湖北荆州开发区文华初级中学2025年9月数学第二次阶段性练习九年级学情自测

2025年9月荆州开发区文华初级中学第二次双周练九年级数学卷 范围：二次函数、旋转 时间：120分钟 一．选择题 1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最左边图片按顺时针方向旋转后得到的图片是 （     ） A． B． C． D． 2．将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴为 （    ） A．直线x=2 B．直线x= - 2 C．直线x = 1 D．直线x = -1 4．如图，将线段AB绕点P按顺针方向旋转90°，得到线段A'B'，则点B′的坐标是 （　　 ） A．（﹣1，3） B．（3，﹣3） C．（4，0） D．（5，﹣1） 5．已知点，在函数（a＜0）图象上，则大小关系是 （       ） A． B． C． D． 6．如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为 （      ） A． B． C． D． 7．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：秒）的函数解析式是y＝60t﹣．则飞机着陆滑行的所用时间最长为（　 　）秒． A．10 B．20 C．30 D．10或30 8．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是 （　 　　） A．小球在空中经过的路程是40m B．小球运动的时间为6s C．小球抛出3s时，速度为0 D．当s时，小球的高度m 9．如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m，当水面宽度增加到6m时，水面下降（　　 ） A．1m B．1.5m C．2.5m D．2m 10．如图，抛物线(a≠0)交x轴于点A，B，交y轴于点C，点A的坐标为(-4，0)，抛物线的对称轴为直线x=-1，有以下结论：①该抛物线的最大值为a-b+c；②a+b+c＞0；③；④2a+b=0，其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 11．抛物线的开口向__ ___；对称轴_____ __；顶点坐标是_________． 12．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点___ _ ，逆时针方向旋转了__ __度. 13．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是________________.   14．抛物线的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1，当时，则x的取值范围是________． 15．某数学兴趣小组研究二次函数的图像时发现:无论如何变化，该图像总经过一个定点，这个定点的坐标是________. 16．已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________． 17．已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是____ __． 三．解答题 18．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 19．智慧组成员为了完成一项校园规划设计任务，解决过程中遇到的问题转化为：如图，在平面直角坐标系中，一个三角板△ABC的三个顶点分别是，，． (1)操作与实践：步骤一：将三角板以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；步骤二：平移三角板，点的对应点的坐标为，画出平移后对应的． （要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)应用与求解： ①智慧组成员将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标________． ②在轴上有一点，智慧组成员要求使得的值最小，请直接写出点的坐标________． 20．一个二次函数图象的顶点为，图象又过点，求二次函数的解析式． 21．如图，抛物线的顶点A在轴上，经过点A的直线交该抛物线于点C，交轴于点B，且点B是线段AC的中点， (1)求该抛物线的解析式； (2)求直线AC的解析式． 22．在等边三角形ABC中，点D在射线BC上（不与点B，C重合），把线段AD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE，连接CE． (1)当点D在BC边上时，如图1，ACE的度数是 ；BD与CE之间的数量关系 ． (2)当点D在BC边的延长线上时，如图2；（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请就图2情形进行证明：若不成立，请说明理由； (3)若AB=4，当DEC=30°，请直接写出线段BD的长． 23．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场后发现每天的销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数．当售价为22元/件时，每天销售量为780件；当售价为25元/件时，每天销售量为750件． (1)求y与x的函数关系式； (2)如果该工艺品售价最高不超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 24．如图，已知抛物线经过A（-1，0），C（0，2），对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)点G是直线BC上方抛物线上的动点，设G点的横坐标为m，试用含m的代数式表示△GBC的面积，并求出△GBC面积的最大值； (3)设R点是直线上一动点，M为抛物线上的点，是否存在点M，使以点B、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点M坐标，不存在说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向和旋转角是解题关键． 2．A 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线先向左平移2个单位得到解析式：， 再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次函数图象的平移，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 3．C 【分析】直接根据二次函数的顶点式可求得． 【详解】∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴直线为：， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的对称轴是直线x＝h是解决问题的关键． 4．B 【分析】分别作出A，B的对应点A′，B′即可． 【详解】解：如图，与图象可知，B′（3，-3）， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．C 【分析】根据函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在y轴的左侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解：，a＜0，抛物线的开口向下，对称轴是y轴， 在y轴的左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小， ∵点关于y轴的对称点是， 又∵-3＜-2＜-1， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 6．A 【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 2（x+y）＝10， ∴x+y＝5， ∴y＝5﹣x， ∵S＝xy ＝x（5﹣x） ∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x）， 由题意可知自变量的取值范围为， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 7．B 【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，根据函数的性质求函数取得最大值时t的值即可． 【详解】解：当y取得最大值时，飞机停下来， 则y＝60t﹣＝﹣+600， ∵﹣＜0， ∴当t＝20时，y有最大值600， ∴飞机着陆滑行600米才能停下来，此时所用时间最长， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 8．A 【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法求得函数解析式，再将t＝1.5s代入计算，即可作出判断． 【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m，则小球在空中经过的路程一定大于40m，故选项A错误； B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s，故选项B正确； C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0，故选项C正确； D、设函数解析式为，将（0，0）代入得： ， 解得， ∴函数解析式为， ∴当t＝1.5s时，， ∴选项D正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结合进行分析是解题的关键． 9．C 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键． 10．C 【分析】根据二次函数的图像和性质注意判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向下， ∴当x=-1，y有最大值，最大值y=a-b+c，故①正确； ∵点A的坐标为(-4，0)，对称轴为直线x=-1， ∴B(2，0)， ∴当x=1时，y=a+b+c＞0，故②正确； ∵ 抛物线与x轴有两个交点， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1， ∴-=-1， ∴2a-b=0，故④错误， ∴正确的个数为3个. 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解决本题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 11．     向上          【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用抛物线的性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 故答案为：向上；；． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线解析式化为顶点式． 12．     N     90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 13．， 【分析】二次函数图象与一次函数图象交点的横坐标即为的解：，. 【详解】解：抛物线 与直线的两个交点坐标分别为 ， ， 方程组的解为 ， ， 即关于的方程 的解为，， 所以方程 的解是 ，， 故答案为： ，． 【点睛】本题考查了函数图象与方程的解的关系，函数与方程是密不可分的，方程的根的个数问题，往往可以转化为两个函数图象的交点问题． 14．x＞1或x<-3 【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y<0时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-3，0），对称轴为x＝-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）， 由图象可知，当y>0时，x的取值范围是x＞1或x<-3． 故答案为：x＞1或x<-3 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 15．(1,1) 【分析】根据题意，图象要过定点，那么只需要想办法去掉解析式中的m即可，故可令x=1，可得出答案. 【详解】解：令x=1，则y=1-m+m=1 ∴图象一定过点(1,1) 故答案是：(1,1) 【点睛】本题主要考察二次函数过定点问题，正确分析是解题的关键. 16．1或 【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可 【详解】当函数图象过原点时，函数的图象与坐标轴恰有两个公共点， 此时满足，解得； 当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时， 此时满足，解得或， 当是，函数变为与y轴只有一个交点，不合题意； 综上可得，或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点． 故答案为：1或 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质． 17． 【分析】根据二次函数增减性的判定：①开口方向；②对称轴，结合题中当时，y的值随x值的增大而增大，即可得到关于的不等式，求解即可得到结论． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线， ∵当x＞3时，y的值随x值的增大而增大， ∴﹣m≤3，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数增减性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 18．(1) (2)， 【分析】（1）用因式分解法解即可； （2）用配方法解即可． （1） 解：， 因式分解得：（x﹣1）（x﹣4）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣4＝0， 解得：； （2） 解：配方得： 开平方得： ∴ ∴，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握因式分解法和配方法是解题的关键． 19．(1)图见解析 (2)① ；② 【分析】（1）根据旋转的性质画出即可；根据平移的性质画出即可； （2）①根据中心对称的性质，连接，，，交点即为旋转中心，即可得出答案；②作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点，利用待定系数法求出直线的解析式，进而可得出点的坐标． （1） 解：画出和如图所示． （2） 由图可知，旋转中心为点． 故答案为：． ②如图，作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求的点． 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—旋转变换、平移变换，轴对称—最短路线问题，用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图像与轴的交点坐标．熟练掌握平移、旋转、对称的性质是解答本题的关键． 20． 【分析】设抛物线为顶点式，将（2，−3）代入解析式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点为（1，−4）， ∴设抛物线解析式为， 把（2，−3）代入， 得−3＝a−4， 解得a＝1， ∴． 【点睛】本题考查求二次函数解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 21．(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的顶点在轴上知△，即，解之可得； （2）作轴，证得，从而求得点的坐标，再利用待定系数法求解可得直线解析式． （1） 抛物线的顶点在轴上， 它与轴只有一个交点， △，即， 解得：（舍或， 抛物线的解析式为； （2） 如图，过作轴于， ， 在中，令得， ，， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，令得， 为， 设直线解析式为， 则， 解得：， 直线解析式为． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：对于二次函数，，是常数，，△决定抛物线与轴的交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．也考查了利用待定系数法求函数解析式． 22．(1)60°；BD=CE (2)成立，理由见解析 (3)BD=2或BD=2 【分析】（1）连接AE可得ADE为等边三角形，证明BADCAE即可得出ACE的度数和BD与CE之间的数量关系； （2）连接AE可得ADE为等边三角形，证明BADCAE即可得出ACE的度数和BD与CE之间的数量关系； （3）分点D在线段BC上和点D在BC的延长线上两种情况讨论，画出图形，根据等边三角形三线合一和垂直平分线的性质即可求解． （1） 如图1，连接AE， ∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE， ∴AD=DE，ADE=60°， ∴ADE是等边三角形， ∴AE=AD，DAE=60°， ∵ABC是等边三角形， ∴AB=AC，ABC=BAC=60°， ∴BAC=DAE=60°， ∴BAD=CAE， 在BAD和CAE中， ， ∴， ∴ACE=ABD=60°，BD=CE． 故答案为：60°；BD=CE． （2） 成立，理由如下： 如图2，连接AE， ∵线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE， ∴AD=DE，ADE=60°， ∴ADE是等边三角形， ∴AE=AD，DAE=60°， ∵ABC是等边三角形， ∴AB=AC，ABC=BAC=60°， ∴BAC=DAE=60°， ∴BAD=CAE， 在BAD和CAE中， ， ∴， ∴ACE=ABD=60°，BD=CE． （3） 若点D在线段BC上，如图3， 由（2）可知AEC=60°，， ∴AEC=ADB， ∵DEC=30°， ∴ADB=AEC=90°， ∵ABC为等边三角形，AB=4， ∴BD=BC=AB=2； 若点D在BC的延长线上，如图4， 由（2）可得ADE为等边三角形， ∴AED=60°， ∵DEC=30°， ∴CE垂直平分AD（三线合一）， ∴AC=CD， ∵ABC为等边三角形，AB=4， ∴BD=BC+CD=BC+AC=2AB=8， 综上所述，BD=2或BD=8． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质和三线合一定理，解决本题的关键是掌握以上的性质并熟练的运用． 23．(1)y=-10x+1000 (2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为15000元． 【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），再把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b计算出k、b的值，即可算出函数解析式y=-10x+1000； （2）先求得每天获得的利润w关于x的函数关系式，再求出当x=50时获得的利润最大． （1） 设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 把x=22，y=780和x=25，y=750代入y=kx+b,得 ， 解得 ． ∴y与x的函数关系式为y=-10x+1000． （2） 设该工艺品每天获得的利润为W元， 则W=（x-20）y =（x-20）（-10x+1000）=-10（x-60）2+16000，（20≤x≤100） ∵-10＜0，对称轴x=60， ∴当20＜x≤50时，W随x的增大而增大， 所以当售价定为50元/件时，该工艺品每天获得的利润最大， W最大=-10（50-60）2+16000=15000元， 答：当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为15000元． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题． 24．(1) (2)，4 (3)存在点M，使以点B、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标为（5，-3）或（-3，-7）或（3，2） 【分析】（1）由点A（-1，0）、对称轴为直线可得点B（4，0），设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入并求解即可； （2）利用待定系数法求直线BC的表达式，然后由得出与点G的横坐标m的函数关系，根据二次函数的性质即可获得面积的最大值； （3）根据题意，分BC为平行四边形的边和BC为平行四边形的对角线两种情况，结合平行四边形的性质分别求解即可． （1） 解：∵A（-1，0），对称轴为直线， ∴B（4，0）， 设抛物线的表达式为， 将点C的坐标代入，可得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2） 设直线BC的表达式为， 将B（4，0）、C（0，2）代入，可得 ， 解得， 故直线BC的表达式为， ∵G点的横坐标为m， ∴G点坐标为， 过G作轴，交直线BC于H点， 则H坐标为， ∴ ， ∴当时，取最大值为4， ∴△GBC面积的最大值为4； （3） 设点M的坐标为（m，n），，点R（1，s），点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，2）， ①当BC为平行四边形的边时， 点C向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点B， 同样点M（R）向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点R（M）， 即，解得或5， 故点M的坐标为（-3，-7）或（5，-3）； ②当BC为平行四边形的对角线时， 由中点公式得，解得， 故点M（3，2）． 综上所述，存在点M，使以点B、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标为（5，-3）或（-3，-7）或（3，2）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积计算等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，并运用数形结合、分类讨论的思想解决问题． 答案第18页，共20页 答案第1页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $