21.3 特殊的平行四边形 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第21章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 知识点专项训练 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 4．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 5．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 6．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 8．如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 11．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 12．若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（   ） A．24 B．20 C．18 D．12 15．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 16．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 二、填空题 18．如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 19．如图，在中，，D是边的中点，若，则的长为 ． 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为 ． 21．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 22．如图，已知中，，作边上的中线和高线，则 ． 23．在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为 ．    24．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 25．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 26．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ． 27．如图，在矩形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，连接，若，，则的周长为 ． 三、解答题 28．如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 29．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 30．如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 31．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 32．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 33．如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 34．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 35．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 36．已知点E在正方形的边上，点A关于的对称点在正方形内． (1)如图1，连接，则与的位置关系是__________；若的延长线经过点D，，则的长为__________． (2)如图2，F是的延长线与的交点，连接． ①求证：． ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，求证：是等腰直角三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第21章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 2．如图，在中，，垂足为．添加下列哪个条件，不能使成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定定理，首先明确平行四边形、菱形、正方形的判定关系：平行四边形中，对角线互相垂直的是菱形；菱形要成为正方形，需满足有一个内角为直角或对角线相等．本题先由得出是菱形，再分析各选项能否让菱形变为正方形． 【详解】四边形是平行四边形，且， 是菱形． 若，菱形的对角线相等．根据“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故A不符合“不能使”的要求． 若，菱形的一个内角为直角．根据“有一个角是直角的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故B不符合“不能使”的要求． 若，是菱形的边，是对角线．仅“边与对角线相等”无法推出菱形有直角或对角线相等，因此不能保证菱形是正方形，故C符合“不能使”的要求． 若，因菱形对角线互相平分（，），则，，即．结合“对角线相等的菱形是正方形”，此时菱形是正方形，故D不符合“不能使”的要求． 故选C 3．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（   ） A．当时，它是矩形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，解题关键在于掌握判定法则．根据已知及各个四边形的判定对各个选项进行分析从而得到最后答案． 【详解】解：A． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，该项错误，不符合题意； B． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，该项错误，不符合题意； C． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，该项正确，符合题意； D． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，该项错误，不符合题意； 故选：C． 4．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键． 根据矩形和平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，具有所有平行四边形的性质，但对角线相等是矩形特有的性质，而平行四边形不一定具有. 【详解】解：A、对边平行且相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； B、对角相等，矩形和平行四边形都具有，不符合题意； C、对角线相等，矩形具有，而平行四边形不具有； D、对角线互相垂直，是菱形的性质，矩形不一定具有该性质，不符合题意 故选：C． 5．如图，在中，，．要判定四边形是菱形，还需要添加的条件可以是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，证得四边形是平行四边形是解题的关键． 当平分时，四边形是菱形，可先证明四边形是平行四边形，再证明即可解决问题． 【详解】解：当平分时，四边形是菱形， 理由：， ， 平分， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 其余选项均无法判断四边形是菱形， 故选：C． 6．如图，矩形的顶点，B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，平面直角坐标系，由已知点坐标可得，，进而可解． 【详解】解：矩形的顶点， ，，轴， B的坐标为． 故选：A． 7．如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．5 B．8 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8．如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 9．如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的邻角互补，对角线平分一组对角，可得，，再由得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 11．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理得出，从而可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 12．若菱形的边长为5，一条对角线长为6，则菱形的面积为（    ） A．8 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，利用勾股定理求出另一条对角线的长度，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 13．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定知识点，解题关键是熟练掌握矩形的判定定理，并结合平行四边形的基本性质对每个选项进行逻辑推导． 需要结合平行四边形的性质，对每个选项进行分析，判断能否推出平行四边形是矩形． 【详解】解：A、在平行四边形中，，根据平行线性质，是恒成立的，这只是平行四边形的基本性质，不能判定它是矩形，不符合题意； B、在平行四边形中，，根据平行线性质，也是恒成立的，不能判定它是矩形，不符合题意； C、在平行四边形中，，∴．若，则可推出．根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可判定平行四边形是矩形，符合题意； D、在平行四边形中，本身就有对角相等的性质，即，这不能判定它是矩形，不符合题意． 故选：C． 14．如图，在矩形中，对角线与相交于点，点、分别是、的中点，若，则的长是（   ） A．24 B．20 C．18 D．12 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键． 根据三角形中位线定理求得，然后根据矩形的性质得． 【详解】解：点、分别是、的中点，， ， 四边形为矩形， ． 故选：A． 15．如图，把矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处．设重叠部分为，那么下列说法错误的是（   ） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定相等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【分析】利用矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形的定义，逐一分析每个选项的正确性，从而找出错误的说法． 【详解】解：A、∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠的性质可知， ∴． ∴． ∴是等腰三角形，不符合题意． B、折叠后，和 不一定相等． 只有当时，和才相等，一般情况下不成立，符合题意． C、折叠后得到的图形关于对角线所在的直线对称，因此是轴对称图形，不符合题意． D、∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∵ ∴，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定以及轴对称图形，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，并结合矩形的性质进行推理判断． 16．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A．60 B．78 C．120 D．240 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质．根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得，利用勾股定理求得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是边的中点，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 故选：C． 17．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（    ） A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形与矩形的判定，掌握矩形的判定需先证平行四边形，再结合对角线相等或有一个角是直角是解题的关键． 对每个选项，先判断能否证明四边形为平行四边形，再看能否进一步判定为矩形，从而找出不能判定的组合． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． B、∵，，， ∴， ∴， ， ， ， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形，不符合题意． C、， ∴四边形是平行四边形， 平行四边形的对边相等，可得到， 即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意． D、∵，， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是矩形，符合题意． 故选：C． 二、填空题 18．如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 19．如图，在中，，D是边的中点，若，则的长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，D是边的中点，， ∴， 故答案为：． 20．如图，在菱形中，对角线与相交于点，已知，则菱形的面积为 ． 【答案】120 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题关键． 利用勾股定理求出，可得的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 故答案为：120 21．如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理和三角形的中位线的性质，先根据矩形的性质得，点O是的中点，，，再由勾股定理求出，然后由点O是的中点得出是的中位线，所以． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，点O是的中点，，，， ∴， ∵，， ∴是中点， ∵， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：4． 22．如图，已知中，，作边上的中线和高线，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线的性质，以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半等知识内容，熟知勾股定理和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答此题的关键．根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可求出的值，利用三角形中线的性质求出，根据三角形的面积公式求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 23．在矩形中，，，将沿矩形对角线折叠到，直线与交于点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 根据折叠可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且，， ∴， ∴， 在中，由等积法得：， ∴， 故答案为：． 25．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为 时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 26．如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图形中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 27．如图，在矩形中，对角线、交于点O，点E为边的中点，连接，若，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理；先由勾股定理求出，再由矩形的性质得出、，再由中位线性质求出，即可求出的周长． 【详解】解：∵在矩形中，，，，为、的中点，点E为边的中点， ∴，，为的中位线， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：12． 三、解答题 28．如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：当满足时，四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 29．如图，正方形的边长为2，点分别在边上，连接，已知． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，得，，然后证明，所以，再通过线段的和与差即可求证； （）由四边形是正方形，得，，通过勾股定理，所以，则有，最后再由勾股定理得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 30．如图，在中，是边上的高线，． (1)若，，求的长． (2)若是边上的中线，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质． （1）根据已知条件分别求得，进而根据勾股定理求得，即可； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，根据已知可得，即可得出，进而根据等腰三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是边上的高线， ∴ 在中， （2）证明：∵是边上的高线， ∴ ∵是边上的中线， ∴ 又∵． ∴ ∵， ∴ 31．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性． （1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形． （2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形． （3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形． 【答案】平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键． 连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， 理由，连接， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，，，， ，， 四边形为平行四边形， 故答案为：平行四边形； （1）， 理由，如图①四边形的对角线， 四边形为平行四边形，且，， ， 平行四边形为菱形， 故答案为：； （2）， 理由，如图②四边形的对角线互相垂直， 分别是四边形各边中点， 线段分别为的中位线， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 故答案为：； （3）且， 理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直， 根据，由（2）可知， 根据，由（1）可知平行四边形为菱形， 四边形为正方形， 故答案为：且． 32．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质，结合，四边形是平行四边形，结合，即可证明平行四边形是矩形． （2）由（1）可知，结合，可得四边形是平行四边形，，再根据矩形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形是矩形， ． 33．如图，四边形的对角线与相交于点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长是3 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）先判定四边形是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得出, ，再由两边及夹角对应相等的两个三角形全等得出结论； （2）由可得平行四边形是矩形．由此得出，进而得出，由此求出三角形周长. 【详解】（1）证明：在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． ∴, ． 又∵， ∴． （2）解：∵，四边形是平行四边形． ∴平行四边形是矩形． ∴．即． ∴， 即的周长是3． 34．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 35．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． （1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可求解； （2）由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，即可证明． 【详解】（1）解：如图，      ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； （2）证明：∵点E位于线段中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 36．已知点E在正方形的边上，点A关于的对称点在正方形内． (1)如图1，连接，则与的位置关系是__________；若的延长线经过点D，，则的长为__________． (2)如图2，F是的延长线与的交点，连接． ①求证：． ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，求证：是等腰直角三角形． 【答案】(1)， (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质即可得出，，，证明，得出，结合正方形的性质可判断是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解； ②设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点A、点关于对称， ∴，，， ∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：①由题意知，， ∴，． ∴ ； ②设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $