广东深圳市罗湖区2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学试卷

2025-2026学年第一学期期末质量检测高三数学

注意事项：

1．本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．

2、答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．

3．作答选择题时，用铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．

4、非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不得使用铅笔和涂改液．

5．考试结束后，考生上交答题卡．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数满足，则（   ）

A.  B.  C. 3 D. 5

2. 已知集合，则（   ）

A.  B.

C.  D.

3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知定义在上的奇函数，当时，，则“”是“是单调函数”的（   ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 在四面体中，，，两两垂直，且，若均在

球的球面上，则的表面积为（   ）

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200

7. 在平面直角坐标系中，若角的终边关于轴对称，则（   ）

A.  B.

C.  D.

8. 已知正六边形的边长为1，集合，则中任意两个元素的数量积最大值为（   ）

A.  B.  C. 2 D. 3

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（   ）

A. 有效数据的极差是10 B. 有效数据的平均数是80

C. 有效数据的第80百分位数是86 D. 有效数据的方差是50

10. 已知直线与圆交于两点，则（   ）

A. 恒过定点 B. 不存在最小值

C. 不存在最大值 D. 面积的最大值为2

11. 某商场举行抽奖活动，规则如下：参与者从甲、乙两个箱子中随机选择一个，然后从该箱中有放回地抽取小球两次，每次抽取1个球，已知甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球，每次抽到红球记1分，抽到白球记0分，设事件“参与者选择甲箱”，事件“两次抽球总得分为2分”，则（   ）

A.  B.

C. 与相互独立 D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 的展开式中的系数为_____．

13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交于，两点，若为等边三角形，则的焦距为___________

14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会把纸沿某条直线对折．现有一张边长为2的等边三角形纸，点分别在边和上，现将三角形纸沿对折，点恰好落在边上且记为，当最短时，___________．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 如图，在平面四边形中，已知，，．

（1）求的面积；

（2）若，且，求的长．

16. 记是公差不为0的等差数列的前项和，若．

（1）求的通项公式；

（2）设，记为数列的前项和，证明：，．

17. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，，．

（1）求证：；