20.1 勾股定理及其应用 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第20章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 知识点专项训练 一、单选题 1．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 2．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（   ） A．5 B．7 C． D．25 3．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 5．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 6．如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离的长为（   ） A．米 B．300米 C．200米 D．100米 8．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．5 C． D． 10．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 11．如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 12．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 13．一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 14．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若分别是上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 15．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 16．勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 18．如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 20．等边三角形的边长为5，那么它的面积是 ． 21．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 22．如图，在中，，，，则的长为 ． 23．如图，，，，，，则的长为 ． 24．如图，有一圆柱，其高为，底面半径为，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ．（π取3） 25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是 米． 26．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为 ． 27．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是 m． 28．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 29．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 30．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C．这只蚂蚁爬行的最短路程为 （用含根号的式子表示）． 三、解答题 31．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 32．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 33．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 34．已知，如图，在四边形中，，过点A作于点E，． (1)求证：； (2)若点D恰好在线段的垂直平分线上，，，求线段的长． 35．如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米， (1)求 (2)梯子的底部向外滑出多少米（其中梯子从位置滑到位置） 36．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 37．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，请你帮助兴趣小组完成以下《风筝离地面垂直高度探究》的报告． 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图①所示的示意图，测得水平距离的长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．                 问题提出与解决 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）如图②所示，某一时刻，风筝恰好在延长线上的点处，若此时米，则他又放出了多少米的线？            38．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第20章 勾股定理 20.1 勾股定理及其应用 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．勾股数又名毕氏三元数，下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B． C．3，4，5 D．3，6，8 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，勾股数是指三个正整数，且满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，不是勾股数，不符合题意； 故选C． 2．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则斜边长为（   ） A．5 B．7 C． D．25 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用.根据勾股定理计算即可. 【详解】解：∵ 直角三角形的两条直角边长分别为3和4， ∴ 根据勾股定理，斜边长 . ∴ 斜边长为5， 故选：A. 3．点C在第二象限，距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度，则点C的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点的坐标，勾股定理．先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：∵点C在第二象限， ∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵点距离y轴3个单位长度，距离原点个单位长度， ∴点距离x轴个单位长度， ∴点的坐标为． 故选：B． 4．如图，在中，，直线为的垂直平分线，交于点D，连接，已知，，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的性质，正确利用勾股定理是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，令，则，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：直线为的垂直平分线， ， 令，则， 在中，， ， 解得，， ． 故选：C． 5．如图，在数轴上点M表示的实数是（   ） A．2.2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想．根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点M的位置可得答案． 【详解】解：如图，由勾股定理可得 ∴， ∴在数轴上点M表示的实数是． 故选：C． 6．如图，是等腰三角形的底边上的中线，于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，由是等腰三角形的底边上的中线，，所以，，，利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，再利用勾股定理即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边上的中线，， ∴，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故选：． 7．如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离的长为（   ） A．米 B．300米 C．200米 D．100米 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理． 由题意得，，从而可得米，然后通过含度角的直角三角形的性质得米，再由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴点到直线距离为米． 故选：A． 8．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，秋千踏板离地面的垂直高度，将踏板往前推送，使秋千绳索到达点B的位置，测得推送的水平距离为，即此时秋千踏板离地面的垂直高度．那么，绳索的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，可设秋千的绳索长为，根据题意可知，利用勾股定理可得，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴ 在中，，， 设秋千的绳索长为，则， 故， 解得：． 所以，绳索的长度为， 故选：C． 9．如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，可以得到之间的关系，然后根据，可以得到的值，从而可以得到的值，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 10．我国古代数学著作《九章算术》中记载“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？（一丈尺，本指竹子根部）．其大意是，一根竹子高尺，从某处折断后，竹子顶端落在离根部尺处，那么折断处离地面的高度是（    ）       A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则竹子折断处离竹子顶端为尺， 由勾股定理得： ， 解得 ， 即折断处离地面的高度是尺． 故选：D． 11．如图，在四边形中，，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角求，是解题的关键． 延长，相交于点，构建直角，通过角所对的直角边是斜边的一半求得，通过勾股定理求出线段的长，根据线段和差关系求得，根据结合勾股定理、角所对的直角边是斜边的一半可求出，，由此即可求出． 【详解】解：如图，延长，相交于点． 在中，． ， ， ， ，． 在中，， ，且， 解得，， ． 故选：B． 12．下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 13．一个零件的形状如图所示，其中，工人师傅量得三边的尺寸分别为，，，则边的长为（   ） A． B． C． D．15cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，先利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：在中，， 在中，， 故选：B． 14．如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若分别是上的动点，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的最值问题，掌握角平分线的性质、三角形的面积公式是解题的关键． 过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于 平分，于点E，于 当点与重合，点与重合时，有最小值 的面积为6， 即的最小值为3 故选B． 15．如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 16．勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点坐标为，点坐标为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“赵爽弦图”的性质，平面直角坐标系的坐标与线段长度转化，掌握“赵爽弦图”的组成图形是解题关键． 根据“赵爽弦图”的全等性质，由点、的坐标算出线段、、的长度，再结合线段间的对应关系推导出点的坐标． 【详解】解：如图所示， 根据“赵爽弦图”，可知大正方形由个全等的直角三角形和个小正方形组成， 点坐标为，点坐标为， ，，， ，， ∴， ， 故点的坐标为． 故选：． 17．“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合， 故选：D． 18．如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2025次后，点B的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标系下点的规律探究，通过图形正确的抽象概括出数字规律是解题的关键．根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为，进而可得滚动2025次后，点B的横坐标． 【详解】解：根据三角形滚动规律得出每3次一循环，即每滚动3次，点的横坐标的值就增加1个的周长， ∴， ∵， ∴， ∴三角形三边长的和为：， 则滚动2025次后，点B的横坐标为：． 故选：D． 二、填空题 19．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为36，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】本题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用．根据勾股定理有，，，等量代换即可求六个小正方形的面积之和． 【详解】解：根据勾股定理知：，，， ∴． 故答案为：． 20．等边三角形的边长为5，那么它的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，构造辅助线是解题的关键．利用等边三角形的性质，作高后应用勾股定理求出高，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：过点A作，垂足为D. 是等边三角形，， . 在中，，， 根据勾股定理，. ． 故答案为：． 21．如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出、的长是解此题的关键． 如图，分别延长，交于点，通过直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到、，根据勾股定理求出，最后根据线段的和差关系求出线段的长． 【详解】解：如图，分别延长，交于点． 在中，，， ． 又， ． 在中，由勾股定理，得． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 22．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作交于，则，结合题意可得，为等腰直角三角形，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于， ， 则， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 23．如图，，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理，根据全等三角形对应边相等，可得，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长． 【详解】解：， ，， 在中，， ． 故答案为：． 24．如图，有一圆柱，其高为，底面半径为，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为 ．（π取3） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的平面展开图，圆的周长公式及勾股定理．先将圆柱展开为平面长方形，确定长方形的长和宽，再利用勾股定理求出蚂蚁经过的最短路程． 【详解】解：由题意知，圆柱展开图形如图所示： ∴圆柱展开图为长方形， 则A，B所在的长方形的宽为圆柱的高，长为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长， 由勾股定理得，， ∴蚂蚁经过的最短路程为． 故答案为：． 25．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是 米． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，根据勾股定理分别求出米，米，然后根据，计算，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，为直角边， ∴米， 已知米，则（米）， 在直角中，为直角边， ∴米， ∴（米）． 故答案为：8． 26．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶与树根的距离为，则这棵树断裂处点离地面的高度的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，设，则，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意设，则， 在中，，即， 解得； 故答案为：． 27．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是 m． 【答案】1200 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理在直角三角形中的应用是解题的关键． 设航行时间为秒，用表示与的长度，在中用勾股定理列方程求，再计算乙航行的距离． 【详解】解：∵甲、乙两客轮同时从港口出发，航行时间相同，设为秒 ∴甲客轮航行的距离米，乙客轮航行的距离米 ∵，且两地的直线距离米 ∴在中，根据勾股定理，有 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴秒。 ∴乙客轮航行的距离是 故答案为： 1200． 28．在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是 米． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 29．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？ （填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 30．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是上底面的直径。一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C．这只蚂蚁爬行的最短路程为 （用含根号的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是会掌握圆柱的侧面展开图，并利用勾股定理解答．先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为： 底面圆周长为， ， 又， 在中，， 蚂蚁爬行的最短路程为， 故答案为：． 三、解答题 31．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 32．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过E作于点G， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得（米）， 米， 米米， 答：小明需要后退约米． 33．如图，在等腰中，，点在线段上，点在的延长线上，连结，，并延长交于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的定义、勾股定理，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）证明，得到，再利用三角形内角和定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵在等腰中，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 34．已知，如图，在四边形中，，过点A作于点E，． (1)求证：； (2)若点D恰好在线段的垂直平分线上，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识． （1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据垂直平分线上得，由勾股定理得到，则，解方程即可求出线段的长． 【详解】（1） 证明：∵，过点A作于点E， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 解：∵，，， ∴，， 设，则， ∵点D恰好在线段的垂直平分线上， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 即， 解得， 即线段的长为． 35．如图，一架米长的梯子靠在一座建筑物上，梯子的底部离建筑物米，如果梯子的顶部滑下米， (1)求 (2)梯子的底部向外滑出多少米（其中梯子从位置滑到位置） 【答案】(1) (2)梯子的底部向外滑出米 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，找出题目中隐含的直角三角形是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理，求梯子原先顶部的高度， （2）求出梯子下滑后顶部的高度，利用勾股定理求出下滑后梯子底部到建筑物的距离即可解答本题． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理， ， （2）解：现在梯子的顶部滑下米，即（米）， 在中，（米）， （米）， 梯子的底部向外滑出的距离为（米）， 答：梯子的底部向外滑出米 36．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 37．数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，请你帮助兴趣小组完成以下《风筝离地面垂直高度探究》的报告． 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据 抽象模型 某数学兴趣小组成员测量了相关数据，并画出了如图①所示的示意图，测得水平距离的长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．                 问题提出与解决 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）如图②所示，某一时刻，风筝恰好在延长线上的点处，若此时米，则他又放出了多少米的线？            【答案】（1）风筝离地面的垂直高度为米；（2）放出的线长度为米 【分析】本题考查了用勾股定理解决实际问题，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）利用勾股定理求出的长，再加上手到地面的距离，即可求出风筝离地面的垂直高度； （2）根据勾股定理得到，进而即可计算出放出的线的长度． 【详解】解：（1）根据勾股定理得：中，，， 风筝离地面的垂直高度为（米）； （2） ， ， 根据勾股定理得：中，，，， ， 放出的线长度为（米）． 38．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【答案】(1)3 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得、是解题的关键． （1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边三角形的面积，结合勾股定理得出的，判断正误即可； （2）根据（1）的过程即可证明等边三角形、、之间的数量关系； （3）根据题意设出，，，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出来得到一个一元二次方程，再根据推断出m与a之间的关系，得到进而将看为一个整体进行求解即可． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $