专题04定义.命题.定理（知识梳理+题型精析+寒假预习讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题04定义.命题.定理（举一反三讲义） 【题型01 判断是否是命题】...........................................2 【题型02 写出命题的题设与结论】.....................................4 【题型03 判断命题真假】.............................................6 【题型04 距离说明假(真)命题】.......................................8 【题型05 定理与证明】...............................................9 【题型06 代数问题证明 】...........................................10 【题型07 写出一个命题的已知.求证及证明过程】.......................11 【题型08 举反例】..................................................14 【题型09 以几何为背景的推理与论证】................................16 【题型10 以代数为背景的推理与论证】................................18 【题型11 逻辑推理与论证】..........................................21 【解答题 5题】.....................................................23 知识梳理 知识点01:定义 含义：对名称或术语的含义进行描述、作出明确规定的句子。 作用：让大家对同一名称 / 术语有统一、准确的理解。 举例： 两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 含有未知数的等式叫做方程。 知识点02:命题 1. 命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 必须是陈述句，能判断对或错。 疑问句、感叹句、祈使句不是命题。 2. 命题的组成 命题都由 题设（条件） 和 结论 两部分组成。 一般形式：“如果……，那么……” 如果 + 题设（条件） 那么 + 结论 3. 命题的分类 真命题：判断正确的命题。 假命题：判断错误的命题。 举一个反例就能说明一个命题是假命题。 知识点03:定理 含义：经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。 特点： 一定是真命题 可以直接用来解题、证明 举例：对顶角相等；两直线平行，同位角相等等。 知识点04:易混点小结 定义：规定 “是什么”。 命题：判断 “对不对”，可真可假。 定理：被证明正确的真命题，可直接用。 【题型1.判断是否是命题】 【典例】下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【跟踪专练1】“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 【跟踪专练2】下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【跟踪专练3】“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 【题型2.写出命题的题设与结论】 【典例】把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【跟踪专练1】命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【跟踪专练2】将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【跟踪专练3】用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型3.判断命题真假】 【典例】命题“垂线段最短”是 命题．（填“真”或“假”） 【跟踪专练1】下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】命题“如果，那么”是 （填“真”或“假”）命题． 【跟踪专练3】用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型4.举例说明假(真)命题】 【典例】若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 （写出一种即可）． 【跟踪专练1】若要说明命题：“如果，那么 ”是假命题，则可以举的反例是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【跟踪专练3】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【题型5.定理与证明】 【典例】请举出一个关于角相等的定理： ． 【跟踪专练1】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【跟踪专练2】如图所示，，那么 ，依据是 ． 【跟踪专练3】下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【题型6.代数问题证明】 【典例】下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【跟踪专练1】下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【跟踪专练2】证明：两个奇数之和是偶数． 【题型7.写出一个命题的已知.求证及证明过程】 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【跟踪专练1】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【跟踪专练2】证明：等角的补角相等． 【跟踪专练3】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【题型8.举反例】 【典例】要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可） 【跟踪专练1】举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例不正确的是（    ） A．设这个角是，它的补角是，但 B．设这个角是，它的补角是，但 C．设这个角是，它的补角是，但 D．设这个角是，它的补角是，但 【跟踪专练2】能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 【跟踪专练3】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【题型9.以几何为背景的推理与论证】 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【跟踪专练1】一个多边形内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是______边形。 【跟踪专练2】如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【题型10.以代数为背景的推理与论证】 【典例】用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 【跟踪专练1】卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于 ． 【跟踪专练3】如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【题型11.逻辑推理与论证】 【典例】某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【跟踪专练1】某班共50名同学，一位同学1号得流感，第2天传染给两位同学，第3天再传染给两位同学，第4天痊愈不在感染，求第（　　）天全班同学全被感染过． A．4 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练2】妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 【跟踪专练3】某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话 给出以下四个结论： ①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③ 解答题 43．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 44．写出四个数学名词的定义． 45．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 46．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 47．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04定义.命题.定理（举一反三讲义） 【题型01 判断是否是命题】...........................................2 【题型02 写出命题的题设与结论】.....................................4 【题型03 判断命题真假】.............................................6 【题型04 距离说明假(真)命题】.......................................8 【题型05 定理与证明】...............................................9 【题型06 代数问题证明 】...........................................10 【题型07 写出一个命题的已知.求证及证明过程】.......................11 【题型08 举反例】..................................................14 【题型09 以几何为背景的推理与论证】................................16 【题型10 以代数为背景的推理与论证】................................18 【题型11 逻辑推理与论证】..........................................21 【解答题 5题】.....................................................23 知识梳理 知识点01:定义 含义：对名称或术语的含义进行描述、作出明确规定的句子。 作用：让大家对同一名称 / 术语有统一、准确的理解。 举例： 两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离。 含有未知数的等式叫做方程。 知识点02:命题 1. 命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。 必须是陈述句，能判断对或错。 疑问句、感叹句、祈使句不是命题。 2. 命题的组成 命题都由 题设（条件） 和 结论 两部分组成。 一般形式：“如果……，那么……” 如果 + 题设（条件） 那么 + 结论 3. 命题的分类 真命题：判断正确的命题。 假命题：判断错误的命题。 举一个反例就能说明一个命题是假命题。 知识点03:定理 含义：经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。 特点： 一定是真命题 可以直接用来解题、证明 举例：对顶角相等；两直线平行，同位角相等等。 知识点04:易混点小结 定义：规定 “是什么”。 命题：判断 “对不对”，可真可假。 定理：被证明正确的真命题，可直接用。 【题型1.判断是否是命题】 【典例】下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【分析】定义是对数学概念或术语的精确描述，选项D符合方程的定义，其他选项均为性质或非数学语句． 本题考查了定义的特性，熟练掌握定义的特性是解题的关键． 【详解】解：已知定义是描述概念本质的语句， A、是垂线段的性质，不符合题意； B、不是数学语句，不符合题意； C、是正方形的性质，不符合题意； D、是方程的定义，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】“垂线段最短”有下列说法：是命题；是假命题；是真命题；是定理，其中正确的说法是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握命题与定理的定义是解题关键．直接利用命题以及定理的定义分析得出即可． 【详解】解：由命题的定义可知：“垂线段最短”是命题，所以①正确， 由“垂线段最短”是定理，再结合所有的定理都是真命题可得②错误，③④正确． 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】下列是假命题的是（　） A．取线段的中点 B．同角的余角相等 C．相等的角是对顶角 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 利用命题的定义、余角的性质、对顶角的定义及平行公理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、取线段的中点，不是命题，不符合题意； B、同角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：“秋江楚雁宿沙洲，雁宿沙洲浅水流，流水浅洲沙宿雁，洲沙宿雁楚江秋”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”，例如，等下列几个命题：是“回文数”；所有两位数中，有个“回文数”；所有三位数中，有个“回文数”；任意六位数的“回文数”是的倍数，其中，真命题有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了命题与定理，整式的加减，根据“回文数”的定义进行分析即可求解，解题的关键是熟练掌握“回文数”的定义． 【详解】解：根据定义正读倒读都一样，故是“回文数”；是真命题； 两位数的“回文数”为：，，，，，，，，，合计个；是真命题； 三位数的“回文数”中，百位和个位是的为：，，，，，，，，，，合计个，同理百位和个位是的有个，依次类推，则三位数的“回文数”合计个；是真命题； 设任意六位数的“回文数”十万位，万位，千位，百位，十位，个位上的数字分别为，，，，，，则， 根据定义，，，， ∴， ∴是的倍数；是真命题； 故答案为：． 【题型2.写出命题的题设与结论】 【典例】把命题“三条边都相等的三角形是等边三角形”写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题的改写，把命题的条件写成如果……的形式，把命题的结论写成那么……的形式即可． 【详解】解：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形； 故答案为：如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形． 【跟踪专练1】命题“两直线平行，同位角相等”的条件是（ ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线不平行 D．同位角不相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理的知识，难度适中，解题的关键是：先将原命题改写成：如果…，那么…的形式． 改写成“如果…那么…”的形式，如果后面的文字就是条件． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”改写为如果两直线平行，那么同位角相等， 所以条件是两直线平行， 故选：A． 【跟踪专练2】将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题 【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【跟踪专练3】用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可． 【详解】解：命题①，如果，，那么， ∵，∴， ∵， ∴，整理得， ∴该命题是假命题； 命题②，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 命题③，如果，，那么， ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； 综上分析可知，组成真命题的个数为0，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键． 【题型3.判断命题真假】 【典例】命题“垂线段最短”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了真命题与假命题，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质进行解答即可得 【详解】解：直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短，所以命题“垂线段最短”是真命题． 故答案为：真． 【跟踪专练1】下列命题为真命题的有（   ） ①内错角相等；②对顶角相等；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了真假命题的判断，平行线的性质，对顶角的性质等知识点． 逐一判断命题真假：①内错角相等需两直线平行，否则不成立；②对顶角相等恒成立；③垂直公理成立；④平行公理要求点不在直线上，否则不成立． 【详解】解：①内错角相等只有在两直线平行时成立，故①为假命题； ②对顶角相等是固有性质，故②为真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是公理，故③为真命题； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行要求点不在直线上，故④为假命题. ∴真命题有2个， 故选：B． 【跟踪专练2】命题“如果，那么”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查了真命题和假命题的判断，熟练掌握定义是解题的关键； 根据不等式及其性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴在条件下，由于平方数非负，且作为不等式两边除数，不能为， ∴． ∴不等式两边同时除以同一个大于的数，不等号方向不变， 即由两边除以，可得， ∴该命题是真命题． 故答案为：真． 【跟踪专练3】用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数，不等号的方向不变． 根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可． 【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合， ①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题； ③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题； ⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题； ⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题， 故真命题一共有2个， 故选：B． 【题型4.举例说明假(真)命题】 【典例】若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题的定义，深刻理解命题的定义是解题的关键．必须牢记：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 找出一个满足，但不满足即可． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为， 因为时，， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若要说明命题：“如果，那么 ”是假命题，则可以举的反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的绝对值和假命题的判断，逐项进行计算，然后进行判断即可． 【详解】解：A. ，，有，且 ，不符合题意； B.，，有，且 ，不符合题意； C.，，有，不符合题意； D. ，，有，且 ，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 【详解】解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 【跟踪专练3】对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题，熟练掌握假命题是解题的关键．要说明命题“如果，那么”是假命题，需找到满足条件但结论不成立的例子。 【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意； ，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意； ，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意； ，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意； 故选B． 【题型5.定理与证明】 【典例】请举出一个关于角相等的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】任意写出一个角相等的定理即可． 【详解】解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）． 【点睛】本题考查角相等的定理，如同位角、内错角或对顶角，写出相应的定理即可． 【跟踪专练1】下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 【跟踪专练3】下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【答案】D 【详解】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D． 【题型6.代数问题证明】 【典例】下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 【跟踪专练1】下列推理正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】直接利用不等式的基本性质和解方程的思想进行判断即可. 【详解】解：A、∵，∴a，b同号，则或，本项错误； B、∵，则不一定正确，如时，，本项错误； C、∵，则或，∴不一定正确，故本项错误； D、∵，则或，本项正确； 故选择：D. 【点睛】本题考查了不等式性质和解方程的思想，解题的关键是利用不等式性质进行判断. 【跟踪专练2】证明：两个奇数之和是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查证明，设两个奇数分别为，，其中，为整数，进而得到，即可得证． 【详解】证明：设两个奇数分别为，，其中，为整数，则 ． 因为，，都为整数， 所以为整数． 所以是偶数． 所以两个奇数之和是偶数． 【题型7.写出一个命题的已知.求证及证明过程】 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【跟踪专练1】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【跟踪专练2】证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【跟踪专练3】命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 【题型8.举反例】 【典例】要说明命题“若，则”是假命题，可以举出的反例是 ．（写出一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 【详解】解：由题意，当时， 满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】举反例说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，下列所举的反例不正确的是（    ） A．设这个角是，它的补角是，但 B．设这个角是，它的补角是，但 C．设这个角是，它的补角是，但 D．设这个角是，它的补角是，但 【答案】C 【分析】本题主要考查了举反例判断命题是假命题，判断哪个选项不能作为反例证明命题“一个角的补角大于这个角”为假，需找出补角大于角的情况．根据补角性质，当角时，补角角． 【详解】一个角的补角为，命题“补角大于角”即，解得：， 当时，补角角，命题不成立，此类情况可作为反例， A选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故A选项不符合题意； B选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故B选项不符合题意； C选项：，补角，补角角，命题成立，不能说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故C选项符合题意； D选项：，补角，补角角，可以说明“一个角的补角大于这个角”是假命题，故D选项不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 【跟踪专练3】下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反例，要证明命题“若，则”是假命题，需找到满足但的例子即可，理解反例的概念是解题的关键． 【详解】解：、当，时， ，不满足，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论成立，不能作为反例，不合题意； 、当，时， ，满足条件， 又∵，结论不成立，符合反例要求； 、当，时， ，不满足，不合题意； 综上，只有选项满足且， 故答案为：． 【题型9.以几何为背景的推理与论证】 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 【跟踪专练1】一个多边形内角和是外角和的 2 倍，这个多边形是______边形。 【答案】六 【分析】：任意多边形外角和为 360∘。内角和：360∘×2=720∘。内角和公式：(n−2)×180∘=720∘，解得 n=6。 【跟踪专练2】如图，有两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个半径相等的小圆，另一个大圆内有2个半径相等的小圆，你认为大圆内的10个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的周长之和哪一个大？猜一猜，并用学过的知识和数学方法验证猜想． 【答案】一样大，理由见解析 【分析】本题考查猜想和验证，求圆的周长，设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r，根据圆的周长公式进行计算，判断即可． 【详解】解：设10个小圆中每个圆的半径为，2个小圆中每个圆的半径为，每个大圆的半径为r， 则． 10个小圆周长，2个小圆周长． 所以它们的周长一样大． 【题型10.以代数为背景的推理与论证】 【典例】用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 【答案】3 【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎． 【详解】应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，共需3分钟． 故答案为3． 【点睛】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费． 【跟踪专练1】卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 【跟踪专练2】已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，根据此性质，找到符合题意的的数值，即可求出其乘积的最大值．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解． 【详解】解：首先，和一定时，差越小积越大，所以越大，乘积越大， 验证，8时均无解， 当时，，，此时符合题意且积最大， 此时积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 【题型11.逻辑推理与论证】 【典例】某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254．”小明说：“它是964．”小强说：“它是357．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了推理与论证的有关知识，使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字是解题的关键． 和都有重复，且位置相同，可以排除这两个数，则小亮猜对的数字是，这样和也就可以排除，所以小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的，这个三位数密码是. 【详解】解：三个人说出的数中，和都有重复，且位置相同， 他们猜对的数字不可能是和，可以排除这两个数， 小亮猜对的数字是， 在百位上， 和可以排除， 小强猜对了个位上的，小明猜对了十位上的， 这个三位数密码是， 故答案为： ． 【跟踪专练1】某班共50名同学，一位同学1号得流感，第2天传染给两位同学，第3天再传染给两位同学，第4天痊愈不在感染，求第（　　）天全班同学全被感染过． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查逻辑推理能力，理解传染规律，并计算累计感染人数，直到累计总人数等于或超过50即可得到答案． 【详解】解：第1天：初始感染人数1人，累计人数为1人； 第2天：1人传染给2人，新增2人，累计人数为人； 第3天：第2天新增的2人，加上第一天的1人共3人，再各传染给2人，新增人，累计人数为人； 第4天：第3天新增的6人，加上第2天新增的2人共8人，再各传染给2人，新增人，累计人数为人， 第5天：第4天新增的16人，加上第3天新增6人共22人，再各传染2人，新增人，累计人数为人，超过本班总人数50人， 即第5天全班同学全被感染过， 故选：B． 【跟踪专练2】妈妈收到了一份神秘礼物，她分别询问了三人．李宝说：“是李红送的．”李红说：“不是我送的．”李琴倩说：“也不是我送的．”他们三个人中只有一个人说了真话，根据推断，可以知道礼物是 送的． 【答案】李琴倩 【分析】本题考查了逻辑推理，根据三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，说明了礼物是李琴倩送的，即可求解． 【详解】解：三人中仅一人说真话，但是李宝与李红说的话有冲突，所以李琴倩说的是假话，她说礼物不是她送的这是假话，这说明了礼物是李琴倩送的， 故答案为：李琴倩． 【跟踪专练3】某班级到劳动实践基地参加活动，基地指导老师让同学排成一列纵队后，按照从前到后的顺序四人一组，根据李明和张雪的对话 给出以下四个结论： ①如果李明和赵伟同一组，那么张雪和王凯也同一组；②如果李明和赵伟不同一组，那么张雪和王凯也不同一组；③如果张雪和王凯同一组，那么李明和赵伟也同一组；④如果张雪和王凯不同一组，那么李明和赵伟也不同一组．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为：，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，，，然后再根据选项分析即可． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，令右为前，左为后，则排序为： ，，，王凯，，张雪，，赵伟，，，李明，，， 对于①，如果李明和赵伟同一组，满足四人一组，则有（赵伟，，，李明）这样排列，那么（王凯，，张雪，）为一组，故①正确； 对于②，如果李明和赵伟不同一组，那么可以排列（李明，，，），（，赵伟，，），则（，王凯，，张雪），故张雪和王凯可能在同一组，故②错误； 对于③，如果张雪和王凯同一组，那么可以排列（，王凯，，张雪），则（，赵伟，，），故李明和赵伟可能不在同一组，故③错误； 对于④，如果张雪和王凯不同一组，可以排列（，，，王凯），（，张雪，，赵伟），（，，李明，），符合题意李明和赵伟也不同一组； 或者可以排列（，，王凯，），（张雪，，赵伟，），（，李明，，），符合题意李明和赵伟也不同一组，故④正确， 故选：C． 解答题 43．下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举出反例． (1)如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数． (2)等角的补角相等． (3)如果，那么． (4)两个奇数的和一定是偶数． 【答案】(1)假命题；反例：0 (2)真命题 (3)假命题；反例： (4)真命题 【分析】本题考查了判断命题真假，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）绝对值等于本身的数不仅有正数，0的绝对值是0． （2）若两个角相等（设为），则它们的补角分别为和，显然相等． （3）当时， （4）奇数可表示为（为整数），两个奇数相加为，是2的倍数，故为偶数． 【详解】（1）解：假命题 反例：0的绝对值等于它本身，但0不是正数． （2）解：真命题 （3）假命题 反例：取，则． （4）解：真命题． 44．写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 45．推理填空：如图，已知∠B＝∠CGF，∠BGC＝∠F． 求证：∠B＋∠F＝180°，∠F＋∠BGD＝180°． 证明： ∵∠B＝∠CGF（已知）， ∴ABCD（ ）． ∵∠BGC＝∠F（已知）， ∴CDEF（ ）． ∴ABEF（ ）． ∴∠B＋∠F＝180°（ ）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（ ）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补；平角的定义；等量代换 【分析】根据平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵∠B＝∠CGF（已知）； ∴ABCD（同位角相等，两直线平行）， ∵∠BGC＝∠F（已知）； ∴CDEF（同位角相等，两直线平行）， ∴ABEF（平行公理的推论） ∴∠B＋∠F＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠BGC＋∠BGD＝180°（平角的定义）， ∠BGC＝∠F（已知）， ∴∠F＋∠BGD＝180°（等量代换）． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质及推理论证，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质定理． 46．已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 47．某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【答案】甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 【详解】解：假设甲说真话并推导相关信息： 若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 确定每个人可能所在的楼层范围： 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 根据假话内容进一步分析： 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $