3.9 弧长及扇形的面积（导学案）数学北师大版九年级下册

3.9弧长与扇形的面积 导学案 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程。 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。 学习重点：应用弧长与扇形面积公式解决实际问题，熟练掌握比例关系。 学习难点：公式背后的推理过程及对圆心角在计算中的准确运用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？ C=2πR，S＝. ②什么叫圆心角？ 角的顶点在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点,这样的角叫做圆心角. 2.情景引入 问题1:你注意到了吗，在运动会的4×100米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 你知道怎样来计算弯道的“展直长度”吗？ 问题2:如图所示，在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2m的圆形喷水池，你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗？ 新知自研：自研课本第100--101页的内容． 【学法指导】 自研课本P100-101页的内容，思考： ●探究一：弧长的计算 ◆1.议一议 如图所示，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动转轮一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （2）转轮转动1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （3）转轮转动n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 【分析】（1）转动轮转一周，传送带上的物品应被传送的实际距离是转动轮的周长． （2）转动轮转1°，可以表示成360°的圆心角的，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的． （3）转动轮转n°，可以表示成360°的圆心角的，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的． 【解答】解：(1)传送带上的物品A被传送的距离是： 2π×10＝20π(cm)． (2)传送带上的物品A被传送的距离是：＝(cm)． (3)传送带上的物品A被传送的距离是：＝(cm)． ◆2.知识归纳 弧长公式 半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为: 注意：(1)用弧长公式l=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧． ◆3.练一练 如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为(　　) A.cm B.cm C.cm D．7πcm 解：B ●探究二：扇形面积的计算 ◆1.想一想 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． （1）这只狗的最大活动区域有多大？ 解：（1）这只狗的最大活动区域是半径为3 m的圆（如图①所示），它的面积为：32π＝9π()． （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 解：（2）狗的活动区域是扇形(如图②所示)，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积是9π，1°的圆心角对应扇形的面积的，即×9π＝，n°的圆心角对应的扇形的面积为n×＝． 思考：类比弧长公式的推导过程，你能推导出扇形的面积计算公式吗？ 如果圆的半径为R，则圆的面积为π， 1°的圆心角对应的扇形面积为， n°的圆心角对应的扇形面积为n∙ ＝． ◆2.知识归纳 扇形面积公式 如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 注意：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. ◆3.想一想 （1）比较弧长公式与扇形面积公式之间有什么关系？ （2） 扇形的面积公式与什么公式类似？ 扇形的面积公式与三角形面积公式类似。 ◆4.练一练 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)． 解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式 S＝＝＝3π. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB= 120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1). 解：的长=×12≈25.1（cm） S扇形=×≈150.8（）. 因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.8. 例2 如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是(　　) A.－2 B．2π－2    C.－ D.－ 解：连接OC，过O作OM⊥AC于M， ∵∠AOB＝120°，C为AB中点， ∴∠AOC＝∠BOC＝60°. ∵OA＝OC＝OB＝2， ∴△AOC、△BOC是等边三角形， ∴AC＝BC＝OA＝2，AM＝1， ∴△AOC的边AC上的高OM＝，△BOC边BC上的高为， ∴阴影部分的面积是(－×2×)×2＝－2.故选A. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论弧长和扇形面积公式的推导过程； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，是的直径，点为上一点，且，，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 解：D． 2.如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 解：C． 3.如图，⊙O及两个半径为1的⊙O1和⊙O2两两外切，切点分别为 A，B，C，且∠O=90°，则的长为（ ） A. B. C. D. 解：B. 4.如图，每个圆的半径都是1 cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　） A. π B. π C. π D.π 解：B． 5. (1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π，则该扇形的半径是______； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为________． 解：2,60° 6.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是_____c. 解：12π 7. 如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为_______cm. 解： 8. 如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8 cm，P是直径AB上的任意一点． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 解：（1）如图，连接OC，OD． ∵ C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点， ∴ ∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°． 又∵ OC＝OD， ∴ △OCD是等边三角形， ∴ OC＝CD＝8（cm）， ∴ CD的长l＝＝（cm）． （2）∵ ∠OCD＝∠AOC＝60°， ∴ CD∥AB， ∴ ， ∴（cm²）． 9.如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB=150°，一根4m长的绳子一端拴在墙角O处（OA＞4m，OB＞4m），另一端拴一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）． 解：（1）小狗可活动的最大区域图形的周长为：= （m）； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积为： = （）． 题型一： 利用公式求弧长 1．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 【分析】根据弧长公式可得． 【解答】解：扇形的弧长为5π． 故选：C． 【点评】本题考查弧长的计算公式L，识记公式是解题的关键． 2．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则的长为（　　） A．17.5πcm B．18.5πcm C．16.5πcm D．17πcm 【分析】根据弧长公式计算即可得到答案． 【解答】解：的长为：17.5π（cm）． 故选：A． 【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 3．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20cm，如果该转动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（　　） A． B．40πcm C．80πcm D． 【分析】根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：传送带上的物体A被传送的距离为π（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 题型二： 列方程求圆心角或半径 4．一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 　 　． 【分析】利用弧长公式计算． 【解答】解：设这条弧的半径为Rcm， ∵6π， ∴R＝9π． 故答案为：9cm． 【点评】本题考查了弧长的计算，掌握已知条件周长＝弧长来计算是解题的关键． 5．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为　 　度． 【分析】根据弧长公式列式计算，得到答案． 【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°， 则3π， 解得，n＝90， 故答案为：90． 【点评】本题考查的是圆锥的计算、弧长公式，弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 6．若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 　　 cm． 【分析】设扇形的半径为r，利用弧长公式求出半径r，再利用扇形的面积公式求解即可． 【解答】解：设扇形的半径为rcm， 由题意，3π， ∴r＝4， ∴此扇形的半径是4cm， 故答案为：4． 【点评】本题考查弧长公式，扇形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．已知一条弧长为30π，它所对的圆心角为150°，则这条弧所在的圆的半径为 　 　． 【分析】设这条弧所在的圆的半径为r，利用弧长公式列出方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设这条弧所在的圆的半径为r， 则， 解得r＝36， 故答案为：36． 【点评】此题考查了弧长公式，关键是弧长公式的应用． 题型三： 利用弧长公式求周长 8．某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以正△ABC的三个顶点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形）．若已知AB＝5，则此莱洛三角形的周长为（　　） A．6π B． C．5π D． 【分析】根据弧长公式，利用莱洛三角形的周长＝3的长度进行计算． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝5， ∴ 的长， ∴此莱洛三角形的周长π． 故选C． 【点评】本题考查了等边三角形的性质和弧长公式，注意：①等边三角形的三条边都相等，等边三角形的每个角都等于60°，②一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是． 9．如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 　． 【分析】阴影部分的周长为弧AC，弧BC和半圆AB的和． 【解答】解：22π×1π． 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长公式：l，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中． 10．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 　 　.（结果保留π） 【分析】分别求出阴影部分弧长与线段长度然后相加求解． 【解答】解：如图，圆弧交AB于点E，F， 由题意得AB＝12，AE＝BF＝4， ∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴图中总弧长为4π， ∴图中阴影部分图形的周长为3EF+4π＝12+4π． 故答案为：12+4π． 【点评】本题考查三角形与圆的应用，解题关键是将阴影部分周长转化为线段长度与弧长的和． 题型四: 利用公式求扇形面积 11．圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（　　）cm2． A．π B．3π C．9π D．6π 【分析】根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：S6πcm2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式． 12．在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2，由此即可计算． 【解答】解：∵扇形所在圆的半径r6＝3cm，扇形的圆心角n＝120°， ∴扇形的面积3π（cm2）． 故选：C． 【点评】本题考查扇形的面积，关键是掌握扇形面积的计算公式． 13．已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　 　cm2． 【分析】根据扇形的面积公式slr，求解即可． 【解答】解：扇形的面积2（cm2）． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式Slr． 题型五 列方程求扇形圆心角或半径 14．已知一个扇形的面积是240π，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 【分析】根据扇形的面积公式求出半径，扇形的面积公式lr． 【解答】解：根据题意得240π20πr， 解得r＝24． 故选：C． 【点评】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 15．如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】将阴影部分的面积转换为扇形BOD的面积，利用扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAC＝60°， 设⊙O的半径为R， 由于S阴影部分＝S扇形BOD， 所以， 所以R＝2， 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理，掌握扇形面积的计算公式以及圆周角定理是正确解答的关键． 16．一个扇形的圆心角为60°，该扇形面积为6πcm2，则该扇形的半径为 　 　cm． 【分析】设这个扇形的半径为r cm，利用扇形面积公式解得r的值即可． 【解答】解：设这个扇形的半径为r cm， 则6π， 解得：r＝6， 即这个扇形的半径为6cm， 故答案为：6． 【点评】本题考查扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 题型六 求阴影部分的面积 17．如图，点B在半圆O上，直径AC＝10，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5π B．π C．10π D． 【分析】先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到△AOB的面积与△COB的面积相等，从而把阴影部分的面积转化为扇形OBC的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可． 【解答】解：∵点O是AC的中点， ∴线段BO是△ABC的中线， ∴S△AOB＝S△COB， ∴S阴影＝S扇形OBC， ∵∠BAC＝36°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝72°， ∵直径AC＝10， ∴OC＝5， ∴， ∴S阴影＝5π， 故选：A． 【点评】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 18．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，可得∠COD＝60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，根据S扇形求解即可． 【解答】解：连接CD、OC、OD， ∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD， 又∵OA＝OC＝OD， ∴△OAC、△OCD是等边三角形， ∴∠AOC＝∠OCD， ∴CD∥AB， ∴S△ACD＝S△OCD， ∵弧CD的长为， ∴， 解得：r＝1， ∴S阴影＝S扇形OCD． 故选：A． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般． 19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，AE＝2，求阴影部分面积． 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠BCO＝∠B，根据圆周角定理得出∠B＝∠D，再求出答案即可； （2）根据垂径定理求出CE＝2，再根据勾股定理求出OC，进一步即可求得OE，利用直角三角函数求得∠AOC＝60°，然后根据S阴影＝S扇形AOC﹣S△COE求解即可． 【解答】（1）证明：∵OC＝OB， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB 是⊙O的直径，CD⊥AB于点E， ∴， ∵， ∴， 在Rt△OCE 中，OC2＝CE2+OE2， ∴， 解得：r＝4（负数舍去）， ∴OC＝OA＝4， ∴OE＝4﹣2＝2， ∴tan， ∴∠AOC＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△COEπ﹣2． 【点评】本题考查了扇形的面积，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质定理，明确S阴影＝S扇形AOC﹣S△COE是解此题的关键． 20．如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE． （1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π） （2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数． 【分析】（1）利用扇形面积公式和三角形面积公式求得即可； （2）由SAS证△EAB≌△DAC可得∠AEB＝∠ADC＝110°，证△EAD为等边三角形，则∠AED＝60°，继而得出答案． 【解答】解：（1）∵AD＝AE＝1，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴S△ADE， ∴S阴影； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE， ∴∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC， ∴∠EAB＝∠DAC， 在△EAB和△DAC中， ， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠AEB＝∠ADC＝110°， ∵∠DAE＝60°，AE＝AD， ∴△EAD为等边三角形， ∴∠AED＝60°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝110°﹣60°＝50°． 【点评】本题主要考查扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质，证得三角形的全等是解题的关键． ▲1.弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 扇形面积公式 ▲2.扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.9弧长与扇形的面积 导学案 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程。 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算。 学习重点：应用弧长与扇形面积公式解决实际问题，熟练掌握比例关系。 学习难点：公式背后的推理过程及对圆心角在计算中的准确运用。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①已知⊙O的半径为R，⊙O的周长是多少？⊙O的面积是多少？ ②什么叫圆心角？ 在圆心，角的两边分别与圆还有一个交点,这样的角叫做圆心角. 2.情景引入 问题1:你注意到了吗，在运动会的4×100米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 你知道怎样来计算弯道的“展直长度”吗？ 问题2:如图所示，在一块五边形绿化园地的五个角都建有半径为2m的圆形喷水池，你能求出这五个喷水池占去的绿化园地的面积是多少吗？ 新知自研：自研课本第100--101页的内容． 【学法指导】 自研课本P100-101页的内容，思考： ●探究一：弧长的计算 ◆1.议一议 如图所示，某传送带的一个转动轮的半径为10cm. （1）转动转轮一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （2）转轮转动1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ （3）转轮转动n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 【分析】（1）转动轮转一周，传送带上的物品应被传送的实际距离是转动轮的 ． （2）转动轮转1°，可以表示成360°的圆心角的，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的 ． （3）转动轮转n°，可以表示成360°的圆心角的，所以传送带上的物品A被传送的距离也应该是整个圆周长的 ． 【解答】 ◆2.知识归纳 弧长公式 半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为: . 注意：(1)用弧长公式l=进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带 的. (2)区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在 中，才可能是等弧． ◆3.练一练 如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面.为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为(　　) A.cm B.cm C.cm D．7πcm ●探究二：扇形面积的计算 ◆1.想一想 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗． （1）这只狗的最大活动区域有多大？ （2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 思考：类比弧长公式的推导过程，你能推导出扇形的面积计算公式吗？ 如果圆的半径为R，则圆的面积为 ， 1°的圆心角对应的扇形面积为 ， n°的圆心角对应的扇形面积为n∙ ＝ ． ◆2.知识归纳 扇形面积公式 如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为 . 注意：①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. ◆3.想一想 （1）比较弧长公式与扇形面积公式之间有什么关系？ （2） 扇形的面积公式与什么公式类似？ ◆4.练一练 一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 扇形AOB的半径为12cm，∠AOB= 120°，求的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1). 例2 如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是(　　) A.－2 B．2π－2    C.－ D.－ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论弧长和扇形面积公式的推导过程； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图，是的直径，点为上一点，且，，则劣弧的长为（　　） A. B. C. D. 2.如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 3.如图，⊙O及两个半径为1的⊙O1和⊙O2两两外切，切点分别为 A，B，C，且∠O=90°，则的长为（ ） A. B. C. D. 4.如图，每个圆的半径都是1 cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为（　　） A. π B. π C. π D.π 5. (1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于π，则该扇形的半径是______； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为________． 6.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是_____c. 7. 如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为_______cm. 8. 如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8 cm，P是直径AB上的任意一点． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 9.如图，OA、OB是某墙角处的两条地脚线，夹角∠AOB=150°，一根4m长的绳子一端拴在墙角O处（OA＞4m，OB＞4m），另一端拴一只小狗，小狗在地面上活动，求 （1）小狗可活动的最大区域图形的周长； （2）小狗可活动的最大区域图形的面积（结果保留π）． 题型一： 利用公式求弧长 1．已知一个扇形的圆心角为150°，半径是6，则这个扇形的弧长是（　　） A．3π B．4π C．5π D．6π 2．中国古代的文人士大夫喜欢在折扇上题词作画，即使折扇受损失去其纳凉功能，也会被人们揭裱保存成为收藏品．如图是一把题了字画的折扇，折扇的骨柄OA长为21cm，折扇张开后的扇形圆心角∠AOB为150°，则的长为（　　） A．17.5πcm B．18.5πcm C．16.5πcm D．17πcm 3．（2024•沁水县二模）传送带是一种传送系统，可以运输各种形状的物料．如图，已知某一条传送带转动轮的半径为20cm，如果该转动轮转动了两周后又转过120°，那么传送带上的物体A被传送的距离为（物体A始终在传送带上）（　　） A． B．40πcm C．80πcm D． 题型二： 列方程求圆心角或半径 4．一条弧所对的圆心角为120°，弧长等于6πcm，则这条弧的半径为 　 　． 5．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为　 　度． 6．若一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的半径是 　　 cm． 7．已知一条弧长为30π，它所对的圆心角为150°，则这条弧所在的圆的半径为 　 　． 题型三： 利用弧长公式求周长 8．某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以正△ABC的三个顶点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形）．若已知AB＝5，则此莱洛三角形的周长为（　　） A．6π B． C．5π D． 9．如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 　． 10．如图，△ABC是边长为12的等边三角形，分别以点A、B、C为圆心，以4为半径画弧，则图中阴影部分图形的周长为 　 　.（结果保留π） 题型四: 利用公式求扇形面积 11．圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（　　）cm2． A．π B．3π C．9π D．6π 12．在一个直径为6cm的圆中，小明画了一个圆心角为120°的扇形，则这个扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 13．已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　 　cm2． 题型五 列方程求扇形圆心角或半径 14．已知一个扇形的面积是240π，弧长是20π，则这个扇形的半径为（　　） A．22 B．22π C．24 D．24π 15．如图，AB是⊙O的直径，CD垂直OB交⊙O于C，D两点，∠ABC＝60°，图中阴影部分的面积，则⊙O的半径为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 16．一个扇形的圆心角为60°，该扇形面积为6πcm2，则该扇形的半径为 　 　cm． 题型六 求阴影部分的面积 17．如图，点B在半圆O上，直径AC＝10，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5π B．π C．10π D． 18．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆O的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若，AE＝2，求阴影部分面积． 20．如图，D是等边△ABC内的一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE和扇形EAD，连接CD、BE、DE． （1）若AD＝1，求阴影部分的面积；（结果保留根号和π） （2）若∠ADC＝110°，求∠BED的度数． ▲1.弧长公式： （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 扇形面积公式 ▲2.扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形 或S扇形 （其中l为扇形的弧长） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $