精品解析：湖北枣阳市第二中学2026届高三年级上学期2月月考（期末）数学试题

湖北枣阳市第二中学2026届高三年级上学期2月月考（期末）数学试题 考试时间：120分钟；命题人：董娟 注意事项： 1答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效： 4请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求集合 ，再根据集合的交集定义得出答案. 【详解】，故， 故选：C. 2. 若复数满足为虚数单位)，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算先求出复数再写出其共轭复数最后求模即可. 【详解】因为，所以，，所以. 故选：B 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求出，则 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以 则； 故选B 4. 已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（ ） A. 5 B. 16 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据各项系数和求得的值，进而由二项式定理求得的系数即可. 【详解】因为的展开式中各项系数的和为243， 则令，代入可得，解得，所以二项式为， 则该二项式展开式的通项为，， 令得，则该展开式中的项的系数为. 故选：D 5. 如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程，再利用两直线垂直斜率关系和中点由点斜式求解即可. 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 6. 已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义及运算律，以及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则 所以，因此充分性成立. 若，则， 即，即， 从而，因此必要性成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：A. 7. 若，，则实数、、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 8. 已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定几何体，并表示体积公式，结合导数求解. 【详解】设，不妨设， 则过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周， 所得几何体为同底等高的一个圆柱体与圆锥的组合体，底面半径为，高为， 则所得几何体的体积为， 令，， 由，可得， 由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在时取得最大值， 即时， 取得最大值，此时， 所以线段的长度为 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（ ） A. 在上单调递增 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象与性质，利用验证法，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：由，得， 又函数在上单调递增，故A正确； B：由，可知的最小正周期为，故B错误； C：，所以的图象关于直线对称，故C正确； D：，所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD． 10. 在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. C. 四面体的体积为定值 D. 存在点P，使得平面平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；由线线垂直证线面垂直，再证线线垂直可判断B；根据直线与平面的位置关系可判断C；建系可判断D. 【详解】对于A，因为，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以，故B正确； 对于C，因为平面，， 所以与平面相交，即点P到平面的距离h不是定值， 因为，为定值，所以四面体的体积不为定值，故C错误； 对于D，以A为坐标原点，分别以AB，AD，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， 则，，，，设， 则，，，， 设平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 平面的法向量为， 由，取，则，，所以， 若存在点P，使得平面平面， 则， 因为，所以无解， 所以不存在点P，使得平面平面，故D错误. 故选：AB. 11. 已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】A选项，中，得，即，解得，A正确； B选项，因为时，， 由得，即， 所以为公差为1的等差数列，首项为， 所以，故，B错误； C选项，当时，， 当时，若， ； 若， ； 若， ； 若， ； 综上，C正确； D选项，的取值有四种情况，分别为， 均满足； 当时,若，符合题意； 若，符合题意； 若，符合题意； 若，符合题意； 若， 此时，符合题意； 若， 此时，符合题意； 若， 此时，符合题意； 若， 此时； 综上，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，求得，得到的概率，进而求得学生数学成绩在130分以上的人数，得到答案. 【详解】由题意知，期末考试数学成绩X服从正态分布， 因为，可得， 则， 又因为某地有8000名学生参加考试， 所以估计某地学生数学成绩在130分以上的人数为. 故答案为：. 13. 袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号，分析第一次取出的小球标号，求出相应的概率，即可得解. 【详解】不妨对三个小球进行标记，记为1，2，3号， 若第一次取出的是1号球，两次操作之后袋子里面只剩1号球； 若第一次取出的是2号球，则第二次操作时袋子中有1，2号球，若要让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 若第一次取出的是3号球，则第二次操作时袋子中有1，2，3号球，若让袋子中有2个球，需取2号球才行，其概率为； 综上，袋中剩下2个小球的概率为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】由题意，以为直径的圆的方程为， 不妨设双曲线的渐近线为． 设，则， 由，解得或， ∴，． 又 为双曲线的左顶点，则， ∴，，， 在中，，由余弦定理得， 即，即， 则，所以，则， 即，所以 所以双曲线的离心率为, 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，15題13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，，． （1）求B； （2）若B为锐角， 边上的高为，求的周长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化条件等式先计算A，再利用正弦定理计算即可； （2）根据（1）的结论作出图形，利用直角三角形及三角恒等变换计算，再根据三角形周长公式计算即可. 【小问1详解】 易知， 所以， 因为中，所以， 而， 则或； 【小问2详解】 由上可知，，则， 如图，则， 所以， ，则， 所以 的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为2的菱形，平面 ，分别为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 在菱形 中，，知 为正三角形，又 为线段 的中点，则，即， 平面平面， 又平面平面， 又平面， 为线段的中点，， 又平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由线面垂直的判定定理得到面平面，再由线面垂直的判定定理证明平面即可； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入空间二面角的余弦公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设为平面的法向量，由得 令，则，即， 易知为平面的法向量， ， 由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为. 17. 已知函数，的图象在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）证明:当时，． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程，从而求出； （2）求导，利用导数讨论函数的单调性，进而证明结论． 【小问1详解】 函数求导得， ， 切线方程斜率为， ，解得，则， ，故的图象在点处的切线方程为，即， ． 【小问2详解】 令，则， 令，则， ，， ，单调递增， ，故单调递增， ，即，命题得证． 18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 （1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； （2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为 ，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 【答案】（1）； （2）①分布列： 170 185 200 数学期望为185； ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算. （2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小. 【小问1详解】 设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件 ， 依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同， 由古典概型，得. 【小问2详解】 ①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人， 赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200， ， 所以的分布列如下： 170 185 200 . ②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60， 对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60， 因此， ； ， ， 所以. 19. 已知，动点 到点 的距离比到直线：的距离小 ，记动点 的轨迹为，为上三个不同的点． （1）求的方程； （2）若，且 为的垂心，求的面积； （3）若，，交于点 ，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）判断出点 的轨迹为抛物线，设出抛物线标准方程，求出值即可. （2）根据抛物线焦半径公式求出点 为坐标，得到轴，结合垂心得到 ， 坐标，即可求出三角形面积. （3）设出直线方程，与抛物线联立，结合求出直线所过定点，得到点 的轨迹，进而求出最小值. 【小问1详解】 因为动点 到点 的距离比到直线的距离小 ， 则点 到点 的距离与到直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点 的轨迹是抛物线，且其焦点为 ， 设该抛物线的标准方程为， 所以，可得，所以的方程为. 【小问2详解】 根据抛物线焦半径公式可得， 又，所以，则，即点 为原点， 因为 为的垂心，点 在 轴上，所以，即轴， 设，则， 由，得，解得， 从而的面积为. 【小问3详解】 由题意易知直线斜率不为 ，斜率均存在. 设：，，，， ，同理， 因为，所以，即. 由，整理得，所以，， 则，即， 所以：，过定点. 设，由题知，所以 在以为直径的圆上， 圆心 为，半径为. 又，所以，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北枣阳市第二中学2026届高三年级上学期2月月考（期末）数学试题 考试时间：120分钟；命题人：董娟 注意事项： 1答卷前，请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号； 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5mm黑色签字笔答题； 3.请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效： 4请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、损毁；考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足为虚数单位)，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 27 B. 28 C. 29 D. 30 4. 已知的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（ ） A. 5 B. 16 C. 40 D. 80 5. 如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知均为非零向量，其夹角为，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，，则实数 、 、的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为圆上的动点不在坐标轴上，过P作轴，垂足为Q，将绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，给出下列四个命题中的真命题有（ ） A. 在上单调递增 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 在正方体中，P是棱上的动点不含端点，下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. C. 四面体的体积为定值 D. 存在点P，使得平面平面 11. 已知数列的前项和为，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 某地有8000名学生参加考试，考试后数学成绩近似服从正态分布，若，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为__________. 13. 袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球不再放回，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为__________. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P、Q两点，且，则该双曲线的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，15題13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角的对边分别为，，． （1）求B； （2）若B为锐角， 边上的高为，求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，分别为线段的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 已知函数，的图象在点处的切线方程为． （1）求实数a，b的值； （2）证明:当时，． 18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 （1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； （2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为 ，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 19. 已知，动点到点 的距离比到直线：的距离小 ，记动点的轨迹为，为上三个不同的点． （1）求的方程； （2）若，且 为的垂心，求的面积； （3）若，，交 于点 ，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $