21.2 平行四边形 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第21章 四边形 21.2 平行四边形 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） A．14 B．16 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，，，再结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分交边于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 2．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出，，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算． 利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 4．在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 5．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的性质，等角对等边，逐项分析求解即可． 【详解】解：∵在平行四边形中，的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 在平行四边形中，无法判断出． 故选D． 6．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定与性质，结合平行四边形性质推导线段关系是解题的关键． 结合平行与垂直的已知条件，通过判定平行四边形、利用平行线间距离相等的性质，逐一分析每个选项的推导逻辑，判断结论是否一定成立，从而找出不一定成立的选项． 【详解】解：A、由题意可证得四边形是平行四边形，所以，故A选项成立，不符合题意． B、由两条平行线间的平行线段相等可知，故B选项成立，不符合题意． C、，， ； ， ∴四边形是平行四边形， ，故C选项成立，不符合题意． D、与的大小关系不确定，故D选项不一定成立，符合题意． 故选：D． 7．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 8．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查中位线的性质．根据三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：A． 9．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边，平行四边形对边平行是解题的关键． 利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合为中点，判定为中位线，通过平行线的性质得到与相等，进而求出角度． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ∴是的中点 ∵是边的中点 ∴是的中位线 ∵是的中位线 ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ 且 ∴ ， ， ∵ ∴ 故选：B． 10．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论． 【详解】解：如图，四边形是平行四边形， ，，，，， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 11．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 12．在中，若，周长为14，则的长为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【分析】利用平行四边形的对边相等性质，将周长表示为两邻边之和的两倍，再代入已知值求解． 本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，，且，周长为14， ∴周长， 代入，得， ， ， ． 故选：A． 13．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 14．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 15．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 16．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理，牢记三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）是解题的关键． 根据三角形的中位线定理可知，第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半，可得到第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：，同理可得到第个三角形的周长的表达式． 【详解】解：根据题意得：第个三角形的各边长度分别为与第个三角形平行的边的长度的一半， ∴第个三角形的周长与第个三角形的周长的关系为：． 同理可得，，，，． ∴第个三角形的周长． 故选：B． 17．如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D．的面积是12 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用勾股定理得出的长是解题关键． 利用平行四边形的性质结合勾股定理和平行四边形的面积求法分别分析得出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴故选项A正确，不符合题意； ∵， ， ，， ∴，故选项C正确，不符合题意， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ，故选项B错误，符合题意； 的面积是：， ∴的面积是，故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 18．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 【答案】B 【分析】延长，，相交于点F，证明，得出，，然后利用三角形中位线定理求解即可．本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，延长，，相交于点F是解题的关键． 【详解】解：延长，，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵D是的中点，， ∴． 故选：B． 二、填空题 19．如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 利用中位线的性质计算即可． 【详解】解：∵D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：10． 20．在中，，则的度数为 ． 【答案】/115度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补． 根据平行四边形的性质可知，再有，可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， 两式相加可得， ∴． 故答案为：． 21．如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质证明三角形全等推导出对应边相等关系． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， 在和中， ∴ ∴ 故答案为：4 ． 22．如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是 ． 【答案】26 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 23．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 24．如图，在中，是边上的高，将折叠，使点与点重合，折痕交、于点、，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形中位线的性质与判定，勾股定理求得，根据折叠的性质进而得出是的中位线，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据折叠可得： ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴， ， ∴， ∴ ∴ ∴ 25．如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含度角的直角三角形，平行线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 通过平行四边形的性质，结合角平分线的定义可得到，由等角对等边得到，最后根据在直角三角形中，度角所对的直角边等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， ，． 平分， ， ， ， ． ， ． 又， ，， ． 故答案为：． 26．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 27．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 28．如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 由平行四边形的性质得出，，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ． 的周长． 故答案为：20． 29．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，邻角互补． 利用已知可先求出，根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角相等来求的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的一个外角为， ∴， ∴． 故答案为：． 30．如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为 ． 【答案】/52度 【分析】本题主要考查三角形的中位线及平行四边形的性质与判定，熟练掌握三角形的中位线及平行四边形的性质与判定是解题的关键；由三角形中位线可知，则有四边形是平行四边形，然后问题可求解． 【详解】解：∵、、分别是的、、边中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 故答案为． 31．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 32．如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 【答案】/37度 【分析】本题考查平行四边形的性质与垂直平分线性质，解题关键是利用垂直平分线得，结合平行四边形内角的关系求角度，易错点是垂直平分线的性质应用不当． 由平行四边形得，由垂直平分线的性质得到，，再结合平行四边形的性质和角的和差即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵垂直平分对角线， ∴，， ∴； 在中，， 又∵在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 【答案】62° 【分析】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 34．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，则可证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 35．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 36．如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，角平分线的定义、等角对等边，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明“，”即可证得四边形是平行四边形； （2）证明，得出，从而得出，再求出，最后结合平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． ∴， ∴平行四边形的周长是16． 37．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)的度数为 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和平行线的性质等知识点． （1）根据平行四边形的性质得出，，根据平行线的性质得出，求出，根据得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出，再根据平行四边形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 38．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论； （2）由平行四边形的性质结合平行线的性质得到，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明；∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 39．已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)9 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线，与三角形的中位线有关的计算： （1）延长交于，证明，再证明，可得，结合点是中点，可得是的中位线，从而可得结论； （2）根据中位线的性质与全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， 又点是中点， 是的中位线， ； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 40．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，，，从而得到，，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）过点作，交于点．由含的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合三角形的中位线即可求得结果． 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，． ，分别是，的中点， ，， ，， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作，交于点． 在中，由，，得， ． 在中，由，，得， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键． 41．如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （ 1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （ 2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 42．【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【应用】 如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________． 【探究】 如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长． 【拓展】 如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数． 【答案】6； 6；或 【分析】此题重点考查三角形的中位线定理的应用、垂线段最短、等腰三角形的判定与性质． 应用：由点、分别是边、的中点，得，于是得到问题的答案； 探究：由，得，因为，，所以，则； 拓展：作交的延长线于点，则，由“垂线段最短”证明当时，，此时，再分两种情况讨论，一是点在直线的下方，设交于点，则，，得，，则；二是点在直线的上方，延长交于点，则，，所以． 【详解】解：应用：∵，点、分别是边、的中点， ∴是中位线， ∴， 线段的长为6， 故答案为：6； 探究：， ， 点为线段的中点，点为线段的中点， ∴是中位线， ， ， ， ， 的长是6； 拓展：如图②，作交的延长线于点， ，且， 当时，， 当的面积最大时，， 分以下两种情况讨论： 如图③，点在直线的下方，设交于点， 、、分别为、、的中点， ∴，， ，， ； 如图④，点在直线的上方，延长交于点， 、、分别为、、的中点， ∴，， ，， ， 综上所述，的度数为或． 43．【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由三角形中位线定理得出，，结合题意求出，即可得证； （2）证明，得出，由，，得出，证明四边形是平行四边形，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵点是边的中点，点是边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第21章 四边形 21.2 平行四边形 知识点专项训练 一、单选题 1．如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（   ） 第1题图 第2题图 第3题图 A．14 B．16 C．28 D．32 2．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于，若，，则的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．在中，下列结论正确的是（    ） 第4题图 第5题图 第6题图 A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，连接．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线，，，，E，G为垂足．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 8．如图，在中，，，，E，F分别是和的中点，则（   ） 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 A． B． C． D． 9．如图，在中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若，则的度数为（   ） A．60° B．50° C．40° D．25° 10．在中，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．在中，若，周长为14，则的长为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 13．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） 第13题图 第14题图 第16题图 A． B． C． D． 14．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 15．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 16．如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边中点构成第3个三角形，依此类推，则第2025个三角形的周长是（   ） A．2024 B． C．2025 D． 17．如图，在中，，，于点．下列结论中，错误的是（   ） 第17题图 第18题图 A． B． C． D．的面积是12 18．如图，在中，平分，D是的中点，，，，则的长度为（   ） A．1 B．1.5 C．3 D．5 二、填空题 19．如图，在中，D，E分别是的中点．若，则的长为 ． 第19题图 第21题图 第22题图 第23题图 20．在中，，则的度数为 ． 21．如图，的对角线相交于点，过点的直线分别交，于点，，．的长度是 ． 22．如图，在等腰中，，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是 ． 23．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则 s时，四边形是平行四边形． 24．如图，在中，是边上的高，将折叠，使点与点重合，折痕交、于点、，若，则 ． 第24题图 第25题图 第26题图 25．如图，在中，点在边上，且于点，平分．若，，则的长为 ． 26．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是 ．（填序号） 27．如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 第27题图 第28题图 第29题图 28．如图，平行四边形的对角线交于点，且，若它的对角线的和是32，则的周长为 ． 29．如图，平行四边形的一个外角为，则的度数为 ． 30．如图，、、分别是的、、边的中点，，则的度数为 ． 第30题图 第31题图 第32题图 第33题图 31．如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 32．如图，中垂直平分对角线，若，，则 ． 33．如图，在中，若，于点，于点，与交于点，则 ． 三、解答题 34．如图，在中，点，在对角线上，连接，，，，．求证： (1)求证：． (2)求证：四边形是平行四边形． 35．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 36．如图，在中，E，F分别是，边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，求的周长． 37．如图，四边形是平行四边形，E为延长线上一点，，连接交于点F，连接、、． (1)若，求的度数； (2)已知，求证：四边形是平行四边形． 38．如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 39．已知：如图，在中，平分，，垂足为，点是的中点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 40．如图，是内一点，连接，，并将，，，的中点，，，依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 41．如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 42．【定理】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【应用】 如图①，在中，点P、Q分别是边、的中点，连结，若，则线段的长为________． 【探究】 如图②，在应用的条件下，点为平面上的一点（与不平行），点M为线段的中点，连结、，当时，求的长． 【拓展】 如图②，在探究的条件下，若，当的面积最大时，直接写出的度数． 43．【问题背景】 如图，在中，，垂足为点，点是边的中点，点是边的中点，连接并延长到点，，连接． 【初步探究】 （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； 【拓展延伸】 （2）如图2，连接，若、，在不添加任何辅助线的情况下，探究之间有怎样的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $