专题06平方根（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题06平方根（举一反三讲义） 【题型01 平方根概念理解】...........................................4 【题型03 求代数式的平方根】.........................................5 【题型04 已知一个数的平方根.求这个数】..............................7 【题型05 利用平方根解方程】.........................................9 【题型06 求一个数的算术平方根】....................................11 【题型07 利用算术平方根的非负性解题】..............................13 【题型08 估计算术平方根的取值范围】................................14 【题型09 与算术平方根有关的规律探索题】............................16 【题型10 算术平方根的实际应用】....................................18 【解答题 5题】.....................................................20 知识梳理 知识点01:算术平方根 1.定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 2.表示方法 a 的算术平方根记作：，读作 “根号 a”；a 叫做被开方数。 3.规定 0 的算术平方根是 0，即 =0。 4.双重非负性（重点） 有意义的条件：① 被开方数 a≥0；② 算术平方根 ≥0。 知识点02:平方根 1.定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 2.表示方法 a 的平方根记作：±，读作 “正负根号 a”。 3.平方根与算术平方根的关系 正数 a 有两个平方根：和 −，它们互为相反数； 其中 是 a 的算术平方根。 知识点03:开平方 1.定义:求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 2.关系:平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算检验开平方是否正确。 知识点04:平方根的性质（必背） 1.正数：有 两个 平方根，互为相反数； 2.0：只有 一个 平方根，是它本身（±=0）； 3.负数：没有平方根（因为任何数的平方都不为负数）。 知识点05:重要公式 1.()2=a（a≥0） 2.​=∣a∣ 当 a≥0 时，=a 当 a<0 时，=−a 知识点06:常见判断（易错点） 1.只有非负数才有平方根、算术平方根； 2.算术平方根一定非负，平方根可正可负可为 0； 3.只表示算术平方根，± 才表示平方根； 4.平方根等于本身的数：0；算术平方根等于本身的数：0 和 1。 【题型1.平方根概念理解】 【典例】已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查“平方根的概念”，掌握两个平方根的关系是解题关键． 根据平方根的性质，一个正数的平方根有两个且互为相反数，由此即可判断出答案． 【详解】解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 故选：C． 【跟踪专练1】一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据一个正数的两个平方根互为相反数，求出结果即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为a，b， ∴，． 故答案为：0；． 【跟踪专练2】“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． 【详解】解：， ， 故选：C． 【跟踪专练3】一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个实数的两个平方根的和等于零是解题的关键． 根据一个实数的两个平方根的和等于零列方程可求出m的值，然后求出这个实数即可． 【详解】解：∵一个实数的两个平方根分别是和， ∴，解得， ∴， ∴这个实数是． 故答案为：36． 【题型2.求一个数的平方根】 【典例】16的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根， 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的含义，知道正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．分析题目根据正数的两个平方根互为相反数可得；接下来解方程可得的值，从而可求出这个正数，进一步可得答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， ∴， ∴， 解得. 则， 这个正数是，它的平方根为. 故选：D 【跟踪专练2】如果是2025的两个平方根，那么 ． 【答案】2025 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，，整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：2025． 【跟踪专练3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 【题型3.求代数式的平方根】 【典例】已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 【答案】 【分析】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数． 【详解】解：∵某一个数的平方根分别是和， ∴，解得：， ∴这个数=． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数． 【跟踪专练1】已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 【跟踪专练3】关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 【题型4.已知一个数的平方根,求这个数】 【典例】若一个正数的平方根是和，则这个正数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求解的值，再代入平方根表达式，最后求出正数即可． 【详解】解：根据题意得，一个正数的平方根是和， 所以和互为相反数，即， 化简得：， 解得：， 代入平方根得：， 代入平方根得：， 则一个正数的平方根为和，故正数或． 故答案为：9． 【跟踪专练1】一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（　　） A．7 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式，解得，再求出正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是与， ∴， ∴解得， 则， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】若和都是3的平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根，利用平方根的定义求解，可得答案． 【详解】解：3的平方根是， 由题意知， ∴， 解得， 则， ∴， ∴， 解得， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练3】已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，根据一个数的平方根互为相反数，列式求解可得的值，进而可得平方根，再根据平方根，可得这个数，掌握一个数的平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为， 故选：． 【题型5.利用平方根解方程】 【典例】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握一个正数的平方根有两个且互为相反数是解题的关键． 本题需要根据平方根的定义求解． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ，即 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 【详解】解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 【跟踪专练2】求下列等式中的x； （1）若，则 ；（2）若，则 ； （3）若，则 ；（4）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据平方根的定义，由，可得的值； （2）根据平方根的定义，由，可得的值； （3）根据平方根的定义，由=25，可得的值； （4）根据平方根的定义，由，可得的值． 【详解】（1）∵ ∴ 故答案为： （2）∵ ∴ 故答案为： （3）∵ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴ 故答案为： 【点睛】考核知识点：平方根．理解平方根的定义是关键． 【跟踪专练3】已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴都小于1且大于0 （负值舍去） 故选D 【点睛】本题考查了求一个数的平方根，判断的范围是解题的关键． 【题型6.求一个数的算术平方根】 【典例】的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的定义，关键是理解算术平方根为非负的平方根，即若()，则是的算术平方根． 【详解】解：，且， 的算术平方根是． 故答案为：2． 【跟踪专练1】已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根，相反数的概念，掌握相关概念是解题的关键. 根据算术平方根的定义，该实数为 ，其相反数为. 【详解】解：设该实数为 ， ∵ （）， ∴ ， ∴ 相反数为 . 故选：A． 【跟踪专练2】已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，求解和，再代入表达式求值． 本题主要考查了算术平方根的相关定义，熟练掌握并能够运用是解决本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得 ∵， ∴，代入， 得，即， 解得 则 故答案为：． 【跟踪专练3】一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据题意，自然数的算术平方根为x，则该自然数为，下一个自然数为，其算术平方根即为． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是x， ∴这个自然数是，下一个自然数是， ∴下一个自然数的算术平方根是：． 故选：D． 【题型7.利用算术平方根的非负性解题】 【典例】当 时，的值最大． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，根据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，的值最大， ∴， ， 故答案为： ． 【跟踪专练1】已知实数满足，则等于（    ） A．5 B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查数的非负性．根据几个非负数的和为零，则它们均为零进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴要使， 则， 即， ∴， 故选A． 【跟踪专练2】已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的定义，根据算术平方根的非负性求出，再代入求的值，然后计算，最后求其平方根即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若实数满足，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据算术平方根和绝对值的非负性，据此列等式解出a与b的值．即，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴ 故选：D． 【题型8.估计算术平方根的取值范围】 【典例】若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 【答案】 3 4 【分析】根据，可得：的值，进而即可求解． 【详解】， 又为两个连续整数，， 故答案为：3；4． 【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键． 【跟踪专练1】观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 【跟踪专练2】已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则ba＝ ． 【答案】9 【分析】根据已知a＜＜b,结合a、b是两个连续的整数可得a、b的值,即可求解. 【详解】解：∵， ∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b， ∴a＝2，b＝3， ∴ba＝32＝9． 故答案为9． 【点睛】此题考查的是如何根据无理数的范围确定两个有理数的值,题中根据的取值范围,可以很容易得到其相邻两个整数,再结合已知条件即可确定a、b的值． 【跟踪专练3】下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【分析】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键．根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为17的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、17的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，则，故在整数4和5之间，故正确，不符合题意； D、，则，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【题型9.与算术平方根有关的规律探索题】 【典例】已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，熟练掌握小数点移动的规律是解答本题的关键．当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与算术平方根小数点移动规律探索．熟练掌握被开方数小数点每向左或向右移动两位，算术平方根小数点每向左或向右移动一位，是解题的关键． 根据，各选项被开方数小数点移动情况计算作答，判断即得． 【详解】解：， A、； B、； C. ； D. ． 故选：B． 【跟踪专练2】观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算规律探究，分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． 根据题意找规律写出结果即可． 【详解】解：由， ， ， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根，能够读懂题意，理解图表是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此求解即可． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵， ∴， 故选：A． 【题型10.算术平方根的实际应用】 【典例】正方形的面积为，则该正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了算术平方根的应用．根据正方形的面积等于边长的平方，即边长为面积的算术平方根进行解答即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴该正方形的边长为． 故答案为：． 【跟踪专练1】二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根的应用，已知正方形面积为，求边长，根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根即可得出结论． 【详解】解：设正方形边长为，则面积为， ， 综上，边长为， 故选：B． 【跟踪专练2】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，由，所以分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． 【详解】解：， 分两种情况讨论： ①当时，， ； 且。符合题意； ②当时，， （不符合题意，舍去）； 综上，的值是， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 解答题 1．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根： (2)算术平方根：；平方根： (3)算术平方根：；平方根： (4)算术平方根：；平方根： (5)算术平方根：；平方根： 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的非负平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，由于它不是完全平方数，其算术平方根与平方根需用根号表示； （5）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：∵7不是完全平方数，∴它的算术平方根是；平方根是； （5）解：算术平方根：；平方根：． 2．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 3．已知与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和二次根式的非负性，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据非负性解得x、y的值，再计算． 【详解】解：与互为相反数， ， ，， ，， ． 4．若一个圆与一个正方形的周长都是，它们中哪一个面积较大？若一个圆与一个正方形的面积都是，它们中哪一个周长比较大？你能从中得到什么启示？ 【答案】圆的面积较大；正方形的周长较大；见解析 【分析】此题考查了圆和正方形的面积、周长之间的关系．先根据周长求出圆的半径和正方形的边长，再求出圆和正方形的面积比较即可；根据圆和正方形的面积求圆的半径和正方形的边长，再求出圆和正方形的周长进行比较即可；由此可得出当圆和正方形周长相等时，圆的面积较大；当圆和正方形面积相等时，正方形的周长较大． 【详解】解：（1）设圆的半径为，则， 解得 此时圆的面积为 设正方形的边长为，则， 则正方形的面积是， ∵， ∴则圆的面积较大； （2）设圆的半径为，则， 解得， 此时圆的周长为， 设正方形的边长为，则， 则正方形的周长是， 则正方形的周长较大； （3）启示：当圆和正方形周长相等时，圆的面积较大． 当圆和正方形面积相等时，正方形的周长较大． 5．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根，掌握平方根的定义是关键． （1）先移项，然后方程两边同时除以，再根据平方根的定义即可作答； （2）先移项、合并同类项，再根据平方根的定义即可作答． 【详解】（1）解：移项，得． 两边都除以，得． 由平方根的定义，得． （2）解：移项，得． 合并同类项，得． 由平方根的定义，得， 即或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06平方根（举一反三讲义） 【题型01 平方根概念理解】...........................................2 【题型03 求代数式的平方根】.........................................2 【题型04 已知一个数的平方根.求这个数】..............................3 【题型05 利用平方根解方程】.........................................3 【题型06 求一个数的算术平方根】.....................................4 【题型07 利用算术平方根的非负性解题】...............................4 【题型08 估计算术平方根的取值范围】.................................4 【题型09 与算术平方根有关的规律探索题】.............................5 【题型10 算术平方根的实际应用】.....................................5 【解答题 5题】......................................................6 知识梳理 知识点01:算术平方根 1.定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。 2.表示方法 a 的算术平方根记作：，读作 “根号 a”；a 叫做被开方数。 3.规定 0 的算术平方根是 0，即 =0。 4.双重非负性（重点） 有意义的条件：① 被开方数 a≥0；② 算术平方根 ≥0。 知识点02:平方根 1.定义 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 叫做 a 的平方根（也叫二次方根）。 2.表示方法 a 的平方根记作：±，读作 “正负根号 a”。 3.平方根与算术平方根的关系 正数 a 有两个平方根：和 −，它们互为相反数； 其中 是 a 的算术平方根。 知识点03:开平方 1.定义:求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 2.关系:平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算检验开平方是否正确。 知识点04:平方根的性质（必背） 1.正数：有 两个 平方根，互为相反数； 2.0：只有 一个 平方根，是它本身（±=0）； 3.负数：没有平方根（因为任何数的平方都不为负数）。 知识点05:重要公式 1.()2=a（a≥0） 2.​=∣a∣ 当 a≥0 时，=a 当 a<0 时，=−a 知识点06:常见判断（易错点） 1.只有非负数才有平方根、算术平方根； 2.算术平方根一定非负，平方根可正可负可为 0； 3.只表示算术平方根，± 才表示平方根； 4.平方根等于本身的数：0；算术平方根等于本身的数：0 和 1。 【题型1.平方根概念理解】 【典例】已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A．2025 B．0 C． D． 【跟踪专练1】一个正数的两个平方根分别为a，b，则 ， ． 【跟踪专练2】“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】一个实数的两个平方根分别是和，则这个实数是 ． 【题型2.求一个数的平方根】 【典例】16的平方根是 ． 【跟踪专练1】如果一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数的平方根为（   ） A．4 B． C． D． 【跟踪专练2】如果是2025的两个平方根，那么 ． 【跟踪专练3】小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【题型3.求代数式的平方根】 【典例】已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为 【跟踪专练1】已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【跟踪专练2】若，求的平方根是 ． 【跟踪专练3】关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【题型4.已知一个数的平方根,求这个数】 【典例】若一个正数的平方根是和，则这个正数为 ． 【跟踪专练1】一个正数的平方根分别是与，则这个正数的值为（　　） A．7 B．25 C．36 D．49 【跟踪专练2】若和都是3的平方根，则 ． 【跟踪专练3】已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 【题型5.利用平方根解方程】 【典例】若，则 ． 【跟踪专练1】若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【跟踪专练2】求下列等式中的x； （1）若，则 ；（2）若，则 ； （3）若，则 ；（4）若，则 ． 【跟踪专练3】已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6.求一个数的算术平方根】 【典例】的算术平方根是 ． 【跟踪专练1】已知某实数的算术平方根是，则这个数的相反数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知的算术平方根是5，的算术平方根是4，则的值为 ． 【跟踪专练3】一个自然数的算术平方根是x，则它后面的一个数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【题型7.利用算术平方根的非负性解题】 【典例】当 时，的值最大． 【跟踪专练1】已知实数满足，则等于（    ） A．5 B． C．1 D．-1 【跟踪专练2】已知实数x，y满足，则的平方根为 ． 【跟踪专练3】若实数满足，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【题型8.估计算术平方根的取值范围】 【典例】若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 【跟踪专练1】观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在3.4～3.5之间 B．在之间 C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间 【跟踪专练2】已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则ba＝ ． 【跟踪专练3】下列关于的描述错误的是（　　） A．面积为17的正方形的边长 B．17的算术平方根 C．在整数4和5之间 D．方程中未知数x的值 【题型9.与算术平方根有关的规律探索题】 【典例】已知，，则 ． 【跟踪专练1】已知，则下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 【跟踪专练3】用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 根据以上规律，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型10.算术平方根的实际应用】 【典例】正方形的面积为，则该正方形的边长为 ． 【跟踪专练1】二十五宝玺为清代乾隆皇帝指定的代表国家政权的二十五方御用国宝的总称，其中大清受命之宝，白玉质，面是正方形．已知玉玺面的面积为，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 【跟踪专练3】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 解答题 1．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2．为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 3．已知与互为相反数，求的值． 4．若一个圆与一个正方形的周长都是，它们中哪一个面积较大？若一个圆与一个正方形的面积都是，它们中哪一个周长比较大？你能从中得到什么启示？ 5．求下列各式中的值． (1)； (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $