广东深圳市罗湖区2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学试卷

2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4、非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不得使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数，当时，，则“”是“是单调函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（ ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 7. 在平面直角坐标系中，若角的终边关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（ ） A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80 C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50 10. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. 恒过定点 B. 不存在最小值 C. 不存在最大值 D. 面积的最大值为2 11. 某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为_____． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________ 14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折．现有一张边长为2的等边三角形纸，点分别在边和上，现将三角形纸沿对折，点恰好落在边上且记为，当最短时，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平面四边形中，已知，，． （1）求的面积； （2）若，且，求的长． 16. 记是公差不为0的等差数列的前项和，若． （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前项和，证明：，． 17. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，，． （1）求证：； （2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在直角坐标系中，动圆与圆外切，且与直线相切，记的轨迹为． （1）求的方程； （2）若直线与交于轴异侧两点，且． （i）证明：过定点； （ii）过作于点，求的最小值． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在，使得关于x的方程有三个不同的实数根，求b的取值范围； （3）若为函数的极小值点，求m的取值范围． 2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学 注意事项： 1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码． 3．作答选择题时，用铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑． 4、非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不得使用铅笔和涂改液． 5．考试结束后，考生上交答题卡． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） ， ， ， 两式相减得， ，即. . . 【17题答案】 【答案】（1）由， 在中，有 ， 平面， 平面， 平面， 在矩形中，有 ， 平面， 平面， 平面， ； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （i）当直线斜率为时，与抛物线有且只有一个交点， 则可设直线的方程为， 联立， 得， ， ∴，或，由题（舍去），则， ∴过定点． （ii）. 【19题答案】 【答案】（1）上单调递减，上单调递增； （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $