精品解析：北京市五十七中学2025-2026学年高一第一学期科创实验班数学期末考试试题

2025—2026第一学期24级科创实验班 数学期末考试 （满分150分，时间120分钟）2026.1 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的单调性即对数型复合函数的定义域确定集合，再结合交集、并集运算即可求解. 【详解】当时，， 所以， 由得， 所以， 所以，， 故选：D 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的乘除运算计算，然后得到其共轭复数，进而得到其对应的点的坐标. 【详解】因为复数. 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 3. 已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出当与时直线与直线的交点坐标，再由两点的距离公式求出轨迹长度. 【详解】当时，直线的斜率，直线为， 联立，; 当时，直线的斜率，直线为， 联立，; 所以点的轨迹. 故选：D. 4. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先根基两直线平行求出的值，再根据小范围推大范围选出答案. 【详解】因为直线与平行， 所以 且两直线的斜率相等即解得； 而当时直线为，同时为，两直线重合不满足题意；当时，与平行，满足题意； 故， 根据小范围推大范围可得：是的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． (3)两直线平行时要注意验证，排除掉两直线重合的情况. 5. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值. 【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形， ∴正方形的边长等于直线、的距离，则， 若圆的半径为r，，即，则， 由正方形的性质知：， ∴，即有. 故选：B. 6. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，根据线面平行的判定定理，证得平面，平面，进而证得平面平面，得到当时， 平面，所以点在侧面内的轨迹为线段，在中，求得，结合，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 8. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ） （1）四边形PAMB的面积最小值为 （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为 （4）直线AB过定点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，当最短时，面积最小，当时，最短，求出面积即可得（1）错误；结合（1）和弦长公式以及几何关系可得（2）正确；当短时，由两直线平行得到斜率关系，再求出AB的直线方程，利用点到直线的距离求出，再结合几何关系确定的取值可得直线方程，最后可得（3）错误；设圆上一点，由向量的数量积为零得到关于点的两条直线方程，解方程组即可得到定点坐标，可得（4）错误； 【详解】对于（1），四边形的面积可以看成两个直角三角形的面积之和，即， 最短时，面积最小，故当时，最短， 即， ，故（1）错误； 对于（2），由上述可知，时，最短，故最小，且最小值为， 所以，故（2）正确； 对于（3），当短时，则，又，所以， 可设AB的直线方程为圆心到直线AB的距离， 解得或， 由于直线AB在圆心的右侧，且在直线l的左侧， 所以，所以，即直线AB的方程为，故（3）错误； 对于（4），设圆上一点， ， 易知，由于， 所以，同理， ，， ，即， 令， 解得，所以直线AB过定点为，故（4）错误； 故选：A． 9. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案. 【详解】由得 ， 故 由得， 由得，设 ，则 ， 即，即点C轨迹为一动圆， 设该动圆圆心为 ，则， 整理得 ，代入到中， 得： ，即C轨迹的圆心在圆上， 故点（1,1）到点距离的最大值为 ， 故选：B 10. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点轨迹为圆，设为弦的中点，再由极化恒等式即可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标， 易知直线恒过点， 直线恒过，且，则，即， 点轨迹为圆，圆心为，半径为，但是去掉点， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， ， 又点分别为圆、圆上的点， 所以，当在处取等号， 所以 ， 即的最大值为． 故选：B． 11. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ） A. 线段的三等分点，且靠近点 B. 线段的中点 C. 线段的三等分点，且靠近点 D. 线段的四等分点，且靠近点 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题. 【详解】设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，的中点， ，，则， 设，， 由与共线，可得，所以，所以，其中， 因为， ， 所以，所以，即是动点到直线的距离， 由空间两点间的距离公式可得， 所以当时，取得最小值，此时为线段的中点， 由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点. 故选：B 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题. 12. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”的体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：求出，看是否符合勾股定理即可；对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求. 【详解】依题意，不妨设该几何体中心对称， 对于A：在梯形中，，， 则，所以， 即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误； 对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成， 故表面积，B错误； 对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点， 则多面体可以分成个全等的三棱锥， 又， 所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确； 对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图： 则，所以为钝角， 连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得， 因为，所以， 又， 所以， 所以，又， 所以， 则，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于几何体表面距离和问题，一般通过将各面旋转转化为共面问题，然后距离最小问题可以转化为两点之间线段最短或者垂线段最短的问题来解答. 二、填空题 13. 若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】因为直线：与轴、轴分别相交于、两点， 所以、两点的坐标分别为、， 因此， ， 该圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线：的距离为， 所以点到直线：的最小距离为， 所以面积的最小值为. 故答案为： 14. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 15. 已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，由求出，代入圆的方程可得答案. 【详解】设，，由， 得，所以， 又因为点在圆：上， 所以，即. 故答案为： 16. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可得答案. 【详解】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，． 故答案为4 【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 17. 已知、，点在，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出线段中点的轨迹方程，可得出，利用圆的几何性质可求得的最大值和最小值，即可得解. 【详解】设线段的中点为，点， 由线段的中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得出， 即点的轨迹方程为，记其圆心为，半径为， ， 所以，当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值， ，当且仅当为射线与圆的交点时，取最大值， 所以. 故答案为：. 18. 已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出的最小值． 【详解】函数，其中，是这两个函数图象的交点， 当时，． 所以函数的交点间的距离为一个周期，高为． 所以：． 如图所示： ①当时，面积的最小值为； ②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则， 解得的最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设的重心为，则，从而得到，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，数形结合得到最小值. 【详解】设的重心为， 则， 因为，所以，故， 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以的最小值为. 故答案为：3 20. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； ②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； ③阴影部分的面积为； ④阴影部分的内外边界曲线长为. 其中正确的有__________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，令,求出，求出点坐标即得解；对于②，利用圆的参数方程设点，再利用绝对值三角不等式得解；对于③，利用割补法求解；对于④，求出阴影部分的内外边界曲线的各个部分即得解. 【详解】对于①，由于，令时，整理得， 解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A， 则点A的坐标为，点， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为,故①正确； 对于②，由于，整理得：， 所以，所以到坐标轴的距离为或， 因为， 所以，， 所以到坐标轴的距离小于等于3，故②正确； 对于③，由于，令时，整理得， 解得， 因为表示以为圆心，半径为的圆， 则， 且，则在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 所以它的面积是. 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为, 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，故③错误； 对于④，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为， 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为， 所以阴影部分的内外边界曲线长为，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标. 三、解答题 21. 已知函数（），. （1）求； （2）设函数， ①求函数在的最大值和最小值 ②求函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2）①最大值，最小值；②， 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数值求出. （2）①先根据和差的余弦公式化简，然后求出余弦函数的最值 ②根据余弦函数的单调性的性质求的单调递减区间. 【小问1详解】 ，， 【小问2详解】 ①， ，， 当时，即时， 当时，即时， ②， 的单调递减区间为，. 22. 如图，在三棱锥中，分别是AC，PC的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接，由平面，得，结合可证得平面，进而得证； （2）以点为原点，为轴，过点作与平行的方向为轴建立空间直角坐标系，由平面的法向量计算求解即可. 【详解】（1）连接，因为，为AC的中点，所以， 又，为平面的两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 为平面的两条相交直线，所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以点为原点，为轴，过点作与平行的方向为轴建立空间直角坐标系. 所以， 设平面的法向量为， 则，不妨令，则，， 平面的法向量为， 由 所以二面角的余弦值为. 23. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意，可得平面，然后利用线面平行的性质可证得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离的向量公式求解； （3）设，根据已知条件及线面角的向量公式列方程求解. 【小问1详解】 ∵四边形为菱形，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵平面，平面和平面的交线为， ∴. 【小问2详解】 取的中点，连接， ∵是边长为4的等边三角形，∴， ∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，， ∵平面平面，平面平面，平面，， ∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 由， 令，则，， ∴点到平面的距离. 【小问3详解】 假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为． 设， 则， ∵平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为， ∴， 整理得，解得或， 所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为． 24. 在中，角的对边分别为，． （1）求角的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的中线长为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换得即可求解； （2）选条件①，说明即可说明①不符合题意；选条件②，由余弦定理依次算得即可说明存在且唯一，结合三角形面积公式计算的面积即可；选条件③，，结合以及余弦定理得，解得，故③符合题意. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 若选条件①：，则， 此时，但这与三角形内角和矛盾，此时不存在； 若选条件②：边上的中线长为， 设，由题意，，， 由余弦定理有，即， 解得或舍去， 由余弦定理得，， 此时存在且唯一，且的面积； 若选条件③：，， 即， 因为，所以由余弦定理有，即， 即， 因为，所以， 即，解得, 则，此时三角形是唯一存在的， 所以的面积为. 25. 已知圆O：与直线相切． （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程； （3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）证明详见解析，该点坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径即可求出. （2）根据题意可得圆心到直线的距离，分类讨论，当斜率不存在时，，满足题意；当直线的斜率存在，利用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解. （3）设直线AB：，直线： ，分别与圆的方程联立，求出点、，进而求出直线BC方程，根据直线方程即可求解. 【详解】解：（1）圆O：与直线相切， 圆心到直线的距离等于半径，即， ， 圆O的方程为； （2）直线l被圆O所截得的弦长为4， 圆心到直线的距离， 斜率不存在时，，满足题意； 斜率存在时，设方程为， 即， 圆心到直线的距离，， 直线l的方程为， 综上所述，直线l的方程为或； （3）由题意知，设直线AB：， 与圆方程联立，消去y得：， ，，即， 设直线： ， 与圆的方程联立，消去y得：， ，， ，用代替得：， 直线BC方程为， 令，可得，则直线BC定点 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点斜式方程，考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 26. 已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义. （1）若，求的值及的最大值； （2）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：； （3）求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得. 【答案】（1），最大值2； （2） 由的定义知：. 所以 . 设删去的两个数为，则. 由题意知，且当其中至多一个不等式中等号成立， 不妨设时，，所以， 所以， 所以，即. （3） 中存在最大数， 不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）， 因为，所以存在，使得，即. 由，设集合，则中一定存在元素使得. 否则，，与是最大数矛盾. 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据题设新定义求的值及的最大值； （2）由题设有得，假设删去的两个数为，有，结合，进而得到，即可证结论； （3）记为（若最大数不唯一，任取一个），根据题设中一定存在元素使得，否则与前提矛盾，进而得到，即可证结论. 【小问1详解】 因为， 所以，故. 因为，所以. 所以. 所以当时，取得最大值2. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第二问，根据题设定义得到且为关键，第三问，记为（若最大数不唯一，任取一个），结合题设得到为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026第一学期24级科创实验班 数学期末考试 （满分150分，时间120分钟）2026.1 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知过原点且倾斜角为的直线与直线交于点，则当在上变化时，点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. “”是“直线与平行”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. B. C. D. 4 6. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆直线，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别与圆M相切于点A，B．则下列说法正确的个数是（ ） （1）四边形PAMB的面积最小值为 （2）最短时，弦AB长为 （3）最短时，弦AB直线方程为 （4）直线AB过定点 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（   ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ） A. 线段的三等分点，且靠近点 B. 线段的中点 C. 线段的三等分点，且靠近点 D. 线段的四等分点，且靠近点 12. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”的体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 二、填空题 13. 若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别相交于、两点，则面积的最小值为______. 14. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是________． 15. 已知圆：，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为______. 16. 已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则__________． 17. 已知、，点在，则的取值范围为______. 18. 已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线.①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________. 19. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是__________. 20. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论： ①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； ②在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； ③阴影部分的面积为； ④阴影部分的内外边界曲线长为. 其中正确的有__________. 三、解答题 21. 已知函数（），. （1）求； （2）设函数， ①求函数在的最大值和最小值 ②求函数的单调递减区间. 22. 如图，在三棱锥中，分别是AC，PC的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值 23. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，四边形为菱形，，平面平面，为棱的中点，记平面和平面的交线为． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由． 24. 在中，角的对边分别为，． （1）求角的大小； （2）若，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：边上的中线长为； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 25. 已知圆O：与直线相切． （1）求圆O的方程； （2）若过点的直线l被圆O所截得的弦长为4，求直线l的方程； （3）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标． 26. 已知集合，集合且满足：与恰有一个成立，对于定义. （1）若，求的值及的最大值； （2）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为，证明：； （3）求证：对于满足的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $