19.3 二次根式的加法与减法 知识点专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第19章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 知识点专项训练 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A． B．4 C．3 D． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 5．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 7．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 8．已知，则代数式的值为（　　） A． B．2 C．-1 D．1 9．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 10．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 二、填空题 11．请写一个二次根式 ，使它与是同类二次根式． 12．计算： ． 13．计算： ． 14．分母有理化： ． 15．已知，则 ． 16．比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 17．如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是 ． 18．化简： ． 三、解答题 19．计算下列各题： (1)； (2)． 20．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 21．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 22．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两个小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版2025-2026学年下学期八年级数学 第19章 二次根式 19.3 二次根式的加法与减法 知识点专项训练答案解析 一、单选题 1．计算的结果为（   ） A． B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解决本题的关键是掌握二次根式的相关运算法则；根据二次根式的运算法则计算出结果，再根据计算结果判断是否正确． 【详解】A选项： = ，故A选项错误； B选项： ，故B选项正确； C选项：，故C选项错误； D选项：，故D选项错误． 故选：B． 3．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 根据二次根式的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； B、，选项计算正确，符合题意． C、，选项计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：B． 4．计算：（ ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，该表达式符合平方差公式的形式，直接应用公式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 6．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 7．若最简二次根式与能合并，则的值可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，两个最简二次根式能合并的条件是被开方数相同，因此需使，求解的值，熟练掌握最简二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得， 故选：C． 8．已知，则代数式的值为（　　） A． B．2 C．-1 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的运算，熟练掌握完全平方公式，二次根式的运算法则是解题的关键． 先把化成，再把代入计算即可． 【详解】∵ ∴ ． 故选：B． 9．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足关系式．已知导线的电阻为，时间导线产生100J的热量，则电流等于（   ） A．5A B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 根据焦耳定律公式求解电流，需将已知量代入公式，通过代数运算求出电流的值． 【详解】解：已知焦耳定律公式，其中，，，将这些值代入公式求解电流： ． 故选：C． 10．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 二、填空题 11．请写一个二次根式 ，使它与是同类二次根式． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则它们是同类二次根式，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，是最简二次根式，被开方数为2， 因此只需写出一个被开方数为2的最简二次根式，例如； 故答案为：（答案不唯一） 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．利用完全平方公式展开即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 14．分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，熟记分母有理化的方法步骤是解决问题的关键． 通过分母有理化，将分子和分母同时乘以，利用平方差公式化简即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 15．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值是解答本题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入求的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，得 且， ． 当时，， ． 故答案为：． 16．比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小．通过平方将无理数比较转化为有理数比较，根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵，，又， ∴． 故答案为：． 17．如果一个长方形的面积是，它的长是，则它的宽是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，因此宽等于面积除以长． 【详解】解：宽， 故答案为：． 18．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题 19．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． (1)求的值； (2)用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】(1) (2)不能围成这两个正方形 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 21．阅读下面问题：， ， ， 【问题探究】 （1）根据以上信息，化简：______________________________． 【应用结论】 （2）利用以上规律，计算： 【拓展应用】 （3）如果有理数a，b满足，试求： 的值． 【答案】（1）；（2）2025；（3） 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据所给等式解答即可； （2）根据规律，化简计算即可． （3）根据，得，再求出，然后化简计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：； （2） ． （3）∵， ∴且， 解得， 故， 解得． ∴原式． ∵ ∴原式 ． 22．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两个小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $