6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 同步训练题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示同步训练题 一、单选题 1．已知，记的相反向量为，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则下面说法正确的是（    ） A．A点的坐标是 B．B点的坐标是 C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是 3．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（   ） A． B．1 C．5 D． 7．已知点，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 10．已知点，，与向量平行的向量的坐标可以是 A． B． C． D．(7，9) 11．下面几种说法中正确的有（　　） A．相等向量的坐标相同 B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标 C．一个坐标对应于唯一的一个向量 D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应 三、填空题 12．如图，向量，，的坐标分别是 ， ， . 13．在平面直角坐标系中，分别为与两个坐标轴正方向同向的单位向量，向量和是平面内的向量，且点坐标为，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①向量可以表示为； ②只有当的起点在原点时； ③若，则终点的坐标就是向量的坐标． 14．平面上三点分别为，，，若，为的中点，则点的坐标为 . 四、解答题 15．如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为、、． (1)写出向量，的坐标； (2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标． 16．已知，两点的坐标，求，的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 17．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． (1)求实数的值； (2)若，，求的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 18．如图，设，，，P（x，y）是平面直角坐标系中的4个点，且，．求在基下的坐标．    19．如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据向量的坐标表示和相反向量的概念进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以它的相反向量. 故选：A. 2．D 【分析】根据平面向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是. 故选：D. 3．A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 4．A 【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标. 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 5．C 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 6．B 【分析】利用向量的坐标表示求解即得. 【详解】由，，得，由，得， 因此，所以. 故选：B 7．D 【分析】根据给定条件，利用坐标表示向量即可. 【详解】由点，，得. 故选：D 8．C 【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标. 【详解】设点，则向量， 所以，即，对应的点B坐标为． 故选：C 9．ABC 【分析】根据向量的概念，以及向量的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关， 所以点的坐标不一定是，故A错误； 同理点的坐标不一定是，故B错误； 当是原点时，点的坐标是，故C错误； 当是原点时，点的坐标是，故D正确. 故选：ABC 10．ABC 【分析】先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则 选项A .   ,所以A选项正确. 选项B.  ,所以B选项正确. 选项C .   ,所以C选项正确. 选项D.  ,所以选项D不正确 故选：ABC 【点睛】本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题. 11．ABD 【分析】根据向量的定义和坐标的定义，即可判断选项. 【详解】A.相等向量的坐标相同，故A正确； B.根据向量坐标的定义，可知平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标，故B正确； C.由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误； D. 平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应，故D正确. 故选：ABD 12． 【分析】结合图象运用平面向量坐标表示求解即可. 【详解】如图， 将各向量分别向单位正交基底，所在直线分解， 则，∴， ，∴， ，∴， 故答案为：；；. 13．①③ 【分析】根据题意，结合平面向量的基本定理和平面向量的坐标表示，即可求解. 【详解】由平面向量的基本定理知，有且只有一对实数，使得，所以①正确； 当时，均有所以②错误，③正确． 故答案为：①③. 14． 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得，即， 所以，即， 故答案为：. 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解；（2）根据平行四边形中对边平行且相等的关系转化为向量的相等关系，利用坐标表示即可求解. 【详解】（1）， . （2）设，所以 四边形ABCD是平行四边形， 所以，所以解得， 所以. 16．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】由终点坐标减去起点坐标，即得所求向量的坐标. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为，， 所以，. （3）因为，， 所以，. （4）因为，， 所以，. 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A，E，C三点共线，得，即可列等量关系求解， （2）根据坐标运算即可求解， （3）根据向量相等即可列方程求解. 【详解】（1）． 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 即，得． 因为，是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得； （2）． （3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设，则． 因为，所以，解得， 即点A的坐标为． 18．． 【分析】根据平面向量基本定理，结合基底的定义进行求解即可. 【详解】，分别是x轴和y轴上的单位向量，并且相互垂直，因此不共线，则，组成平面上的一组基． 在轴上取与横坐标相同的点，则与轴平行或共线． 在轴上取与纵坐标相同的点，则与轴平行或共线． 因此． 由，的坐标可知，， 因此，即在基下的坐标为． 19．答案见解析 【分析】应用基底表示向量再结合向量的坐标表示得出向量的坐标即可. 【详解】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $