专题08实数及其简单运算（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题08实数及其简单运算（举一反三讲义） 【题型01 无理数】..................................................2 【题型02 无理数的大小估算】........................................4 【题型03 无理数整数部分的有关计算】................................6 【题型04 实数概念理解】............................................8 【题型05 实数的分类】.............................................10 【题型06 实数的性质】.............................................11 【题型07 实数与数轴 】............................................13 【题型08 实数的大小比较】.........................................15 【题型09 实数的混合运算 】........................................17 【题型10 称性实际与实数运算 】....................................19 【题型11 新定义下的实数运算】.....................................22 【题型12 实数运算的实际应用】.....................................24 【题型13.与实数运算相关的规律题】.................................26 【解答题 6题】....................................................29 知识梳理 知识点01:实数的概念与分类 1. 定义 有理数和无理数统称为实数。 2. 分类 （1）按定义分 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称；有限小数和无限循环小数都属于有理数。 无理数：无限不循环小数。 常见形式：① 开方开不尽的数，如 ​、​、 等；② 含 π 的数，如 π、 等；③ 有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001⋯。 （2）按正负分 正实数：正有理数、正无理数 0 负实数：负有理数、负无理数 知识点02:实数与数轴 1.实数与数轴上的点一一对应： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；数轴上每一个点都表示唯一的一个实数。 2.数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点03:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点04:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点05:易错点总结 1.带根号的数不一定是无理数，如 4​=2 是有理数； 2.实数运算时，先化简再计算，结果要化为最简； 3.比较负无理数大小时，注意绝对值大的反而小。 【题型1.无理数】 【典例】下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，依次判断各选项即可． 【详解】A、是整数，属于有理数，不符合题意； B、是分数，属于有理数，不符合题意； C、，是整数，属于有理数，不符合题意； D、是无理数（无限不循环小数），符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的定义，实数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：2022是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 中的是无理数，因此是无理数； （每两个1之间的0依次加1）是无限不循环小数，属于无理数． ∴无理数有2个． 故答案为：2． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得各数的立方根，直到输出值即可． 【详解】解：当输入的为时，其立方根为，它是有理数，返回继续运算；的立方根为，它是无理数，输出的值. 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根求解和无理数的概念，解决本题的关键是熟练掌握其定义． 【跟踪专练3】下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了无理数，整数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握以上定义． 利用无理数，整数，非负数的定义，确定个数，代入代数式进行求解即可． 【详解】解：无理数为：，得； 整数为：6，0，得； 非负数为：，，，，0，，得； ∴， 故答案为：9． 【题型2.无理数的大小估算】 【典例】已知m为整数，且，则m值为 ． 【答案】3 【分析】利用夹逼法估算的大小后确定m的整数解即可． 本题考查估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ，且m为整数， ， 故答案为： 【跟踪专练1】.如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（　　） A．上 B．上 C．上 D．上 【答案】C 【分析】此题主要考查的是实数的比较大小，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解决此题的关键．先求出的取值范围，从而求出的取值范围，然后根据数轴即可得出结论． 【详解】解：， ，即， 由数轴可知表示的点应落在线段上． 故选：C． 【跟踪专练2】把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【答案】D 【分析】先计算出，，，，，即可得出，，中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，11个6，从而可得出答案． 【详解】解：，即，，则有2个1； ，即，，，都是2，则有4个2； ，同理，可得出有6个3； ，同理，可得出有8个4； ，同理，可得出有10个5； 则剩余11个数全为6． 故 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，难度较大，注意根据题意找出规律是关键． 【题型3.无理数整数部分的有关计算】 【典例】如果设的整数部分为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的知识，解题的关键是掌握估算无理数，根据题意，则，同时乘以，可得，再同时加，即，即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 故答案为：． 【跟踪专练1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为1； 因为，且，所以的整数部分为2： 因为，且，所以的整数部分为3； 以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为 ． 【答案】n 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是找到相应的规律；并根据规律得出结论．比较被开方数与所给数值的大小，可发现，从而得出答案． 【详解】解：为正整数， ， ， ， ， （n为正整数）的整数部分为n， 故答案为：n． 【跟踪专练3】已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型4.实数概念理解】 【典例】 和 统称为实数． 【答案】 有理数 无理数 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 【跟踪专练1】若是实数，则（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的性质以及不等式的基本性质，熟练掌握根据的不同取值分类讨论是解题的关键．本题需根据实数的不同取值情况（、、 ），分别比较与的大小关系，进而确定答案． 【详解】解：当时： ，不等式两边乘正数，不等号方向不变，即 当时： ，不等式两边乘负数，不等号方向改变，即 当时： 由于取值不同时，与大小关系不同，无法确定唯一大小关系． 故选： ． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【答案】256 【分析】根据算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，把第4次的程序运算输出的数值代入计算即可． 【详解】解：∵第4次的程序运算输出的数值是所代入的数值为2， 第3次的程序运算输出的数值是2所代入的数值为， 第2次的程序运算输出的数值是4所代入的数值为， 第1次的程序运算输出的数值是16所代入的数值为， ∴符合题意， 故答案为：256． 【点睛】本题考查算术平方根的定义、有理数和无理数的定义，熟练掌握算术平方根的定义、有理数和无理数的定义是解题的关键． 【跟踪专练3】已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的概念、不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由题意得，再将变形为，整体代入可得，最后利用不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 【题型5.实数的分类】 【典例】下列实数：0.22，，，0.010203040506，，．其中有理数有 个，无理数有 个． 【答案】 4 2 【解析】略 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【答案】见解析 【分析】利用无理数，整数，分数以及实数的定义判断即可得到结果． 本题考查了实数的分类，熟练掌握相关的概念是解题的关键 【详解】无理数：{，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）}； 整数：{0，，，}； 分数：{，，，80%}； 实数：{，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），}． 故答案为：，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”）；0，，，；，，，80%；，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 【跟踪专练3】已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（　　） A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数 【答案】D 【分析】依据题意，结合实数的性质逐项分析即可． 【详解】解：依题意可得： 两个正有理数的和为正有理数；两个负实数的和为负实数；两个整数的和为整数；但是，两个无理数的和不一定是无理数，如与的和是0，和是有理数， ∴选项都正确，不符合题意，只有选项符合题意， 故选： 【点睛】本题考查了实数的性质，解题时要熟练掌握并理解． 【题型6.实数的性质】 【典例】的相反数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的性质，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一个数的绝对值是，则这个数是（　） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．直接利用绝对值的性质得出答案． 【详解】解：∵一个数的绝对值是， ∴这个数是． 故选：D． 【跟踪专练2】正整数m、n，满足，则m的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数的整除性问题，把m用含n的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，求出m的最大值． 【详解】解：， ∴当时，m的最大值为． 故答案为． 【跟踪专练3】对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 【题型7.实数与数轴】 【典例】无理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查实数与数轴、无理数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据数轴可以得到的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由数轴可得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，先利用算术平方根的定义求出正方形的边长，进而根据数轴上两点间距离公式解答即可求解，利用算术平方根的定义求出正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴， ∵点在数轴上表示的数为， ∴点表示的数为， 故选：． 【跟踪专练2】实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化简的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是实数与数轴，由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 【跟踪专练3】如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其6次一循环，由此可以确定出数轴上1998这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴6次一循环， ∴， 数轴上1998这个数所对应的点是E点， 故选：C． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 【题型8.实数的大小比较】 【典例】比较大小：4 （填“”或“”号） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较的应用． 根据，即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了用求差法比较实数的大小，因为，其中，所以可得：，从而可得：． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 【跟踪专练3】已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了进行实数大小比较的能力，关键是能准确运用作差法进行比较． 通过计算与的差以及与的差，利用平方根的性质比较大小，即可得到这三个数的大小关系． 【详解】解：∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∵ ∴，即 ∴ ∴ 综上，，即 . 故选：A． 【题型9.实数的混合运算】 【典例】计算： ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的运算，利用乘方及立方根的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的算术平方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据算术平方根的定义和实数的运算法则判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、与，不能合并，原计算错误，故不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长计算，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果，由题意得出四叶幸运草的周长个圆的周长是解题的关键． 【详解】解：由题意得，四叶幸运草的周长为个半圆的弧长个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长， 故答案为：． 【跟踪专练3】若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 【题型10.程序设计与实数运算】 【典例】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算，把代入数值转换机中计算即可求出所求，解题的关键是掌握有理数的运算顺序及数值转换机的运算程序． 【详解】当时， ， ∵是有理数， ∴倒回运算， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，无理数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，是有理数， ∴，是有理数， ∴的算术平方根为，是无理数，可以输出， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（    ）      A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先计算出前面几次输出的结果，确定循环的组数，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： 第一次输出：， 第二次输出：， 第三次输出：， 第四次输出：， 第五次输出：， 第六次输出：， …… 每3次为一组进行循环， （组）， ∴第2022次输出的结果是第674组的第三个，即第2022次输出的结果是1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，以及探寻规律问题，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：从第一次输出的结果开始，每次输出的结果分别是4、2、1、4、2、1、…，每3个数一个循环． 【跟踪专练3】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 【题型11.新定义下的实数运算】 【典例】用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如：，那么 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了实数运算，正确运用新运算是解题关键．直接利用已知运算公式计算得出答案． 【详解】解：， 故答案为：2． 【跟踪专练1】对实数a、b，定义运算，已知，则m的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算，利用平方根解方程，解题的关键是根据题意得出m的方程．根据题意列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的混合运算，解答本题的关键是弄清楚题目给出的计算程序．由于，若，则，根据这个方程求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 化简后得，解得． 故答案为：2． 【跟踪专练3】对于任意非零数x，每次（次数为k）选择进行这样的运算（n为非零自然数），我们把这种方式叫做“计数操作”，如：当时，进行第一次“计数操作”，∵，∴，进行第二次“计数操作”，∵，∴．对于该操作，说法正确的是（   ） ①若，则不存在这样的“计数操作”，使． ②存在这样的“计数操作”，使得． ③存在这样的“计数操作”，使得不等式 ④存在这样的“计数操作”，使得． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义，当初始值时，第一次操作选择，可得，第二次操作，可得，据此可判断①；当初始值，第一次操作时，，第二次操作时，，求出，即可判断②；初始值，第一次操作选择，求出，即可判断③；当时，初始值，选择，得．此时，据此可判断④． 【详解】解：当初始值时，第一次操作选择，得．第二次操作选择，得．故存在操作使，故①不成立． 若初始值（满足），第一次操作选择，得．第二次操作仍选，得．两次操作后结果等于原值，故②成立． 若初始值（负数），第一次操作选择，得．此时，满足，故③成立． 当时，初始值，选择，得．此时，满足，故④成立． 综上，正确的命题为②、③、④，共3个， 故选C． 【题型12.实数运算的实际应用】 【典例】两个无理数这两个无理数不是互为相反数的和 无理数填“一定是”，“一定不是”或“不一定是”． 【答案】不一定是 【分析】根据无理数的定义和实数的运算判断即可． 【详解】解：两个无理数这两个无理数不是互为相反数的和不一定是无理数，比如无理数与的和是有理数． 故答案为：不一定是． 【点睛】本题考查了无理数和实数的运算，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 【跟踪专练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 【跟踪专练2】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 【跟踪专练3】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根及其最值问题，解此类题关键要注意分类思想的运用． 比较、、的大小，最小的值为，再求出的值即可． 【详解】解：由题意可知的取值范围是； 当时，， 此时， 解得， 符合题意； 当时， 此时， 不符合题意舍去； 综上所述：； 故选：B 【题型13.与实数运算相关的规律题】 【典例】观察： ，即； ，即； 猜想： 【答案】 【分析】由，得，据此即可求解． 【详解】解：由，得 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了与实数运算有关的规律题．根据题意确定规律是解题关键． 【跟踪专练1】已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键． 观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同． 【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同， ∵ ， ∴ 第项为负平方根，即. 故选：B． 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题意得，第n行有n个数，且第k个数为，则可求出前n行一共有个数，数45是第2025个数，再确定数45在第64行，而偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列，据此可确定数45的位置，则可得到答案． 【详解】解：由题意得，第n行有n个数，且第k个数为， ∴前n行一共有个数， ∵， ∴数45是第2025个数， ∵， ∴数45在第64行， ∵奇数行从左到右是按照从大到小的顺序排列，偶数行是从左到右按照从小到大的顺序排列， ∴45在第64行第个数， ∴数45所在的位置可表示为， 故选：D． 解答题 1．小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 【答案】(1)C (2)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键． （1）先估算​的取值范围，再确定它在数轴上的对应点； （2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接． 【详解】（1）解： 因此在数轴上位于和之间，对应点． （2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示． 由图可知，． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是，的整数部分为． (1)求的值． (2)求的立方根． 【答案】(1) (2)3． 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的性质可求出的值，再估算出的整数部分，可求出的值，代入即可求解； （2）将（1）中的代入，然后求出立方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是2， ， ． 的算术平方根是3， ， ． 的整数部分为，且， ． 故． （2）解：由（1）知，，， ， 的立方根为． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根、立方根的定义及估算无理数的大小等知识点，解题的关键是能够根据已知中的定义准确求出各个字母的值． 3．计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，正确计算是解题的关键． （1）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可； （2）先化简绝对值，去括号，立方根，然后再计算加减即可； （3）先化简算术平方根，立方根，然后再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 4．如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键． 【详解】解：把代入数值转换器，第一次计算可得，为有理数，进行第二次计算， 把代入数值转换器，第二次计算可得，为无理数， 则输出． 5．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，66，63中，“差异数”为_____； ②计算：_____； (2)如果一个“差异数”的十位数字是，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 【答案】(1)①63；②9 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元一次方程的应用等知识点，用新定义的含义建立方程求解是解题的关键． （1）①根据新定义知63为“差异数”；②根据的计算方法求解即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：①两位数60，66，63中，“差异数”为63． 故答案为：63． ②． 故答案为：9． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴，解得：． 6．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08实数及其简单运算（举一反三讲义） 【题型01 无理数】..................................................2 【题型02 无理数的大小估算】........................................3 【题型03 无理数整数部分的有关计算】................................3 【题型04 实数概念理解】............................................4 【题型05 实数的分类】..............................................4 【题型06 实数的性质】..............................................5 【题型07 实数与数轴 】.............................................5 【题型08 实数的大小比较】..........................................6 【题型09 实数的混合运算 】.........................................6 【题型10 称性实际与实数运算 】.....................................7 【题型11 新定义下的实数运算】......................................8 【题型12 实数运算的实际应用】......................................9 【题型13.与实数运算相关的规律题】..................................9 【解答题 6题】....................................................10 知识梳理 知识点01:实数的概念与分类 1. 定义 有理数和无理数统称为实数。 2. 分类 （1）按定义分 有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）的统称；有限小数和无限循环小数都属于有理数。 无理数：无限不循环小数。 常见形式：① 开方开不尽的数，如 ​、​、 等；② 含 π 的数，如 π、 等；③ 有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001⋯。 （2）按正负分 正实数：正有理数、正无理数 0 负实数：负有理数、负无理数 知识点02:实数与数轴 1.实数与数轴上的点一一对应： 每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；数轴上每一个点都表示唯一的一个实数。 2.数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点03:实数的大小比较 1.数轴法：右边 > 左边。 2.正负数法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3.作差法：a−b>0⇒a>b；a−b<0⇒a<b；a−b=0⇒a=b。 知识点04:实数的简单运算 1. 运算种类 加、减、乘、除、乘方、开方（开平方、开立方）。 2. 运算顺序 先乘方、开方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里；同级运算从左到右。 3. 运算律（同样适用） 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 分配律：a(b+c)=ab+ac 知识点05:易错点总结 1.带根号的数不一定是无理数，如 4​=2 是有理数； 2.实数运算时，先化简再计算，结果要化为最简； 3.比较负无理数大小时，注意绝对值大的反而小。 【题型1.无理数】 【典例】下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如图．当输入的为64时，输出的为（    ） A．4 B． C． D． 【跟踪专练3】下面各数：，，，6，，0，，，其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则 ． 【题型2.无理数的大小估算】 【典例】已知m为整数，且，则m值为 ． 【跟踪专练1】.如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数，0， 1，2，3，则表示数的点P应落在线段（　　） A．上 B．上 C．上 D．上 【跟踪专练2】把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【跟踪专练3】设表示最接近x的整数（，为整数），则（    ） A．132 B．146 C．164 D．176 【题型3.无理数整数部分的有关计算】 【典例】如果设的整数部分为，则的值为 ． 【跟踪专练1】若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【跟踪专练2】先阅读理解，再回答下列问题： 因为，且，所以的整数部分为1； 因为，且，所以的整数部分为2： 因为，且，所以的整数部分为3； 以此类推，我们会发现（为正整数）的整数部分为 ． 【跟踪专练3】已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【题型4.实数概念理解】 【典例】 和 统称为实数． 【跟踪专练1】若是实数，则（   ） A． B． C． D．无法比较 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如下：若把实数a代入数值转换器，恰好经过4次代入数值的程序运算，最终输出的数值是，则 ． 【跟踪专练3】已知实数a，b满足，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型5.实数的分类】 【典例】下列实数：0.22，，，0.010203040506，，．其中有理数有 个，无理数有 个． 【跟踪专练1】下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【跟踪专练2】把下列各数填入相应的横线内： ，0，，，，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），． 无理数：{ ___________…}； 整数：{ ___________…}； 分数：{ ___________…}； 实数：{ ___________…}． 【跟踪专练3】已知均属于同一类数，不一定属于该类数，则这类数可以是（　　） A．正有理数 B．负实数 C．整数 D．无理数 【题型6.实数的性质】 【典例】的相反数是 ． 【跟踪专练1】已知一个数的绝对值是，则这个数是（　） A． B． C．3 D． 【跟踪专练2】正整数m、n，满足，则m的最大值为 ． 【跟踪专练3】对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7.实数与数轴】 【典例】无理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，正方形的面积为，顶点在数轴上表示的数为，若点在数轴上（点在点的左侧），且，则点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将 化简的结果是 ． 【跟踪专练3】如图，正六边形ABCDEF（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为-2和-1，现将正六边形ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转2000次后，数轴上1998这个数所对应的点是（ ） A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【题型8.实数的大小比较】 【典例】比较大小：4 （填“”或“”号） 【跟踪专练1】比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】把一条线分为两部分，此时较短线段与较长线段之比等于较长线段与整条线段之比，这个比值就是黄金数，即为．比较大小： （填“”“”或“”） 【跟踪专练3】已知a为，b为，c为，则这三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型9.实数的混合运算】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，正方形边长为，以各边为直径在正方形内画半圆，画出了如图所示的四叶幸运草，则四叶幸运草的周长是 ．（不含正方形边长） 【跟踪专练3】若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【题型10.程序设计与实数运算】 【典例】如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数，若输入的数，则输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的值为64时，输出的值是 ． 【跟踪专练2】有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是8，可发现第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，第2022次输出的结果是（    ）      A．8 B．4 C．2 D．1 【跟踪专练3】在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 【题型11.新定义下的实数运算】 【典例】用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如：，那么 ． 【跟踪专练1】对实数a、b，定义运算，已知，则m的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【跟踪专练2】将4个数a，b，c，d排成两行两列，两边各加一条竖线记成，定义，若，则 ． 【跟踪专练3】对于任意非零数x，每次（次数为k）选择进行这样的运算（n为非零自然数），我们把这种方式叫做“计数操作”，如：当时，进行第一次“计数操作”，∵，∴，进行第二次“计数操作”，∵，∴．对于该操作，说法正确的是（   ） ①若，则不存在这样的“计数操作”，使． ②存在这样的“计数操作”，使得． ③存在这样的“计数操作”，使得不等式 ④存在这样的“计数操作”，使得． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型12.实数运算的实际应用】 【典例】两个无理数这两个无理数不是互为相反数的和 无理数填“一定是”，“一定不是”或“不一定是”． 【跟踪专练1】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【跟踪专练2】如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【跟踪专练3】已知表示取三个数中最小的数．例如：，当时，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型13.与实数运算相关的规律题】 【典例】观察： ，即； ，即； 猜想： 【跟踪专练1】已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（    ） A． B． C． D．2026 【跟踪专练2】已知，则 ． 【跟踪专练3】如图数阵是按一定规律排成的．规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用数对表示，如：数所在的位置可表示为，则数45所在的位置可表示为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．小云的作业中有一道题目如下： 请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接． (1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________． (2)请你帮助小云完成剩下的任务． 2．已知的立方根是2，的算术平方根是，的整数部分为． (1)求的值． (2)求的立方根． 3．计算： (1)； (2) (3)． 4．如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程． 5．定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，66，63中，“差异数”为_____； ②计算：_____； (2)如果一个“差异数”的十位数字是，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 6．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $