1.1锐角三角函数 同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年下册

1.1 锐角三角函数 一、单选题 1．某人沿着坡度为的山坡前进了，则这个人所在的位置升高了（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．6 B．8 C．10 D．12 4．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在中，．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，则的长度为（    ） A．5 B． C．4 D．3 7．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，的顶点是正方形网格的格点（网格线的交点），则的值为 ． 10．如图，在菱形ABCD中，，垂足是点E，，，则菱形ABCD的周长是 ，面积是 . 11．如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 12．如图，在中，，，，则 ． 13．如图，在中，，于点D，，，那么 ． 三、解答题 14．如图，矩形中，，，求的长． 15．如图，在中，、、三边的长分别为、、，则，，．我们不难发现：，试探求、、之间存在的一般关系，并说明理由．    16．如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值． 17．如图，在中，，于D，若，．求、的长． 18．如图，在中，，，．    (1)求的长； (2)求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.1 锐角三角函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C B D C D 1．B 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度比可求出坡角，然后利用坡角的正弦值垂直高度坡面距离进行解答． 【详解】解：如图，． ∵坡度为， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】，，， ． 故选：D． 3．B 【分析】先根据正弦函数得出，求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦函数，掌握三角函数的定义是解题的关键． 4．C 【分析】利用余弦的定义即可判断A、B，根据同角的余角相等可得，再根据余弦的定义即可判断C、D，即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，故A正确，不符合题意； ， 在中，，故B正确，不符合题意； ，， ， 在中，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了余弦的定义、同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 5．B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，熟记余弦的定义是解题的关键；先由勾股定理求出的长，再由求解即可． 【详解】解：在中，．，， 则， ， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据余弦的定义可求出的长，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：，， ，即， ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 8．D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 直接根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，可得， 故选：D． 9． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决本题的关键．构造直角三角形，根据正切的定义计算得结论． 【详解】解：如图， 在中， ∵，， ∴， 故答案为：． 10． 40 60 【分析】在Rt△ADE中，根据，可算出AD的长，即可得到菱形周长；再利用底×高即可得到面积 【详解】解：∵Rt△ADE中，， ∴AD=10 ∵ABCD为菱形 ∴周长为40 ∵AB=AD=10 ∴面积=10×6=60 故答案为(1). 40    (2). 60 【点睛】本题考查利用三角函数解直角三角形以及菱形的性质，比较简单 11． 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了余弦函数的定义，熟练掌握余弦函数的定义是解题的关键．根据余弦函数的应以即可解答．在直角三角形中，余弦为邻边比斜边． 【详解】解：在中， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题时要能紧扣问题，借助直角三角形去求解是关键．先得，由，从而求出，最后由进行计算可以得解． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．；，理由见解析 【分析】利用勾股定理可得，用，，表示正弦，余弦的平方和，即可得出；根据题意得出，即可得出． 【详解】存在的一般关系有：，， 证明：，， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理的知识，熟练应用锐角三角函数关系是解答本题的关键． 16．∴sin A＝，cos A＝，tan A=. 【详解】试题分析：根据勾股定理求得AC的长，再由锐角三角函数的定义即可得∠A的三角函数值． 试题解析： 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1， ∴ , ∴sin A＝，cos A＝，tan A=. 17．； 【分析】根据，得出，根据，求出，即可得出，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得： ． 【点睛】本题主要考查了根据三角函数值求边长，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义和勾股定理． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦等于邻边除以斜边代入求出，再结合勾股定理即可得到答案； （2）根据正弦等于对边除以斜边代入求解解即可得到答案； 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∴ （2）解：∵在中，，，， ∴； 【点睛】本题考查正弦，余弦，解题的关键是熟练掌握：余弦等于邻边除以斜边，正弦等于对边除以斜边． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $