19.2 平行四边形 同步复习讲义2025-2026学年沪科版数学八年级下册

本讲义聚焦平行四边形核心知识，以三角形中位线定理为基础，系统梳理平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线互相平分）、判定方法（边、角、对角线条件）及判定与性质的综合应用，延伸至平行线分线段成比例，构建递进式学习支架。 资料通过生活实例（如测量水塘距离）培养数学眼光，设计多样证明与计算题提升推理能力（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖不同难度，帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第19章 19.2 平行四边形 题型1 三角形中位线定理 题型2 平行四边形的性质 题型3 平行四边形的判定 题型4 平行四边形的判定与性质 题型5 平行线分线段成比例 ▉题型1 三角形中位线定理 【知识点的认识】 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 1．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（　　） A．4 B．5 C．2 D．2 3．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝13，则DF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 4．如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点D、E，量得DE＝10m，则A、B之间的距离是（　　） A．5m B．10m C．20m D．40m 5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的直线距离，在地面上确定可直线到达点A、点B的点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20m，则A，B之间的直线距离是（　　） A．25m B．30m C．35m D．40m 6．如图，小明为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，且DE＝30m，从而计算出A，B两点间的距离是（　　） A．30m B．40m C．60m D．90m 7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出它们的中点M、N．若测得MN＝16m，则A、B两点的距离为 　 ． ▉题型2 平行四边形的性质 【知识点的认识】 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 8．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 9．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝115°，则∠MCD的度数是（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝65°，求∠DAF＝（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 12．如图是一个破损的平行四边形ABCD纸片，已知∠B＝80°，则破损的∠D的度数是（　　） A．80° B．100° C．85° D．95° 13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） A． B．6 C．8 D． 14．如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，∠ABC＝120°，∠ADC的平分线DE交AB于点E，AB＝2AD，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE：BD：6；⑤S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝3，AE＝2，则DE的长为（　　） A． B． C．5 D．6 16．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（　　） A．0＜m＜10 B．0＜m＜6 C．4＜m＜6 D．2＜m＜8 17．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　　） A．10 B．5 C． D．2 18．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OB的长为（　　） A． B．6 C．7 D． 20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD 21．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝2，AF＝3，且▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．12 D．24 22．在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 23．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE＝CD，∠B＝62°，则∠DEC的度数为（　　） A．62° B．57° C．59° D．60° 24．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A．16 B．14 C．20 D．24 25．在▱ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A等于（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 26．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 27．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC交AD于点M，如果△CDM的周长是14cm，则▱ABCD的周长为（　　） A．28cm B．36cm C．42cm D．48cm 28．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 29．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC⊥AB，则▱ABCD的面积是（　　） A．12 B．20 C．24 D．40 30．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线，交点为点O，EF＝1，则OB2+OC2＝（　　） A．5 B．10 C．9 D．12 31．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC的平分线交AD于点E，ED＝3，则BC等于（　　） A．2 B．7 C．4 D．5 32．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．13 D．14 33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．4 34．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AC＝4，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 35．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE．下列说法正确的有（　　） ①S▱ABCD＝AB•BD； ②AC平分∠BCD； ③AB＝DE； ④S△CDE＝S△BOC． A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 36．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 37．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE、BE，若AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，AE＝8，BE＝6，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C．40 D．48 38．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝68°，则∠CDE的度数为 　 ． 39．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，点E是AD的中点，点F在线段CD上，连接EF，BF，若∠FBC＝15°，∠EFD＝60°，时，AB的长度为 ． ▉题型3 平行四边形的判定 【知识点的认识】 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 40．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 41．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 42．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 43．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD 44．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 45．如图，在7×7的正方形网格图中，将△ABC平移到△DEF的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：线段BE的长可以看作平移的最短距离； 乙：连接AD，CF，四边形ADFC是平行四边形． A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 46．下面是嘉淇同学的不完整的推理过程： ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 又∵※， ∴四边形ABCD为平行四边形． 为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（　　） A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC 47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　 　 ． 48．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． ▉题型4 平行四边形的判定与性质 【知识点的认识】 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 49．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝6．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 51．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，CE，则下列结论： ①△ABD≌△ACE；②四边形BDEF是平行四边形；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝1．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等，邻角互补 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 55．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 ▉题型5 平行线分线段成比例 【知识点的认识】 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 56．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 19.2 平行四边形 题型1 三角形中位线定理 题型2 平行四边形的性质 题型3 平行四边形的判定 题型4 平行四边形的判定与性质 题型5 平行线分线段成比例 ▉题型1 三角形中位线定理 【知识点的认识】 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DEBC． 1．如图，△ABC中，M是BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，若AB＝4，AC＝6，则MD等于（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：延长BD交AC于H， 在△ADB和△ADH中 ， ∴△ADB≌△ADH（ASA） ∴AH＝AB＝4，BD＝DH， ∴HC＝AC﹣AH＝6﹣4＝2， ∵BD＝DH，BM＝MC， ∴DM是△BCH的中位线， ∴， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长是（　　） A．4 B．5 C．2 D．2 【答案】D 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， 由勾股定理得：AB4， ∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB＝2． 故选：D． 3．如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，若AC＝6，BC＝13，则DF的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【解答】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DEBC13＝6.5，DE∥BC， ∴∠EFC＝∠BCF， ∵CF平分∠ACB， ∴∠ECF＝∠BCF， ∴∠EFC＝∠ECF， ∴EF＝EC， ∵E是AC的中点， ∴CEAC6＝3， ∴EF＝3， ∴DF＝DE﹣EF＝6.5﹣3＝3.5． 故选：B． 4．如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点D、E，量得DE＝10m，则A、B之间的距离是（　　） A．5m B．10m C．20m D．40m 【答案】C 【解答】解：∵点D、E分别为OA、OB的中点， ∴DE是△OAB的中位线， ∴AB＝2DE＝2×10＝20（m）， 故选：C． 5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的直线距离，在地面上确定可直线到达点A、点B的点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝20m，则A，B之间的直线距离是（　　） A．25m B．30m C．35m D．40m 【答案】D 【解答】解：∵点C，D分别为OA，OB的中点， ∴CD为△OAB的中位线， ∴AB＝2CD＝2×20＝40（m）， 故选：D． 6．如图，小明为了测量某湖两岸A，B两点间的距离，先在AB外选定一点C，然后测量得到CA，CB的中点D，E，且DE＝30m，从而计算出A，B两点间的距离是（　　） A．30m B．40m C．60m D．90m 【答案】C 【解答】解：连接AB， ∵D、E分别是AC、BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB， ∵DE＝30m， ∴AB＝60（m）， 即A、B两点间的距离是60m， 故选：C． 7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出它们的中点M、N．若测得MN＝16m，则A、B两点的距离为 　32m ． 【答案】32m． 【解答】解：∵M、N分别是AC和BC的中点， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AB＝2MN＝2×16＝32（m）． 故答案为：32m． ▉题型2 平行四边形的性质 【知识点的认识】 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 8．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　） A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°， 即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D， 故选：D． 9．如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝115°，则∠MCD的度数是（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝115°， ∴∠MCD＝180°﹣∠BCD＝65°． 故选：C． 10．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝3，BC∥AD， ∴∠CBE＝∠AEB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝3， 同理：FD＝CD＝3， ∴AF＝AD﹣FD＝4﹣3＝1， ∴EF＝AE﹣AF＝3﹣1＝2． 故选：B． 11．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝65°，求∠DAF＝（　　） A．15° B．25° C．35° D．45° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝65°， ∴∠B＝∠D＝65°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AFD＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠D＝25°． 故选：B． 12．如图是一个破损的平行四边形ABCD纸片，已知∠B＝80°，则破损的∠D的度数是（　　） A．80° B．100° C．85° D．95° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝80°． 故选：A． 13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AE＝4，DE＝3，AB＝5，则AC的长为（　　） A． B．6 C．8 D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝5，OA＝OC， ∵OE⊥AC ∴CE＝AE＝4， ∵DE＝3， ∴CE2+DE2＝42+32＝25，CD2＝25， ∴CE2+DE2＝CD2， ∴△EDC是直角三角形，∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AC4， 故选：A． 14．如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，∠ABC＝120°，∠ADC的平分线DE交AB于点E，AB＝2AD，连接OE．下列结论：①S▱ABCD＝AD•BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE：BD：6；⑤S△ADE＝5S△OFE，其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：在▱ABCD中， ∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴， ∴E是AB的中点， ∴DE＝BE， ∴， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD， ∴S▱ABCD＝AD•BD，故①正确； ∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°， ∴∠CDB＝∠CDE﹣∠BDE＝60°﹣30°＝30°， ∴∠CDB＝BDE， 故DB平分∠CDE，故②正确； 依据Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE，故③错误； ∵O是BD中点，E为AB中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴，OE∥AD， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴，故④正确； ∵OE∥AD， ∴△ADF∽△OEF， ∴， ∴S△ADF＝4S△OEF，S△AEF＝2S△OEF ∴S△ADE＝S△ADF+S△AEF＝6S△OEF，故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选：B． 15．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝3，AE＝2，则DE的长为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，AB＝3， ∴AB∥CD，AB＝CD＝3，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠BAD+∠CDA＝180°，∠DAE＝∠AEB，∠ADE＝∠CED， ∴，， ∴，∠BAE＝∠AEB，∠DEC＝∠CDE， ∴AB＝BE＝3，CD＝EC＝3， ∴BC＝BE+CE＝3+3＝6＝AD， ∵AE＝2， ∴． 故选：B． 16．平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边长m的取值范围为（　　） A．0＜m＜10 B．0＜m＜6 C．4＜m＜6 D．2＜m＜8 【答案】D 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝10， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝5， 在△AOB中，由三角形的三边关系得：OB﹣OA＜m＜OB+OA， 即5﹣3＜m＜5+3， ∴2＜m＜8， 故选：D． 17．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（　　） A．10 B．5 C． D．2 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AC＝6， ∴，BO＝DO， ∵AC⊥AB， ∴三角形ABO是直角三角形， 在直角三角形ABO中，由勾股定理得：， ∴BD＝2BO＝10， 故选：A． 18．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】D 【解答】解：设BC＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵▱ABCD的周长为40， ∴BC+CD＝20， ∴CD＝20﹣x， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF， ∴4x＝6（20﹣x）， 解得：x＝12， ∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×4＝48． 故选：D． 19．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC，AB＝10，BC＝8，则OB的长为（　　） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【解答】解：∵AC⊥BC，AB＝10，BC＝8， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴， ∴， 故选：A． 20．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　） A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCDF是平行四边形， ∴OA＝OC， 故选项B一定正确． 故选：B． 21．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝2，AF＝3，且▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【解答】解：设BC＝x，CD＝y． 则有， 解得， ∴平行四边形ABCD的面积＝BC•AE＝2×6＝12． 故选：C． 22．在▱ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1：2，则∠C的度数是（　　） A．120° B．100° C．80° D．60° 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠C＝∠A， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A与∠B的度数之比为1：2， ∴∠B＝2∠A， ∴∠A+2∠A＝180°， ∴∠C＝∠A＝60°， 故选：D． 23．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE＝CD，∠B＝62°，则∠DEC的度数为（　　） A．62° B．57° C．59° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝62°（平行四边形的对角相等）， ∵CE＝CD（已知）， ∴∠DEC＝∠D＝62°， 故选：A． 24．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则▱ABCD的周长是（　　） A．16 B．14 C．20 D．24 【答案】C 【解答】解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE， ∵▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CED， ∴∠CDE＝∠CED， ∴CE＝CD， ∵在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2， ∴AD＝BC＝6， ∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4， ∴CD＝AB＝4， ∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20． 故选：C． 25．在▱ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A等于（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝∠C＝50°， 故选：B． 26．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，且▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．48 【答案】A 【解答】解：∵▱ABCD的周长为20， ∴2（BC+CD）＝20， ∴BC+CD＝10， 设BC＝x，则CD＝10﹣x， 在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若AE＝4，AF＝6，如图，连接AC，则S△ABC＝S△ACD， ∴BC•AECD•AF，即：4x6（10﹣x）， 解得：x＝6， ∴▱ABCD的面积为BC•AE＝6×4＝24， 故选：A． 27．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC交AD于点M，如果△CDM的周长是14cm，则▱ABCD的周长为（　　） A．28cm B．36cm C．42cm D．48cm 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴CB＝AD，AB＝CD，OA＝OC， ∵OM⊥AC交AD于点M， ∴OM垂直平分AC， ∴AM＝CM， ∴AD＝AM+DM＝CM+DM， ∵△CDM的周长是14cm， ∴AD+CD＝CM+DM+CD＝14cm， ∴CB+AB+AD+CD＝2（AD+CD）＝28cm， ∴▱ABCD的周长为28cm， 故选：A． 28．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，BE＝CD，连接AE，∠D＝50°，则∠DAE的度数为（　　） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】A 【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D＝50°． ∵AB＝CD，BE＝CD， ∴AB＝BE． ∴∠BAE＝∠BEA＝65°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝65°， 故选：A． 29．如图，在▱ABCD中，AB＝4，BD＝10，AC⊥AB，则▱ABCD的面积是（　　） A．12 B．20 C．24 D．40 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，，， ∵AC⊥AB， ∴∠BAD＝∠ACD＝90°， ∴， ∴AC＝2OA＝6， ∴． 故选：C． 30．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线，交点为点O，EF＝1，则OB2+OC2＝（　　） A．5 B．10 C．9 D．12 【答案】C 【解答】解：∵BF、CE分别是∠ABC与∠BCD的角平分线， ∴∠ABF＝∠CBF，∠DCE＝∠BCE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝2，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠AFB＝∠FBC，∠DEC＝∠BCE，∠ABC+∠BCD＝180°， ∴AB＝AF＝2，CD＝DE＝2，∠FBC+∠ECB＝90°， ∴AD＝AF+DE﹣EF＝3＝BC，∠BOC＝90°， ∴OB2+OC2＝BC2＝9， 故选：C． 31．如图，在▱ABCD中，AB＝4，∠ABC的平分线交AD于点E，ED＝3，则BC等于（　　） A．2 B．7 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠EBC， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴AB＝AE＝4， BC＝AD＝AE+ED＝4+3＝7． 故选：B． 32．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．13 D．14 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18， ∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC， ∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF， 在△AEO与△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF， ∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF ＝DE+CF+CD+EF ＝AD+CD+EF ＝9+3 ＝12， 故选：A． 33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，EF过点O，交AD于点F，交BC于点E．若AB＝3，AC＝4，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．1.5 B．3 C．6 D．4 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AD＝5， ∴BC＝AD＝5，AD∥BC，OC＝OA，， ∵AB＝3，AC＝4， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴S△AODOA•CD3， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（ASA）， ∴S△BOE＝S△DOF， 则图中阴影部分的面积是＝S△AOF+S△BOE＝S△AOF+S△DOF＝S△AOD＝3， 故选：B． 34．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC．若BD＝8，AC＝4，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在▱ABCD中，AC⊥BC，BD＝8，AC＝4， ∴，， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AB2， 故选：B． 35．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC 于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE．下列说法正确的有（　　） ①S▱ABCD＝AB•BD； ②AC平分∠BCD； ③AB＝DE； ④S△CDE＝S△BOC． A．①② B．②③ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，BC＝AD，AB＝CD，OB＝OD， ∴∠CED＝∠ADE， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠ADE， ∴∠CED＝∠CDE， ∴CE＝CD， ∵∠BCD＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴DE＝CD，∠CED＝∠CDE＝60°， ∴AB＝DE， 故③符合题意； ∵AD＝2AB， ∴BC＝2CE， ∴BE＝CE＝DE， ∴∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD+∠EDB＝∠CED， ∴2∠EDB＝60°， ∴∠EDB＝30°， ∴∠BDC＝60°+30°＝90°， ∴BD⊥CD， ∴▱ABCD的面积＝CD•BD＝AB•BD， 故①符合题意； ∵AD＞CD， ∴∠ACD＞∠CAD， ∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴∠ACD＞∠ACB， 故②不符合题意； ∴E是BC的中点， ∵O是BD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴OE∥CD， ∴△CDE的面积＝△OCD的面积， ∵OB＝OD， ∴△BOC的面积＝△OCD的面积， ∴△CDE的面积＝△BOC的面积， 故④符合题意， ∴说法正确的有①③④． 故选：D． 36．如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至点E，若∠DCE＝55°，则∠BAD度数为（　　） A．125° B．115° C．55° D．135° 【答案】A 【解答】解：∵∠DCE＝55°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣55°＝125°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠DCB＝125°， 故选：A． 37．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE、BE，若AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线，AE＝8，BE＝6，则平行四边形ABCD的周长为（　　） A．24 B．30 C．40 D．48 【答案】B 【解答】解：∵AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线， ∴∠DAE＝∠EAB∠DAB，∠CBE＝∠ABE∠CBA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB， ∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠EBA， ∴∠DAE＝∠DEA，∠CEB＝∠CBE， ∴AD＝DE，BC＝EC， ∴AD+BC＝DE+CE＝CD． ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠CBA＝180°， ∴∠EAB+∠EBA＝90°， ∵AE＝8，BE＝6， ∴AB10， ∴▱ABCD的周长＝AD+DC+BC+AB＝3AB＝30． 故选：B． 38．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝68°，则∠CDE的度数为 　24°　 ． 【答案】24° 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠B＝68°， ∴∠B+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B＝68°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝68°（两直线平行，同位角相等）， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠DAE＝68°， ∴∠ADE＝180°﹣2×68°＝44°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝68°﹣44°＝24°， 故答案为：24°． 39．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，点E是AD的中点，点F在线段CD上，连接EF，BF，若∠FBC＝15°，∠EFD＝60°，时，AB的长度为 　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：如图，延长FE交BA的延长线于点T，过点E作EH⊥DF于点H． ∵E是AD的中点， ∴AE＝ED， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝45°， ∴∠T＝∠EFD，∠TAE＝∠D， ∴△AET≌△DEF（AAS）， ∴AT＝DF，ET＝EF， ∵EH⊥DF， ∴DH＝EHDE， ∵∠EFD＝60°， ∴∠FEH＝30°， ∴EF＝2FH， ∵EF2＝EH2+FH2， ∴4FH2＝FH2+3， ∴FH＝1，EF＝TE＝2， ∴DF＝AT＝1， ∵∠FBC＝15°，∠ABC＝45°， ∴∠ABF＝BFC＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴BT＝2FT＝8， ∴AB＝BT﹣AT＝8﹣（1）＝7． 故答案为：7． ▉题型3 平行四边形的判定 【知识点的认识】 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 40．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD＝BC C．AB∥DC，∠BAD＝∠BCD D．OA＝OC，OB＝OD 【答案】B 【解答】解：A、∵AB＝DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AB∥DC，AD＝BC， ∴四边形ABCD不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 41．根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； B、∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°， ∴AD∥BC， ∵AB＝CD， ∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意； D、∠ACB＝∠CAD＝40°， ∴AD∥BC， ∵∠ABD＝∠BDC＝35°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意； 故选：C． 42．下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CD C．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 【答案】C 【解答】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 故选：C． 43．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AD＝BC，OB＝OD B．AB＝CD，AC＝BD C．AB∥CD，OA＝OC D．AB＝CD，BC∥AD 【答案】C 【解答】解：A、AB∥CD，OB＝OD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、AB＝CD，AC＝BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵AB∥CD， ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， 在△ABO和△CDO中， ， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故本选项符合题意； D、AB＝CD，BC∥AD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 44．在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（　　） A．2 B．3 C．2或6 D．3或6 【答案】C 【解答】解：①点E从点A出发，沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts， 当点F在C的左侧时， 根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝（6﹣2t）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时， 根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝（2t﹣6）cm， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2s或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：C． 45．如图，在7×7的正方形网格图中，将△ABC平移到△DEF的位置，对于甲、乙的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：线段BE的长可以看作平移的最短距离； 乙：连接AD，CF，四边形ADFC是平行四边形． A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 【答案】C 【解答】解：∵将△ABC平移到△DEF的位置，平移的距离等于线段BE的长， ∴线段BE的长可以看作平移的最短距离，甲的说法正确； ∴AD＝CF，AD∥CF， ∴四边形ADFC是平行四边形，乙的说法正确， ∴甲和乙的说法均正确． 故选：C． 46．下面是嘉淇同学的不完整的推理过程： ∵∠A+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 又∵※， ∴四边形ABCD为平行四边形． 为了使嘉淇的推理成立，则“※”处应补充的条件是（　　） A．∠B+∠C＝180° B．AB＝CD C．∠A＝∠B D．AD＝BC 【答案】B 【解答】解：添加∠B+∠C＝180°后可得AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， 仅一组对边平行，无法证明四边形ABCD是平行四边形， 故A选项错误，不合题意； 添加AB＝CD后可得AB＝CD， AB∥CD满足一组对边平行且相等， 可证四边形ABCD是平行四边形， 故B选项正确，符合题意； 添加∠A＝∠B后，∠A＝∠B＝50°， 四边形ABCD为等腰梯形，不是平行四边形． 故C选项错误，不合题意； 添加AD＝BC后，满足一组对边平行，另一组对边相等， 不能证明四边形ABCD是平行四边形． 故D选项错误，不合题意； 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 47．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为 　2或3.5　 ． 【答案】2或3.5 【解答】解：∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝9， ∵AD∥BC， ∴PD＝QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， ①当Q运动到E和C之间时， 则得：9﹣3t＝5﹣t， 解得：t＝2， ②当Q运动到E和B之间时， 则得：3t﹣9＝5﹣t， 解得：t＝3.5； ∴当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：2或3.5． 48．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　2或6　 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】2或6 【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． ▉题型4 平行四边形的判定与性质 【知识点的认识】 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 49．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝6．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC，故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝150°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝4， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）， ∴AB＝EF＝AD＝3， ∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误； 过A作AG⊥DF于G，如图所示： 则∠AGD＝90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°， ∴AGAD， ∴S▱AEFD＝DF•AG＝46，故④正确； 故选：C． 50．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝16cm，∠ABC的平分线交AD于点F，点E是BC的中点，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以每秒2cm的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为（　　） A．2s B．5s C．2s或 D．5s或 【答案】C 【解答】解：∵平行四边形ABCD，BF是∠ABC的平分线， ∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF， ∴AF＝AB＝6， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴点P运动到F时间为6÷1＝6s，点Q运动到E时间为8÷2＝4s， 当0≤t＜4时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝8﹣2t， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝8﹣2t， 解得，t＝2， 当4≤t＜6时，AP＝t，CQ＝2t，则PF＝6﹣t，QE＝2t﹣8， 当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，PF＝QE， ∴6﹣t＝2t﹣8， 解得，， 综上所述，当以P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为2s或， 故选：C． 51．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，CE，则下列结论： ①△ABD≌△ACE；②四边形BDEF是平行四边形；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：作CH⊥EF于H． ∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确； ∴BD＝EC＝1，∠ACE＝∠ABD＝60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFC＝∠ACB＝60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴CH，EF＝EC＝BD， ∵EF∥BD， ∴四边形BDEF是平行四边形，故②正确， ∵S平行四边形BDEF＝BD•CH，故③正确， ∵AC＝BC＝3，BD＝CF＝1， ∴CD＝2BD，AF＝2CF， ∵S△ABD1， ∴S△AEFS△AECS△ABD，故④错误， ∴①②③都正确， 故选：C． 52．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的中点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，过点E作EF⊥AB于点F，G为CE的中点，给出结论： ①；②BG＝FG；③四边形AEBG是平行四边形；④∠CAE+∠BGF＝180°．其中正确的所有选项是（　　） A．①② B．③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【解答】解：延长EF交AC于M，作GN⊥AB于N， ∵BDAB，DB＜DC， ∴CDAB， 故①不符合题意； ∵EF∥NG∥BC，EG＝CG， ∴FN＝NB， ∵GN⊥AB， ∴FG＝GB， 故②符合题意； ∵∠EAF＝∠MAF，AF＝AF，∠AFE＝∠AFM， ∴△AEF≌△AMF（ASA）， ∴FE＝FM， ∵EG＝GC， ∴FG∥AC， ∴∠GFB＝∠CAB， ∴∠GBF＝∠EAB， ∴EA∥BG， ∵∠EAD＝∠DBG，AD＝BD，∠ADE＝∠BDG， ∴△AED≌△BGD（ASA）， ∴AE＝BG， ∴四边形AEBG是平行四边形， 故③符合题意； ∵∠BFG+∠FBG+∠FGB＝180°， ∠EAF＝∠MAF＝∠BFG＝∠GBF， ∴∠EAC+∠FGB＝180°， 故④符合题意， 故选：D． 53．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝110°；④S四边形AEFD＝1．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC，故①正确； ∵△ABD，△ACE都是等边三角形， ∴∠DAB＝∠EAC＝60°， ∴∠DAE＝150°， ∵△ABD和△FBC都是等边三角形， ∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC， 在△ABC与△DBF中， ， ∴△ABC≌△DBF（SAS）， ∴AC＝DF＝AE＝4， 同理可证：△ABC≌△EFC（SAS）， ∴AB＝EF＝AD＝3， ∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确； ∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③错误； 过A作AG⊥DF于G，如图所示： 则∠AGD＝90°， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°， ∴AGAD， ∴S▱AEFD＝DF•AG＝46，故④错误； ∴正确的个数是2个， 故选：B． 54．下列关于平行四边形的说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角相等，邻角互补 B．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解答】解：∵平行四边形的对角相等，且两组对边分别平行， ∴平行四边形的邻角互补， 故A不符合题意； 如图1，△ABE中，AE＝AB，在BE上取一点C，使CE≠BC，作AC的垂直平分线交AE于点F，连接并延长CF到点D，使DF＝EF，连接AD， ∵CF＝AF，DF＝EF， ∴CF+DF＝AF+EF， ∴CD＝AE＝AB， 在△AFD和△CFE中， ， ∴△AFD≌△CFE（SAS）， ∴∠D＝∠E＝∠B， ∴四边形ABCD是一组对边相等，一组对角相等的四边形，但四边形ABCD不是平行四边形， ∴一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形， 故B符合题意； 如图2，AD∥BC，∠A＝∠C，∵∠A+∠B＝180°， ∴∠C+∠B＝180°， ∴CD∥AB， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴一组对平行，一组对角相等的四边形是平行四边形， 故C不符合题意； 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 55．如图，AC是▱ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连接GH、EH．则下列结论：①BE＝DF；②四边形GBHD是平行四边形；③∠GAC＝∠DHC；④GH平分▱ABCD的周长；⑤S△ABE＝S△EHC，其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAB＝∠FCD，∠GAE＝∠FCH， ∵BG⊥AC，DH⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△AEB≌△∠CFD（AAS）， ∴BE＝DF，AE＝CE，故①正确； ∵∠GAE＝∠FCH，∠AEG＝∠CFH， ∴△GAE≌△∠FCH（ASA）， ∴AG＝CH， ∴AD＝AG＝CB﹣CH，即GD＝BH， ∴四边形GBHD是平行四边形，故②正确； ∵∠GAC＝∠ACH，而∠ACH不一定等于∠DHC， 故③错误； ∵AG＝CH，GD＝HB， ∴AG+AB+BH＝GD+DC+CH， 故GH平分▱ABCD的周长， 故④正确； 如图，过点E作EM⊥AD，并延长ME交BC于点N， ∵AD∥BC， ∴MN⊥BC， 则S△ABE＝S△ABG﹣S△AEG， ， ∵AG＝CH， ∴S△ABE＝S△EHC， 故⑤正确，故正确的有4个， 故选：C． ▉题型5 平行线分线段成比例 【知识点的认识】 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 56．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm，则BF的长为（　　） A．27cm B．50cm C．72cm D．80cm 【答案】C 【解答】解：已知AB∥CD∥EF，AC＝50cm，CE＝30cm，BD＝45cm， ∴， ∴， 解得：DF＝27cm． ∴BF＝BD+DF＝72cm， ∴BF＝BD+DF＝72cm， 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $