDB＝60°. ∴CD＝＝20(n mile). 答：C，D间的距离为20 n mile. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 6.(2023·南充) 如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处， 再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(　　) 针对训练 A.米 B.米 C.x·sin α米 D.x·cos α米 B 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 7.(2025·长沙)如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB＝800 m. (1)求∠ACB的度数； 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：如图，由题意知，∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM， ∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°， ∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号) 解：∵∠CBE＝60°， ∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°. 由(1)，得∠ACB＝30°.∴∠ABC＝∠ACB＝30°.∴AC＝AB＝800 m. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴在Rt△ACM中，AM＝AC·sin∠ACM＝800×sin 30°＝800×＝400(m)，CM＝AC·cos∠ACM＝800×cos 30°＝800×＝400(m). ∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1 200(m). ∵∠BDM＝45°，BM⊥DM， ∴DM＝BM＝1 200 m， ∴DC＝DM－CM＝1 200－400(m)， ∴景点C与景点D之间的距离为(1 200－400) m. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点3　坡度(坡角)问题 例4 (2025·资阳) 如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1∶3，AB＝10米，CD⊥BD.(点A，B，C，D在同一竖直平面内). (1)求平台BN的高度； 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点B作BE⊥AM于点E. ∵斜坡AB的坡度为1∶3， ∴，∴AE＝3BE. 在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2， 即(10)2＝BE2＋(3BE)2，∴BE＝10米. 答：平台BN的高度为10米. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)求建筑物的高度(即CD的长). 解：延长CD交AM于点F，则CF⊥AM， ∴四边形BEFD为矩形， ∴DF＝BE＝10米，BD＝EF. 设CD＝x米，则CF＝(x＋10)米. 在Rt△ACF中，∠CAF＝30°， tan∠CAF＝，∴， 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 ∴AF＝(x＋10)米. 在Rt△CBD中，∠CBD＝60°， 则BD＝x米. 由(1)可知AE＝3BE＝30米， ∴(x＋10)－x＝30， 解得x＝15－15. 答：建筑物的高度为(15－15)米. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 8.(2024·眉山) 如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上 的影子BE长为10米，则大树AB的高为_____________米.  针对训练 (4－2) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 9.某中学依山而建，校门A处有一坡角α＝30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长(结果保留根号). 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：过点B作BG⊥AD于点G，则四边形BGDF为矩形.∴BG＝DF. 在Rt△ABG中，BG＝AB·sin α＝30×＝15(米)，∴DF＝15米. 设BF＝x米，则CF＝x米，EF＝(x－4)米. 在Rt△CEF中，tan∠CEF＝， ∴x＝6＋2.∴CF＝(6＋2)米. ∴DC＝DF＋CF＝15＋6＋2＝21＋2(米). 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 命题点4　其他问题 例5 (2025·凉山州) 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3米，∠BOM＝18.17°. (参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1米) 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (1)求直吊臂OB的长； 解：由题意，得BM⊥OM. ∵∠BOM＝18.17°，BM＝3米，∴在Rt△BOM中，OB＝≈≈10(米). 答：直吊臂OB的长约为10米. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 (2)直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米? 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 解：如图，记旋转后的点B，M的对应点为B'，M'，延长B'M'交OM于点F，过点B作BE⊥B'F于点E，则∠BEF＝90°. ∴∠BEF＝∠EFM＝∠BMF＝90°. ∴四边形EFMB为矩形.∴EF＝BM＝3米. 由题意，得∠OB'M'＝36°，B'M'＝BM＝3米， OB'＝OB≈10米.在Rt△B'OF中， B'F＝OB'·cos∠OB'M'≈10×0.81＝8.1(米)， ∴M'F＝B'F－B'M'≈8.1－3＝5.1≈5(米). ∴货物M约上升了5米. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 10.(2025·眉山) 人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长 都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是__________m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)  针对训练 1.8 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 11.(2025·河北) 2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”.如图是一幅眼肌运动训练图，其中数1~12对应的点均匀分布在一个圆上，数0对应圆心.图中以数0~12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相 等.若该圆的半径为1，则这条线段的长为 __________.(参考数据： sin 15°＝，sin 75°＝)  首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球.移动一圈后再回到原点，反复进行. 首页 目录 考点一 考点二 考点三 素养储备·依标扣本 素养积累·考点过关 请完成《练测本》P45~46素养练测21 本讲内容结束 $