2.2探索直线平行的条件 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学七年级下册

本讲义聚焦“探索直线平行的条件”核心知识点，系统梳理同位角、内错角、同旁内角的识别方法，平行线的定义与位置关系，平行公理及推论，以及平行线的判定定理，形成从角的关系到线的平行的递进式学习支架。 资料通过“F”“Z”“U”形模型直观呈现三类角的结构特征，培养几何直观，设计从基础判断到综合证明的分层练习，发展推理意识，融入折纸、斑马线等实际情境题，强化应用意识。课中助力教师高效授课，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

第二章第二节 探索直线平行的条件 题型1 同位角、内错角、同旁内角 题型2 平行线 题型3 平行公理及推论 题型4 平行线的判定 题型1．同位角、内错角、同旁内角（共15小题） （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 1．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠2是邻补角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠1与∠4是内错角 D．∠1与∠3是对顶角 2．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 3．如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠6是对顶角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 4．下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 5．如图，在所标识的角中，内错角是（　　） A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠1与∠5 6．如图，有下列说法：①∠2与∠4是同位角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列说法中正确的是（　　） A．一个角的余角一定是锐角 B．因为∠1＝∠2，所以∠1 与∠2是对顶角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 8．如图，ED，CM与AO交于C点，OB，ON与AO交于O点，那么下列说法正确的是（　　） ①∠2和∠4是同位角 ②∠1和∠3是同位角 ③∠ACD和∠AOB是内错角 ④∠1和∠4是同旁内角 ⑤∠ECO和∠AOB是内错角 ⑥∠OCD和∠4是同旁内角． A．②③⑤ B．①③⑤ C．②③④ D．①⑤⑥ 9．若∠α与∠β同旁内角，且∠α＝50°时，则∠β的度数为（　　） A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定 10．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（　　） A．∠B与∠2是同旁内角 B．∠A与∠1是同位角 C．∠3与∠A是同旁内角 D．∠3与∠4是内错角 11．如图，能与∠1构成同位角的有　 　 个． 12．如图，给出下列结论： ①∠1与∠2是同旁内角； ②∠1与∠3是同位角； ③∠1与∠4是内错角； ④∠1与∠5是同位角； ⑤∠2与∠4是对顶角， 其中说法正确的是 　 　 ．（填序号） 13．如图，图中同位角一共　 　 对、内错角一共　 　 对、同旁内角有一共　 　 对． 14．如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角． （1）已知∠β是∠α的关联角． ①当∠α＝50°时，∠β＝ 　 　 °； ②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为 　 　 ； （2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．求证：∠DHG是∠BGH的关联角． 15．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，． （1）求∠FOG的度数； （2）写出一个与∠FOG互为同位角的角； （3）直接写出∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和． 题型2．平行线（共11小题） 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 16．下列说法中正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线 B．同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线 C．同一平面内，两条直线不相交就重合 D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线 17．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 18．在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 19．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直 20．下列说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 22．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 23．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．在同一平面内，直线a与b相交于点M，a∥c，那么b与c的关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行与相交 D．不能确定 25．如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有 　 　 条． 26．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 题型3．平行公理及推论（共16小题） （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 27．下列说法错误的个数是（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．a，b，c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么（　　） A．a∥b B．a∥c C．a＝c D．以上全不对 29．经过直线外一点，有几条直线和已知直线平行（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 30．已知直线OA，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（　　） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 31．下列语句： ①不相交的两条直线叫平行线 ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行 ③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行 ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行 正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 32．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180° 33．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 34．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠2 35．下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 36．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 37．如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由 　 　 ． 38．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是　 　 （填序号）． 39．设a、b、c为平面上三条不同直线， （1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 　 　 ； （2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 　 　 ． 40．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 41．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？ 42．如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？ 题型4．平行线的判定（共18小题） （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 43．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 44．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 45．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 46．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个． （1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2； （3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 47．如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5 48．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 49．下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 51．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 52．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：∠B+∠BCD＝180°； 乙：∠1＝∠2； 丙：∠B＝∠DCE； 丁：∠3＝∠4． 则不能得到AB∥CD的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 53．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　） ①∠B+∠BCD＝180°； ②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4； ④∠B＝∠5； ⑤∠D＝∠5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 54．下列4个图形中，若∠1＝∠2，则能判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 55．如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠D+∠4+∠5＝180° 56．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝145°，此时BED的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 57．以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 58．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 59．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 　 时，CD与AB平行． 60．如图，点A在直线DE上，则∠BAC的度数为　 　 时，DE∥BC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章第二节 探索直线平行的条件 题型1 同位角、内错角、同旁内角 题型2 平行线 题型3 平行公理及推论 题型4 平行线的判定 题型1．同位角、内错角、同旁内角（共15小题） （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 1．如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中不正确的是（　　） A．∠1与∠2是邻补角 B．∠2与∠4是同位角 C．∠1与∠4是内错角 D．∠1与∠3是对顶角 【答案】C 【解答】解：根据对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义逐项分析判断如下： A、∠1与∠2是邻补角，该说法正确，不符合题意； B、∠2与∠4是同位角，该说法正确，不符合题意； C、∠1与∠4不是内错角，该说法不正确，符合题意； D、∠1与∠3是对顶角，该说法正确，不符合题意； 故选：C． 2．若直线a，b，c相交如图所示，则∠1的内错角为（　　） A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 【答案】C 【解答】解：∠1的内错角是∠4． 故选：C． 3．如图，已知∠ABC与∠DEF，其中AB与EF相交，下列结论中错误的是（　　） A．∠1与∠2是同旁内角 B．∠3与∠6是对顶角 C．∠2与∠5是内错角 D．∠3与∠5是同位角 【答案】C 【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，原说法正确，不符合题意； B、∠3与∠6是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、∠2与∠5不是内错角，原说法错误，符合题意； D、∠3与∠5是同位角，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 4．下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 【答案】C 【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意； D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．如图，在所标识的角中，内错角是（　　） A．∠1与∠2 B．∠1与∠3 C．∠1与∠4 D．∠1与∠5 【答案】D 【解答】解：根据内错角的定义得∠1与∠5是内错角． 故选：D． 6．如图，有下列说法：①∠2与∠4是同位角；②∠3与∠4是同旁内角；③∠5与∠6是同旁内角；④∠1与∠4是内错角．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的定义可得： ①∠2与∠4是同位角，正确，故①符合题意； ②∠3与∠4是同旁内角，正确，故②符合题意 ③∠5与∠6是邻补角，不是同旁内角，故③不符合题意； ④∠1与∠4是内错角，正确，故④符合题意． 故选：C． 7．下列说法中正确的是（　　） A．一个角的余角一定是锐角 B．因为∠1＝∠2，所以∠1 与∠2是对顶角 C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫作点到直线的距离 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】A 【解答】解：根据互余的定义、对顶角的定义、点到直线的距离的定义、平行线的性质来逐一判断如下： A．若两角互余，和为90°，则其中一个角必然小于90°，即一定是锐角，故本选项说法正确，符合题意； B．对顶角需满足顶点重合，两边互为反向延长线，仅∠1＝∠2不能判定是对顶角，故本选项说法错误，不符合题意； C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离，而非垂线段本身，故本选项说法错误，不符合题意； D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，缺少“平行”条件，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 8．如图，ED，CM与AO交于C点，OB，ON与AO交于O点，那么下列说法正确的是（　　） ①∠2和∠4是同位角 ②∠1和∠3是同位角 ③∠ACD和∠AOB是内错角 ④∠1和∠4是同旁内角 ⑤∠ECO和∠AOB是内错角 ⑥∠OCD和∠4是同旁内角． A．②③⑤ B．①③⑤ C．②③④ D．①⑤⑥ 【答案】D 【解答】解：由图可得， ①∠2和∠4是CM与ON被AO所截而成的同位角 ②∠1和∠3不是同位角 ③∠ACD和∠AOB是同位角，而不是内错角 ④∠1和∠4不是同旁内角 ⑤∠ECO和∠AOB是DE与OB被AO所截而成的内错角 ⑥∠OCD和∠4是CD与OB被CO所截而成的同旁内角． 故选：D． 9．若∠α与∠β同旁内角，且∠α＝50°时，则∠β的度数为（　　） A．50° B．130° C．50°或130° D．无法确定 【答案】D 【解答】解：虽然α和β是同旁内角，但缺少两直线平行的前提，所以无法确定β的度数． 故选：D． 10．如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，画射线ED．下列说法错误的是（　　） A．∠B与∠2是同旁内角 B．∠A与∠1是同位角 C．∠3与∠A是同旁内角 D．∠3与∠4是内错角 【答案】B 【解答】解：A．∠B与∠2是BC、DE被BD所截而成的同旁内角，故本选项正确； B．∠A与∠1不是同位角，故本选项错误； C．∠3与∠A是AE、DE被AD所截而成的同旁内角，故本选项正确； D．∠3与∠4是内错角AD、CE被ED所截而成的内错角，故本选项正确； 故选：B． 11．如图，能与∠1构成同位角的有　3　 个． 【答案】3 【解答】解：如图所示： 图中的∠NGE，∠NHF，∠MIP均能与∠1构成同位角． 故答案为：3． 12．如图，给出下列结论： ①∠1与∠2是同旁内角； ②∠1与∠3是同位角； ③∠1与∠4是内错角； ④∠1与∠5是同位角； ⑤∠2与∠4是对顶角， 其中说法正确的是 　①②⑤　 ．（填序号） 【答案】①②⑤． 【解答】解：两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b的同一侧的两个角即为同位角， 则∠1和∠3是同位角，∠1和∠5不是同位角， 那么②正确，④错误； 两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的两侧，且夹在被截两直线a，b之间的两个角即为内错角， 则∠1和∠4不是内错角， 那么③错误； 两条直线a，b被第三条直线c所截，在截线c的同旁，且在被截两直线a，b之间的两个角即为同旁内角， 则∠1与∠2是同旁内角， 那么①正确； 如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角即为对顶角， 则∠2与∠4是对顶角， 那么⑤正确； 故答案为：①②⑤． 13．如图，图中同位角一共　6　 对、内错角一共　3　 对、同旁内角有一共　3　 对． 【答案】6；3；3 【解答】解：图中同位角共6对：∠AME与∠CNE，∠FNC与∠FMA，∠FNC与∠FMG，∠EMG与∠CNE，∠BME与∠DNE，∠FND与∠FMB； 内错角共3对：与∠∠AMN与∠DNM，∠GMN与∠DNM，∠BMN与∠CNM； 同旁内角共3对：∠BMN与∠DNM，∠AMN与∠CNM，∠GMN与∠CNM． 14．如图1，对于两条直线l1，l2被第三条直线l3所截的同旁内角∠α，∠β满足∠β＝∠α+30°，则称∠β是∠α的关联角． （1）已知∠β是∠α的关联角． ①当∠α＝50°时，∠β＝ 　80　 °； ②当2∠α﹣∠β＝45°时，直线l1，l2的位置关系为 　平行　 ； （2）如图2，已知∠AGH是∠CHG的关联角，点O是直线EF上一定点．求证：∠DHG是∠BGH的关联角． 【答案】（1）①80；②平行； （2）见解析． 【解答】（1）解：①由条件可知∠β＝∠α+30°＝50°+30°＝80°； ②由题意得， 解得， ∵∠β+∠α＝75°+105°＝180°， ∴l1∥l2， 即直线l1，l2的位置关系为：平行； 故答案为：①80；②平行； （2）证明：由条件可知∠AGH＝∠CHG+30°， ∴∠AGH﹣∠CHG＝30°， ∵∠DHG＝180°﹣∠CHG，∠BGH＝180°﹣∠AGH， ∴∠DHG﹣∠BGH＝180°﹣∠CHG﹣（180°﹣∠AGH）＝∠AGH﹣∠CHG＝30°， ∴∠DHG＝∠BGH+30°， ∴∠DHG是∠BGH的关联角． 15．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，． （1）求∠FOG的度数； （2）写出一个与∠FOG互为同位角的角； （3）直接写出∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【答案】（1）60°； （2）∠BMF； （3）300°． 【解答】解：（1）因为∠COM＝120°， 所以∠DOF＝120°， 因为 OG 平分∠DOF， 所以∠FOG＝60°； （2）与∠FOG互为同位角的角是∠BMF； （3）∠AMO 的同旁内角是∠COM， ∠AMO 的内错角有∠MOG，∠MOD， 由条件可知∠DOF＝120°，， ∴∠DOG＝60°， ∵∠DOM＝180°﹣∠COM＝60°， ∴∠MOG＝∠DOM+∠DOG＝120°， 所以∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和为120°+120°+60°＝300°． 题型2．平行线（共11小题） 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b； 读作：直线a平行于直线b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． 16．下列说法中正确的是（　　） A．不相交的两条直线是平行线 B．同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线 C．同一平面内，两条直线不相交就重合 D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线 【答案】D 【解答】解：A．同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故本选项错误； B．同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故本选项错误； C．同一平面内，两条直线不相交（重合除外）就平行，故本选项错误； D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线，故本选项正确； 故选：D． 17．如图，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：观察图形可知，将一张长方形纸对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 18．在下列4个判断中： ①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行，故①错误，②正确； 在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交故，③错误，④正确． 故正确判断的个数是2． 故选：C． 19．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直 【答案】C 【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交， 所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交． 故选：C． 20．下列说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确． ②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误． ③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误． ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误． ⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误． ⑥在同一平面内，直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 21．若a⊥b，c⊥d，则a与c的关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【解答】解：当b∥d时a∥c； 当b和d相交但不垂直时，a与c相交； 当b和d垂直时，a与c垂直； a和c可能平行，也可能相交，还可能垂直， 故选：D． 22．同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点． 故选：C． 23．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误； ②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确； ③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误； ④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误； ⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误； ⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确． 所以错误的有4个． 故选：C． 24．在同一平面内，直线a与b相交于点M，a∥c，那么b与c的关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行与相交 D．不能确定 【答案】B 【解答】解：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交． 故选：B． 25．如图所示，在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，与棱AD平行的棱有 　3　 条． 【答案】3． 【解答】解：与棱AD平行的棱有：BC，B′C′，A′D′，共有3条． 故答案为：3． 26．如图所示，在∠AOB内有一点P． （1）过P画l1∥OA； （2）过P画l2∥OB； （3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2）如图所示， （3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补． 题型3．平行公理及推论（共16小题） （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 27．下列说法错误的个数是（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误； ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误； ③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误； ④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确； 故选：C． 28．a，b，c是三条直线，如果a∥b，b∥c，那么（　　） A．a∥b B．a∥c C．a＝c D．以上全不对 【答案】B 【解答】解：∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， 故选：B． 29．经过直线外一点，有几条直线和已知直线平行（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【解答】解：根据平行公理，即过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． 故选：B． 30．已知直线OA，P是平面内任意一点，过点P画一条直线与OA平行，则这样的直线（　　） A．有且仅有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在 【答案】D 【解答】解：如果P在直线OA上，过点P不能画与OA平行的直线， 如果P在直线OA外，过点P只能画一条直线与OA平行， ∴这样的直线有一条或不存在． 故选：D． 31．下列语句： ①不相交的两条直线叫平行线 ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行 ③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行 ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行 正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行、重合，不正确 ③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误； ④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确； ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误， 故选：A． 32．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（　　） A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360° C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180° 【答案】D 【解答】解：延长DC到G， ∵EF∥CD， ∴∠GCE＝∠CEF， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCG＝180°， ∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°， ∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°， 故选：D． 33．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【解答】解：A、直线外一点到这条直线上各点的连线中，垂线段最短，故A符合题意； B、两点确定一条直线，是直线的性质，故B不符合题意； C、连接两点的所有线中，线段最短，故C不符合题意； D、平行线的一条性质，故D不符合题意． 故选：A． 34．如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE等于（　　） A．∠1+∠2 B．∠2﹣∠1 C．180°﹣∠2+∠1 D．180°﹣∠1+∠2 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF， ∴∠1＝∠BCD，∠DCE+∠2＝180°， ∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝∠1+180°﹣∠2． 故选：C． 35．下面推理正确的是（　　） A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c 【答案】C 【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误； B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误； C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确； D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行． 故选：C． 36．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 【答案】D 【解答】解：A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确，不合题意； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，不合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，正确，不合题意； D、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线，错误，符合题意． 故选：D． 37．如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由 　经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行　 ． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 38．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是　①②③　 （填序号）． 【答案】①②③ 【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误； ∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误； ∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误； ∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确； 故答案为：①②③． 39．设a、b、c为平面上三条不同直线， （1）若a∥b，b∥c，则a与c的位置关系是 a∥c ； （2）若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是 a∥c ． 【答案】a∥c；a∥c 【解答】解：（1）∵a∥b，b∥c， ∴a∥c； （2）∵a、b、c为平面上三条不同直线，a⊥b，b⊥c， ∴a∥c． 故答案为：a∥c，a∥c． 40．如图1，已知AC∥BD，点P是直线AC，BD间的一点，连接AB，AP，BP，过点P作直线MN∥AC． （1）MN与BD的位置关系是什么，请说明理由； （2）试说明∠APB＝∠PBD+∠PAC； （3）如图2，当点P在直线AC上方时，（2）中的三个角的数量关系是否仍然成立？如果成立，试说明理由；如果不成立，试探索它们存在的关系，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行； 理由如下： ∵AC∥BD，MN∥AC， ∴MN∥BD； （2）∵AC∥BD，MN∥BD， ∴∠PBD＝∠1，∠PAC＝∠2， ∴∠APB＝∠1+∠2＝∠PBD+∠PAC． （3）答：不成立． 它们的关系是∠APB＝∠PBD﹣∠PAC． 理由是：如图2，过点P作PQ∥AC， ∵AC∥BD， ∴PQ∥AC∥BD， ∴∠PAC＝∠APQ，∠PBD＝∠BPQ， ∴∠APB＝∠BPQ﹣∠APQ＝∠PBD﹣∠PAC． 41．如图，如果CD∥AB，CE∥AB，那么C，D，E三点是否共线？你能说明理由吗？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：共线． 因为过直线AB外一点C有且只有一条直线与AB平行，CD、DE都经过点C且与AB平行， 所以点C、D、E三点共线． 42．如图，AD∥BC，E为AB上任一点，过E点作EF∥AD交DC于F．问EF与BC的位置关系怎样，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵AD∥BC，EF∥AD， ∴EF∥BC（平行公理）． 题型4．平行线的判定（共18小题） （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 43．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3 【答案】A 【解答】解：A、∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠5， 因为“同旁内角互补，两直线平行”， 所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠3+∠5＝180°， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠2＝∠3， ∴AB∥CD， 故本选项能判定AB∥CD，不符合题意． 故选：A． 44．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC； ②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC； ③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC； ④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC． 故选：B． 45．如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 【答案】A 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴EF∥AB， 故A符合题意； ∵∠4+∠2＝180°， ∴AC∥DF， 故B不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴AC∥DF， 故C不符合题意； ∵∠A＝∠1， ∴AC∥DF， 故D不符合题意； 故选：A． 46．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个． （1）∠B+∠BCD＝180°； （2）∠1＝∠2； （3）∠3＝∠4； （4）∠B＝∠5． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：（1）由条件可知AB∥CD，符合题意； （2）由条件可知AD∥BC，不符合题意； （3）∵∠3＝∠4， ∴AB∥CD，符合题意； （4）∵∠B＝∠5， ∴AB∥CD，符合题意； 综上所述，能判定AB∥CD的条件有3个， 故选：C． 47．如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5 【答案】C 【解答】解：A、∵∠1＝∠3， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； B、∵∠2+∠4＝180°， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意； D、∵∠4＝∠5， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：C． 48．下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴BC∥AD，不符合题意； B、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意； C、如图，∵∠1＝∠2，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD，符合题意； D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD，不符合题意， 故选：C． 49．下列说法中错误的个数是（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 50．如图，直线AB、CD被直线EF所截，FG平分∠EFD交AB于点G．下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1＝∠3 C．∠4+∠5＝180° D．∠4＝∠2+∠3 【答案】D 【解答】解：A．由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； B．∵FG平分∠EFD交AB于点G． ∴∠1＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， 由∠2＝∠3可得AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行，故不符合题意； C．∵∠4+∠5＝180°，∠EFD+∠5＝180°， ∴∠4＝∠EFD， 由∠4＝∠EFD可得AB∥CD，根据同位角相等，两直线平行，故不符合题意； D．∵∠4＝∠2+∠3，∠4＝∠1+∠3， ∴∠1＝∠2， 故符合题意． 故选：D． 51．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【答案】A 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，符合题意； B、∵∠3＝∠4，∴BD∥AC，不能判定AB∥CD，不符合题意； C、∵∠D＝∠DCE，∴BD∥AC，不能判定AB∥CD，不符合题意； D、∵∠D+∠ACD＝180°，∴BD∥AC，不能判定AB∥CD，不符合题意， 故选：A． 52．老师在黑板上画出如图所示的图形，要求学生添加条件，使得AB∥CD，随后抽取了四名学生的答案纸展示如下： 甲：∠B+∠BCD＝180°； 乙：∠1＝∠2； 丙：∠B＝∠DCE； 丁：∠3＝∠4． 则不能得到AB∥CD的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解答】解：甲、当∠B+∠BCD＝180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意； 乙、∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD，故不符合题意； 丙、当∠B＝∠DCE时，由同位角相等，两直线平行得AB∥CD，故不符合题意； 丁、当∠3＝∠4时，由内错角相等，两直线平行得AD∥BC，故符合题意． 故选：D． 53．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　） ①∠B+∠BCD＝180°； ②∠1＝∠2； ③∠3＝∠4； ④∠B＝∠5； ⑤∠D＝∠5． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①∠B+∠BCD＝180°， ∴AB∥CD，故此选项正确，符合题意； ②∠1＝∠2， ∴AD∥BC，故此选项不正确，不符合题意； ③∠3＝∠4， ∴AB∥CD，故此选项正确，符合题意； ④∠B＝∠5， ∴AB∥CD，故此选项正确，符合题意； ⑤∠D＝∠5， ∴AD∥BC，故此选项不正确，不符合题意， ∴能判定AB∥CD的条件有①③④，共3个， 故选：C． 54．下列4个图形中，若∠1＝∠2，则能判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、B、C中的两个角不是同位角，也不是内错角，不能判定AB∥CD，故A、B、C不符合题意； D、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，故D符合题意． 故选：D． 55．如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠D+∠4+∠5＝180° 【答案】B 【解答】解：A：∵∠1＝∠2+∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意； B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意； C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意； D：∵∠D+∠4+∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意； 故选：B． 56．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝130°，∠CDE＝145°，此时BED的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【解答】解：过E作EM∥AB， ∵AB∥CD， ∴EM∥CD， ∴∠ABE+∠BEM＝∠CDE+∠DEM＝180°， ∴∠ABE+∠BEM+∠CDE+∠DEM＝360°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED＝360°， ∵∠ABE＝130°，∠CDE＝145°， ∴∠BED＝360°﹣130°﹣145°＝85°． 故选：D． 57．以下说法中：（1）同角或等角的余角相等；（2）平面内，过一点有两条直线与已知直线垂直；（3）对顶角相等；（4）不相交的两条直线叫平行线；（5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：（1）同角或等角的余角相等，正确，符合题意； （2）同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； （3）对顶角相等，正确，符合题意； （4）同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误，不符合题意； （5）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确，符合题意． 故选：B． 58．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B．第一次向左拐45°，第二次向右拐135° C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120° D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127° 【答案】D 【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进， ∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补， 故选：D． 59．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　2秒或38秒　 时，CD与AB平行． 【答案】2秒或38秒． 【解答】解：分三种情况： 如图①，AB与CD在EF的两侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF， 即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝2； 此时（180°﹣60°）÷6＝20， ∴0＜t＜20； ②CD旋转到与AB都在EF的右侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°， 解得t＝38， 此时（360°﹣60°）÷6＝50， ∴20＜t＜50； ③CD旋转到与AB都在EF的左侧时， ∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°， ∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°， 要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC， 即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°， 解得t＝38， 此时t＞50， ∵38＜50， ∴此情况不存在． 综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行． 故答案为：2秒或38秒． 60．如图，点A在直线DE上，则∠BAC的度数为　46°　 时，DE∥BC． 【答案】46°． 【解答】解：∵DE∥BC（已知）， ∴∠EAC＝180°﹣124°＝56°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠BAC＝180°﹣78°﹣56°＝46°， 即当∠BAC的度数为46°时，DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：46°． 学科网（北京）股份有限公司 $