九年级下册 第1章 第2课时锐角三角函数(2)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

数学·九年级·全册（北师大版） 第2课时 锐角三角函数(2) 新课拿 1.正弦，余弦的定义 正弦：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的 与 的 B 比便随之确定，这个 叫做∠A的正弦，记作sinA,即sinA 斜边 ∠A的对边 = ∠A的邻边 C 余弦：在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的 与 的 比便随之确定，这个叫做∠A的余弦，记作cosA,即cosA= 锐角A的 和 都是∠A的三角函数. 2.梯子倾斜程度与sinA,cosA的关系：如图，sinA的值越 ,梯子越陡；cosA的值 越 ,梯子越陡.（注意：图中AB与A'B为梯子的长度） 当锐角A变化时，相应的正弦、余弦、正切值也随之变化， 知识点①三角函数的定义 变式1(1)如图1，方格纸中小正方形的边长都 例T如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则： 为1，点A,B,C都在格点上，那么sinA的值为 ( sin A= ;sin B= 4. B.⑤ c.25 5 cos A= ;cos B= 13 12 tan A= tan B= 观察发现：当∠A十∠B=90°时， B 5 B sinA=cosB,sinB=cosA, 图1 图2 1 tanA= (或 (2)在正方形网格中，点A,B,C的位置如图2所 tanB 示，则cosB的值为 知识点②利用三角函数值求三角形边长 变式2如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，cosA= 例2如图，在△ABC中，AB=10,BC=4,sinB= ,若AB=10,求BC的长. 号求AC的长。 ●>100 第一章直角三角形的边角关系 课堂检 圆基础过关 1,在R△ABC中，∠C=90,snA=是，则下列2.如图，∠a的顶点位于正方形网格的格点上，若 说法正确的是 W10 sina= ,则满足条件的∠α是 ( A.斜边等于5 10 BosA=经 CanB-号 B C D D. 若△ABC△AB'C,则tanA=是 3.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙 4.如图，P是射线OA上一点，且P点的坐标为 的距离AC=3米，cos∠BAC=子，则梯子长 (3,4),则sina= cosa- tana AB= 米 能力检测 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB6.如图，在△ABC中，AB=AC=15,tanA= 4 3· 于点D,a∠DCB=是AC=12,求BC的长. 求：(1)△ABC的面积； (2)∠B的余弦值. ●>101参考苔案 9当236时，婴>≥86，解得≤5， (下)第一章直角三角形的边角关系 (2 如答图2，正方形AECF即为 ÷号<x<25时，注意力指标都不低于 第1课时锐角三角函数(1) 所求 36,而25-号-号>17. 【新课学习] 1.对边邻边 比 ∴.张老师能经过适当的安排，使学生在 【例1】解：由勾股定理得 听这道综合题的讲解时，注意力指标都 AC=√/AB2-BC=√52-32=4. 不低于36. 图 第5课时《反比例函数》 iaA-瓷-是mB能-青 热门考点整合应用 【变式1】解：：∠C=90°，BC=12, 第2课时 锐角三角函数(2)》 【知识体系】 tan A- 【新课学习】 ①y-色（≠0）②双曲线 ③x≠0 AC=音BC=音×12=16， 1.对边斜边 比 ∠A的对边 斜边 邻边 ④y≠0⑤一、三⑥减小⑦二、四 :∠C=90°，AB=AC+BC, 斜边 比 ∠A的斜边 斜边 正切正弦 ⑧增大⑨轴对称⑩中心对称 .AB=√162+122=20. 【基础巩固 【例2】解：如答图，过点B作BG⊥AD于 余弦 点G,过点C作CH⊥AD于点H, 2.大小 1.B2.B3.C 4.1805.-66.-27.4√3 BC 【例山是 1212 5512 13 1313125 8.解：(1)设反比例函数的关系式为 L tanA·tanB=l y一空根据图象信息，点A的坐标为 GH D 图 【变式1C(2号 (一3,2).反比例函数图象经过点A, 由题意，得BC=GH=6m,BG=CH 【例2】解：如答图，过点A作AH⊥BC,交 ∴.k=-6. =8m,ihe=1:3,im=1:2.5. BC的延长线于点H,则 A ·反比例函数表达式为y=一￡ ∠AHB=90° (2)根据(1)可知，直线OA的表达式为 即=日D品 18 3 y=- 3x.由图象可知，直线OA向上 ∴.AG=24m,DH=20m AB=10, H 平移三个单位长度得到直线BC, ∴.AB=√BG+AG=8√1om, .AH=6. 答图 在Rt△AHB中，由勾股定理得 ·直线BC的表达式为y= 3x+3. AD=AG+GH+DH=50 m, .斜坡AB的长度是8√I0m,坝底AD BH=√AB-AH=√102-6=8. y= 3x+3, 的长度是50m 又.BC=4, 联立方程组 【变式2】解：在Rt△ABC中， .HC=BH-BC=8-4=4, y 6 斜坡AB=12m,坡角为45°， .AC=√HC+Af=√4+6=2√13. 解得x一 3 2’或 x=6, .∠BAC=∠ABC=45°.∴.BC=AC. (舍去) 【变式2】解：∠B=90,c0sA=5 y=4, y=-1 设BC=AC=xm, c(-4) 由勾股定理，得BC十AC=BA, 与.AB=10,5AC=14. 2x2=144,解得x=6√2， 9.解：(1)分别将点A(一2，m)、点 .BC=√/AC-AB2=√142-10 .BC=AC=62 m,.'AC:DC=1:1. B(m,-1)代入为=-8 =√96=4√6.BC的长为4√6. 5,.CD=1.5AC=92m, 得-2m=-8,-n=-8, ∴.DB=CD-BC=9√2-6√2=3√2(m), 【课堂检测 解得m=4,n=8. 答：DB的长为3√2m. .A点坐标为（一2,4），B点坐标为 1D2.B344告寻号 (8,-1).把A(一2,4)，B(8,-1)分别 江课堂检测 5.解：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, 代入为=x十b,得 1D2.号 3 ∠A+∠B=90°， 3.30° 4.20 一2k十6=4：解得 k=一2 1 ∠BCD+∠B=90, 8k+b=-1. 5.解：∠ACB=90°，O是AB的中点， .∠BCD=∠A, b=3. C0=6.5,∴.AB=2C0=13, :anA=an∠DCB=,心C-是， .BC_=3 ·直线的表达式为=一2x十3. .BC=5,∴.AC=√/132-52=12， (2)由图象可知，当h>时，x<-2 mB能-导 ..BC= AC=9×12=9. 4 或0<x<8. 6.解：(1)如答图，过点C 6.解：(1)如答图1，矩形ABCD即为所求 (3)易知C(0,3),把y=3时代人y2= 作CD⊥AB,垂足为 ,得x=8 8 D,在Rt△ACD中， D点坐标为(-号3)，CD-号 mA-品专， 设CD=4k, 5m=x号×4-3)=专 则AD=3k, 高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） ∴.AC=WAD+CD2= ∴.∠OAC=∠BOA=30°，∴.AB=BO: 【变式1】解：在Rt△ABC中， √(3)2+(4k)2=5k, 在Rt△BOC中，cos∠COB= CO 5 ,BC=√2，AC=√6， BO BO AC=15,.5k=15, BC=2=3 ∴.k=3,∴.AD=9,CD=12, -9AB=0 50√3 3 ∴tanA=AC=63' Sae=2AB:CD-2×15X12=90. ,该车从点A行驶到点B用时1.5s, ∠A=30°，.∠B=180°-90°-30°=60°， :505÷1,5=100y5(m/s, AB=2BC=2√2 (2)在Rt△BCD中，BD=AB-AD 3 9 【例2】解：∠A=60°， 15-9=6,CD=12, 则该车从点A行驶到点B的平均速度 .∠B=90°-∠A=30° ,∴.BC=√CD+BD=√12+6=6√5， :sinA=a,a=c·sinA=4V5·sin60°= ,∴.cosB BD 6 5 为1o05m/s. 9 BC 65 -5 (2)不超速.理由：由(1)知从点A行驶 43×5-6, 2 “∠B的余弦值为得。 到点B的平均速度为100E m/s,且√3 9 ∴.b=√/c2-a2=√(4√3)2-62=2√3】 【变式2】解：AD⊥BC, 第3课时30°，45°，60°角的三角函数值 ≈1.732，则29×1.732≈19.24(m/), ,.∠ADB=∠ADC=90°. 新课学习 1m/s=3.6km/h, .在Rt△ADB中，∠B=30°，AB=8, ..19.24×3.6=69.264(km/h)<70km/h, 1.9 1 .AD=4,BD=4√3.，在Rt△ADC中 2 2 2 23 1√3 ∴该车不超速、 tanC=AD_4 CD 3 AD=4, 2.增大减小 第4课时 三角函数的计算 【例1)解：原式=(3)‘+（分）°-1 4 ..CD- =3,.BC=BD+CD=4√3 【新课学习 tanC 【例1】A 【变式1】B +3 4+4-1=-2 【例2】(1)4731'21" (2)8°50'8" 汇课堂检测了 【空式1山解：原式=2×+×号 (3)3353'36 3 1.A2.2√3-√6 【变式2】A V1--5+9-(万-1)-得+ 3.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90, 6 江课堂检测 BC=8,tanB=7∴号=anB=8瓷， 1 1=3+6 1.(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9045 6 (4)1.0349(5)-0.7817 解得AC=4,∴.在Rt△ABC中， 【例2】(1)60°(2)60° (3)45 2.C3.①④4.B AB=√AC+BC=√4+8=4√5. 【变式2】C 5.解：(1)27.2 (2)设CD=x,则AD=BD=8-x, 【例3】解：根据题意可得：OB=OA=OD (2)如答图，过点E作EG⊥BC,G为垂 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得 =2.5m,∠B0C=30°， 足，连EB,:AF∥ AD=CD+AC,(8-)2=+16, :0C=cs30°·B0=5X2.5≈2.165(m, BC,.四边形 解得x=3,∴.CD=3,AD=5, 2 AEGD为矩形， ∴.AE=DG, 则o∠ADC-咒=是 ∴.AC=OA-OC=2.5-2.165≈0.34(m). 答：它摆至最高位置时与其摆至最低位置 EG=AD. 答图 4.解：(1).四边形ABCD是矩形， 时的高度之差约为0.34m. 在Rt△BGE中，∠EBG=45°， ∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB= 【变式3】解：，小丽与树之间的距离为6m, 36cm,∠BAC=58°， ∴.BG= EG an45=2.2=27.2(mD 1 .AD=6m,又∠CAD=30°， .BC=AB·tan58°≈36×1.6=57.6 ∴在Rt△CAD中，tan∠CAD=CP 在Rt△ABD中，∠ABD=65°， ≈58(cm),∴.BC长度约为58cm AD' .BD=AB·cos65°=30×cos65°≈ (2)在Rt△ABC中，AB=36cm, 即tan30°=cP-5,解得CD3.46(m. 12.68(m), 63 .AE=DG=BG-BD=27.2-12.68 ∠BAC=58AC=≈ :小丽身高是1.65m, ≈14.5(m),即AE至少是14.5m. 67.92(cm), .DE=AB=1.65(m), :点O是AC的中点， ∴.CE=CD+DE=3.46+1.65≈5.1(m). 第5课时 解直角三角形 0c-7ACe3,96(em, .这棵树大约有5.1m高 【新课学习 .当OP=OC时，旋转过程中显示屏与 〔课堂检测 1.未知2.∠A b c c b 支架平台EF刚好不发生磕碰， 1.(-21)2.等边 3.(1)0(2) 3.一条边第三个 .支架直杆OP的最小长度约为34cm. 4解：原式=()+()-（）×1 【例1】解：在Rt△ABC中， ,AC=3√2，AB=6, 第6课时 三角函数的应用(1) asA-A8-3-9 【新课学习 6 2 (1)30(2)70 5.解：(1).∠C0B=30°，∠COA=60°， .∠A=45°， 【例1】解：：∠DAB=30°，∠DBC=∠A .∠OAC=90°-∠COA=30°， .∠B=180°-90°-45°=45°. +∠ADB=60°，.∠A=∠ADB=30°， ∴.∠BOA=∠COA-∠COB=30°， ∴.BC=AC=3√2. .'BD=AB=50 m, 18