10.4分式的乘除 同步复习讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本讲义聚焦“分式的乘除”核心知识点，系统梳理分式乘法（分子分母积为积的分子分母）、除法（除式颠倒后相乘）、乘方（分子分母分别乘方）法则，明确运算顺序（先乘方再乘除），并通过因式分解、整式化分式等规律方法构建学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，含基础计算、定义新运算（如“等和积分式”）及实际应用（小麦产量比较），培养抽象能力与应用意识，助力学生提升运算能力，课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

第10章第4节 分式的乘除 题型1 分式的乘除法 题型2 分式的混合运算 ▉题型1 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 1．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2．若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 3．化简的结果是（　　） A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6 4．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D．x2 5．若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（　　） A．1 B．x C．﹣x D．4 6．计算：•　　 ． 7．化简：． 8．化简： （1）； （2）． 9．化简： （1）（﹣ab）3÷（）； （2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2． ▉题型2 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 10．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 11．计算： （1）； （2）（1）． 12．定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝AB，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． （1）分式与分式 　　 “等和积分式”（填“是”或“不是”）； （2）求分式的“等和积分式”； （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”　　 ； ②用发现的规律解决问题： 若无论x取何值，与都互为“等和积分式”，求实数m，n的值． 13．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg． （1）“丰收1号”单位面积产量为 　　 kg，“丰收2号”单位面积产量为 　　 kg（结果用含a的式子表示）； （2）哪种小麦的单位面积产量高？试说明理由： （3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 14．化简：． 15．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若m﹣n＞0，则m＞n；若m﹣n＝0，则m＝n；若m﹣n＜0，则m＜n． （1）若n＞0，试比较与的大小，并说明理由； （2）某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 5kg 50元 乙款礼盒 10kg 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 16．计算： （1）； （2）． 17．完成下列问题． （1）化简：； （2）解不等式组：． 18．计算：（） 19．计算： （1）； （2）． 20．计算： （1）； （2）． 21．计算下列各题： （1）； （2）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章第4节 分式的乘除 题型1 分式的乘除法 题型2 分式的混合运算 ▉题型1 分式的乘除法 （1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母． （2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． （3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方． （4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”． （5）规律方法总结： ①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分． ②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． ③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序． 1．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， 故选：C． 2．若运算的结果不是分式，则“（　　）”内的式子可能是（　　） A．ab B．a+b C．a﹣b D． 【答案】A 【解答】解： ∵运算的结果为不是分式， ∴“（　　）”内的式子一定有a的单项式， ∴只有A项符合， 故选：A． 3．化简的结果是（　　） A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6 【答案】A 【解答】解：x3（）2 ＝x3• ＝xy6， 故选：A． 4．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D．x2 【答案】B 【解答】解：A．，此选项错误； B．，此选项正确； C．（）3，此选项错误； D．x3，此选项错误； 故选：B． 5．若分式“”可以进行约分化简，则“〇”不可以是（　　） A．1 B．x C．﹣x D．4 【答案】C 【解答】解：∵分式“”可以进行约分化简， ∴“〇”可以是1，则A不符合题意； “〇”可以是x，则B不符合题意； “〇”不可以是﹣x，则C符合题意； “〇”可以是4，则D不符合题意； 故选：C． 6．计算：•　　 ． 【答案】． 【解答】解：• ， 故答案为：． 7．化简：． 【答案】． 【解答】解：原式 ． 8．化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式• ． 9．化简： （1）（﹣ab）3÷（）； （2）（a+4）（a﹣4）﹣（a﹣1）2． 【答案】（1）． （2）2a﹣17． 【解答】解：（1）原式＝（﹣a3b3）•（） ． （2）原式＝a2﹣16﹣（a2﹣2a+1） ＝a2﹣16﹣a2+2a﹣1 ＝2a﹣17． ▉题型2 分式的混合运算 （1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． （2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． （3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题 1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式． 3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程． 10．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：当a≠b时，，，故选项A和B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； •，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 11．计算： （1）； （2）（1）． 【答案】（1）1； （2）． 【解答】解：（1）原式1； （2）原式＝（）• • ． 12．定义：若分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝AB，则称分式A与分式B互为“等和积分式”．如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”． （1）分式与分式 　是　 “等和积分式”（填“是”或“不是”）； （2）求分式的“等和积分式”； （3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式”　　 ； ②用发现的规律解决问题： 若无论x取何值，与都互为“等和积分式”，求实数m，n的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）① ②m＝﹣1，n＝﹣3． 【解答】解：（1）∵， ∴分式与分式是“等和积分式”， 故答案为：是； （2）设分式的“等和积分式”为A，则， ∴， ∴A（）， 即分式的“等和积分式”为； （3）①分式的“等和积分式”为，理由如下： 设分式的“等和积分式”为M，则， ∴， ∴； ②由规律可得的“等和积分式”为， ∵与互为“等和积分式”， ∴， 由m﹣1＝n+1得：n＝m﹣2， 将n＝m﹣2代入m﹣1﹣nx﹣2x＝2m﹣mx，得：m﹣1﹣（m﹣2）x﹣2x＝2m﹣mx， 解得m＝﹣1， ∴n＝﹣1﹣2＝﹣3． 13．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a﹣1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg． （1）“丰收1号”单位面积产量为 　　 kg，“丰收2号”单位面积产量为 　　 kg（结果用含a的式子表示）； （2）哪种小麦的单位面积产量高？试说明理由： （3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】（1）； ； （2）“丰收2号”单位面积产量高，见解析； （3）． 【解答】解：（1）根据题意，“丰收1号”单位面积产量为； “丰收2号”单位面积产量为， 故答案为：； ； （2）“丰收2号”单位面积产量为高，理由如下： ∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1， ∴（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝a2﹣1﹣a2+2a﹣1＝2a﹣2＝2（a﹣1）， ∵a＞1， ∴（a2﹣1）﹣（a﹣1）2＝2（a﹣1）＞0， ∴a2﹣1＞（a﹣1）2， ∴， ∴， ∴“丰收2号”单位面积产量为高； （3）∵， ∴ ， 答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 14．化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式 ． 15．数学上常用“作差法”来比较两个式子的大小，即：若m﹣n＞0，则m＞n；若m﹣n＝0，则m＝n；若m﹣n＜0，则m＜n． （1）若n＞0，试比较与的大小，并说明理由； （2）某水果店用相同重量的包装盒包装了两款苹果礼盒，售价如表： 连盒重量 售价 甲款礼盒 5kg 50元 乙款礼盒 10kg 100元 请判断哪款礼盒的苹果单价更合算？并说明理由． 【答案】（1），理由见解析； （2）乙款礼盒的苹果单价更合算，理由见解析． 【解答】解：（1），理由如下： ， ∵n＞0， ∴n（n+1）＞0， ∴0， ∴； （2）乙款礼盒的苹果单价更合算，理由如下： 设包装盒的质量为mkg，其中0＜m＜5， 则甲款礼盒的苹果单价为，乙款礼盒的苹果单价为， ， ∵0＜m＜5， ∴50m＞0，（5﹣m）（10﹣m）＞0， ∴0， ∴， ∴乙款礼盒的苹果单价更合算． 16．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式 ； （2） ． 17．完成下列问题． （1）化简：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）； （2）﹣1＜x≤1． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤1， ∴原不等式组的解集为﹣1＜x≤1． 18．计算：（） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式 • ． 19．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣1；（2）． 【解答】解：（1） ＝﹣1． （2） ． 20．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）a+2． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝a+2． 21．计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1） • ； （2） ＝1• ＝1 ． 学科网（北京）股份有限公司 $