7.2.1 平行线的概念 同步讲练-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步讲练+课时分层检测

本讲义聚焦平行线的概念这一核心知识点，系统梳理定义及表示方法（强调“同一平面内不相交”）、画法（“落靠推画”四步骤）、基本事实及推论（过直线外一点有且只有一条平行线、平行传递性），形成从概念到操作再到应用的完整学习支架。 资料以生活实例（如斑马线、铁轨）和几何模型（棱柱体）培养几何直观与空间观念，通过变式练习和综合题型（如判断位置关系、尺规作图）发展推理意识，课中辅助教师规范教学，课后助力学生查漏补缺，实现从数学眼光观察到数学语言表达的素养提升。

7.2.1 平行线的概念 内容导航 知识点一 平行线的定义及表示方法 1 知识点二 平行线的画法 2 知识点三 平行线的基本事实及其推论 4 题型1 判断平面内两条直线的位置关系 5 题型2 判断棱柱体中平行的棱 6 题型3 尺规画平行线 7 题型4 平行线基本事实的应用 9 题型5 平行线基本事实推论的应用 11 综合练习 12 知识点一 平行线的定义及表示方法 名称 定义 表示方法 图例 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 直线与互相平行,记作,读作平行于 注意:(1)两条直线平行必须具备两个条件：①在同一平面内；②不相交. (2)在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交 (3)两条线段或射线平行是指其所在的直线平行 拓展:强调“在同一平面内”的原因 因为不在同一平面内，两条直线的位置关系除了相交和平行，还有第三种可能，即异面，就像立交桥一样。 特别提醒:有些图形即使没画出交点，也不能说它们平行，如图，直线AB和CD虽没画出交点，但它们有交点，不平行。 【基础练习1】下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的定义，逐一判断每个选项中的图形是否符合“直线与平行”的条件． 【详解】解：A、是曲线，不是直线，不满足平行线的定义，不符合题意； B、与是两条不相交的直线，符合平行线的定义，符合题意； C、和都是曲线，不是直线，不符合题意； D、与相交且形成直角，是互相垂直的直线，不是平行线，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了知识点平行线的定义，解题关键是准确识别图形中的线是否为直线，以及是否满足“不相交”的条件． 【基础练习2】在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 【答案】 平行 一 重合 【分析】本题考查了平行线的定义，相交线的定义，熟记定义是解题的关键； （1）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （2）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； （3）根据平行线、相交线的定义即可得到答案； 【详解】解：（1）在同一平面内，不相交（即没有公共点）的两条直线互相平行． （2）在同一平面内，两条直线相交的定义就是有且只有一个公共点． （3）在同一平面内，如果两条直线有无数个公共点，那么这两条直线重合． 故答案为：平行，一，重合． 知识点二 平行线的画法 平行线的画法步骤 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“推” 沿直尺推动三角尺,使三角尺与已知直线重合的边过已知点 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 注意:(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线； (2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行； (3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 特别提醒：用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线是几何作图的基本技能之一，要严格按照步骤规范作图。 【基础练习1】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【基础练习2】如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了利用直尺和三角板作平行线的方法，解题的关键是掌握用直尺和三角板作平行线的具体操作步骤，易错点是在使用工具作图时，角度把握不准确，导致所作直线不平行；利用直尺和三角板，将三角板的一边与已知直线重合，直尺靠紧三角板的另一边，沿直尺平移三角板到指定点，过该点沿三角板原边作直线，得到平行线． 【详解】 过点作直线平行于：把三角板的一边与重合，直尺靠紧三角板另一边，沿直尺平移三角板使它的边经过点，过点沿三角板的这条边画直线； 过点作直线平行于：将三角板一边与重合，用同样方法平移三角板至点，过点沿三角板边画直线． 知识点三 平行线的基本事实及其推论 基本事实 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 推论 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行． 如图所示,如果,,,那么即平行具有传递性,简记为“平行于同一条直线的两条直线平行”. 注意：(1)“有且只有”说明这样的直线存在，且是唯一的； （2）在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已知直线平行。 注意:判断在同一平面内的两条直线是否平行，可以看它们是否有交点(若无交点，则平行），也可以看它们是否与同一条直线平行(若是，则平行）. 特别提醒:平行公理是过直线外一点作这条直线的平行线的依据。 【基础练习1】下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识，熟记平行线的判定与性质、平行公理及推论是解题的关键．根据平行线的判定与性质、平行公理及推论、两条直线的位置关系等知识判断求解即可． 【详解】解：在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行， 故①正确，符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行， 故②错误，不符合题意； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 只有当时，才能画出这样的直线，若与相交，则无法画出，所以原说法错误， 故③错误，不符合题意； 若直线，，则． 故④正确，符合题意； 综上，正确的有2个， 故选：C． 【基础练习2】若直线，，则的依据是 ． 【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行公理推论即可求解，掌握平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：若直线，，则的依据是如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行， 故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 题型1 判断平面内两条直线的位置关系 【典例】已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．观察图形，根据平行线和相交线的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察图形可知：选项A C D中，直线m和n相交； 只有B选项中，直线m和n互相平行， 故选：B． 【变式练习1】小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．其中是平行线的有（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题了平行线，应结合生活实际进行解答． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的直线叫互为平行线判断即可． 【详解】解：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．都属于平行线， 故选：D． 【变式练习2】如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由两条射线组成，且射线无限延伸后没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条射线组成，当直线线延时，与射线有交点，故可以相交； 对于③，由两条直线组成，且在同一平面内没有交点，故一定平行， 故答案为：②；③． 题型2 判断棱柱体中平行的棱 【典例】如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 【变式练习1】如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 【变式练习2】观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 【答案】 ，， 不是 同一平面 【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键． （1）根据平行线的定义即可得解； （2）根据平行线的定义即可得解． 【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，， 故答案为：，，； （2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线 故答案为：不是，同一平面． 题型3 尺规画平行线 【典例】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【答案】B 【分析】本题考查了画平行线，根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①， 故选：B． 【变式练习1】如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画平行线，用直尺和三角板画平行线即可． 【详解】解：如图，、即为所求作的平行线． 【变式练习2】按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了用直尺和三角板过已知点画平行线，用直尺和三角板作平行线的步骤：一放，二靠，三推，四画，正确操作是解本题的关键． （1）首先将三角板的一边与重合（一放），直尺靠紧三角板的另一边（二靠），沿直尺平移三角板（三推），使三角板原来与重合的边经过点，过点A沿三角板的这边画直线（四画），同理，过点C作，交于点E．按此操作即可求解． （2）平行线作法与（1）相同． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， 方法总结：平行线的画法一般要遵循四字诀，即“落”"靠”“移”“画”在网格图中画平行线时，根据格点的性质作图即可。 题型4 平行线基本事实的应用 【典例】下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【答案】B 【分析】此题考查了平行公理、垂线定义、相交线的性质，根据平行公理、垂线定义、相交线的性质判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法正确； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误； C．两条直线相交，有且只有一个交点，选项说法正确； D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，选项说法正确． 故选：B． 【变式练习1】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式练习2】如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 【答案】(1)能画1条 (2)见解析；平行 【分析】（1）依据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行的基本事实，确定过点B画直线a平行线的条数； （2）先按同样方法过点C画直线a的平行线，再利用平行于同一条直线的两条直线互相平行的推论，判断两条线的关系． 【详解】（1）解：如图，直线b即为所求．能画1条． （2）解：如图，直线c即为所求．它与过点B且与直线a平行的直线平行． 题型5 平行线基本事实推论的应用 【典例】如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及推论，由，利用“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，即可得出． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故选：D． 【变式练习1】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，熟练掌握平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据已知的平行关系，利用平行公理的推论来判断直线间的平行关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【变式练习2】工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论知识点，解题的关键是理解和运用平行公理的推论来判断直线的平行关系． 根据平行公理的推论来判断工人师傅检验电缆线平行的依据． 【详解】解：平行公理的推论为：平行于同一条直线的两条直线互相平行．在本题中，电缆线可以看作是直线，工人师傅通过检查其中两条电缆线是否与第三条平行，依据的就是“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，如果这两条电缆线都与第三条平行，那么这三条电缆线就互相平行．所以如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 故答案是：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 综合练习 一、单选题 1．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：∵选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D． 故选：D． 2．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义，结合图形与平行线的定义求解即可． 【详解】解：在正方体中，与棱平行的是，，， 故选D 3．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 4．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的符号表示，属于基础知识． 直线与直线平行，可以记作为：或，即可得到答案． 【详解】解：平行用符号∥表示，直线与直线平行，，可以记作为：或． 故选：D． 5．如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行． 根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可． 【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条， 图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条． 故选：C． 6．下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键． 根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：①若，，则，故本项符合题意； ②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 8．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查直线的位置关系，长方体，解题的关键是熟练掌握长方体的性质． （1）根据长方形的性质，判断长方体两条棱之间的位置关系即可； （2）根据图形，写出答案即可． 【详解】（1）解：∵长方体的各个面均为长方形，长方形对边平行，邻边互相垂直， ∴，，，，， ∴，， 故答案为：①，②，③，④； （2）解：由图可知，与不是平行线， ∵与不在同一平面内，与所在的直线不相交，也不平行， ∴在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线， 故答案为：⑤不是，⑥同一平面． 9．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 【答案】③②④① 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是③②④①， 故答案我③②④①． 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握同位角相等，两直线平行． 10．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 11．a，b，c是直线，且，则，理由是 【答案】平行于同一直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：平行于同一直线的两条直线平行． 12．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 三、解答题 13．如图，直线AB，CD相交于点O，点在直线CD上． (1)过点作直线； (2)过点作射线交直线于点； (3)作点到直线的垂线段，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题关键是要掌握平行线、射线和垂线段的定义和画法， （1）在同一平面内，两条永不相交的直线为平行线，注意直线一定要经过点，两端无限延伸； （2）由线段的一端无限延长的直线为射线，注意射线与直线相互垂直； （3）垂线中从一个特定点到另一条直线的有限部分为垂线段，注意垂线段，经过点，垂足为点，且线段两端不能延伸． 【详解】（1）解：根据题意，过点作直线，如下图所示： （2）解：根据题意，过点作射线交直线于点，如下图所示： （3）解：根据题意，作点到直线的垂线段，垂足为点，如下图所示： 14．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 15．如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了平行线在生活中的应用，熟练掌握平行线的应用是解题关键．用平行条纹设计一些图案即可得． 【详解】解：用平行条纹设计一些图案如下： ． 16．工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 【答案】这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解答此题的关键．根据平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：这种做法是对的．理由如下： ∵平行于同一条直线的两条直线互相平行， ∴为了检验三条电线是否互相平行只检查了其中两条是否与第三条平行即可． 故答案为：这种做法是对的．理由如下：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 17．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握全等三角形性质，垂直定义，平行线性质，是解题的关键． （1）的面积用矩形面积减去周围3个三角形面积即得； （2）取格点，根据网格特点，结合三角形的高的定义画图即可； （3）借助网格，结合平行线的判定画图即可． 【详解】（1）． 故答案为：． （2）解：如图，取点E，连接，交于点H，即为的高． （3）解：如图，取点D，连接，即为所求作． 18．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 【答案】见解析 【分析】使5条直线平行，另3条直线平行且都与这5条相交，再有2条直线平行且都与这5条相交，且3条和2条也相交，即可． 【详解】解：如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.1 平行线的概念 内容导航 知识点一 平行线的定义及表示方法 1 知识点二 平行线的画法 2 知识点三 平行线的基本事实及其推论 2 题型1 判断平面内两条直线的位置关系 3 题型2 判断棱柱体中平行的棱 3 题型3 尺规画平行线 4 题型4 平行线基本事实的应用 5 题型5 平行线基本事实推论的应用 6 综合练习 6 知识点一 平行线的定义及表示方法 名称 定义 表示方法 图例 平行线 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 直线与互相平行,记作,读作平行于 注意:(1)两条直线平行必须具备两个条件：①在同一平面内；②不相交. (2)在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交 (3)两条线段或射线平行是指其所在的直线平行 拓展:强调“在同一平面内”的原因 因为不在同一平面内，两条直线的位置关系除了相交和平行，还有第三种可能，即异面，就像立交桥一样。 特别提醒:有些图形即使没画出交点，也不能说它们平行，如图，直线AB和CD虽没画出交点，但它们有交点，不平行。 【基础练习1】下列图形表示平面内直线的是（   ） A． B． C． D． 【基础练习2】在同一平面内，两直线m与n满足下列条件： （1）m与n没有公共点，则m与n ； （2）m与n有且只有 个公共点，则m与n相交； （3）m与n有无数个公共点，则m与n ． 知识点二 平行线的画法 平行线的画法步骤 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺一边落在已知直线上 二“靠” 用直尺紧靠三角尺的另一边 三“推” 沿直尺推动三角尺,使三角尺与已知直线重合的边过已知点 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线 注意:(1)过直线上一点，不能画该直线的平行线； (2)借助直尺和三角尺画平行线时，必须保持“紧靠”，否则画出的直线不平行； (3)画线段或射线的平行线指的是画它们所在直线的平行线. 特别提醒：用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线是几何作图的基本技能之一，要严格按照步骤规范作图。 【基础练习1】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【基础练习2】如图，过点画直线平行于，过点画直线平行于． 知识点三 平行线的基本事实及其推论 基本事实 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 推论 如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行． 如图所示,如果,,,那么即平行具有传递性,简记为“平行于同一条直线的两条直线平行”. 注意：(1)“有且只有”说明这样的直线存在，且是唯一的； （2）在叙述时，一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已知直线平行。 注意:判断在同一平面内的两条直线是否平行，可以看它们是否有交点(若无交点，则平行），也可以看它们是否与同一条直线平行(若是，则平行）. 特别提醒:平行公理是过直线外一点作这条直线的平行线的依据。 【基础练习1】下列说法中，正确的个数是（    ） ①在同一平面内，不重合的任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【基础练习2】若直线，，则的依据是 ． 题型1 判断平面内两条直线的位置关系 【典例】已知直线m、n，下列图形中属于两直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】小明列举生活中的几个例子：①马路上的斑马线；②笔直的火车铁轨；③直跑道线；④长方形门框的上下边；⑤商品包装上的条形码．其中是平行线的有（   ） A．①②③ B．③④⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【变式练习2】如图，能相交的是 ，平行的是 ．（填序号） 题型2 判断棱柱体中平行的棱 【典例】如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【变式练习2】观察如图所示的长方体，回答问题： （1）与线段平行的线段是 ； （2）与所在直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在 内，两条不相交的直线才是平行线． 题型3 尺规画平行线 【典例】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（    ） ①沿直尺下移三角尺；  ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线． A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①② 【变式练习1】如图，过点P画直线平行于与相交于点E；画直线平行于与相交于点H． 【变式练习2】按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 方法总结：平行线的画法一般要遵循四字诀，即“落”"靠”“移”“画”在网格图中画平行线时，根据格点的性质作图即可。 题型4 平行线基本事实的应用 【典例】下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【变式练习1】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是 ． 【变式练习2】如图，B，C是直线a外两点．请按要求画图并作答． (1)过点B画直线a的平行线．能画几条？ (2)过点C画直线a的平行线．它与过点B且与直线a平行的直线平行吗？ 题型5 平行线基本事实推论的应用 【典例】如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【变式练习1】如图，张萌的手中有一张正方形纸片（），点，分别在和上，且，此时张萌判断出，则张萌判断出该结论的理由是 ． 【变式练习2】工人师傅在铺设电缆时，为了检验三条电缆线是否平行，工人师傅只检查了其中两条电缆线是否与第三条平行．其依据是 ． 综合练习 一、单选题 1．下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 4．如图，已知直线与直线平行，下列表示方法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 6．下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 二、填空题 7．如图，，，则点，， （填“在”或“不在”）同一条直线上．理由： ． 8．如图所示的长方体，观察并回答下列问题． （1）用符号表示两条棱的位置关系：① ；② ；③ ；④ ． （2）与所在的直线不相交，它们 平行线（填“是”或“不是”），由此可知，在 内，不相交的两条直线才是平行线． 9．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是： ． 10．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 11．a，b，c是直线，且，则，理由是 12．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 三、解答题 13．如图，直线AB，CD相交于点O，点在直线CD上． (1)过点作直线； (2)过点作射线交直线于点； (3)作点到直线的垂线段，垂足为点． 14．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 15．如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的．请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下． 16．工人师傅在铺设电缆时，为了检查三条电缆是否平行，只检查了其中两条电缆是否与第三条平行．你认为这种做法对吗？请给出合理解释． 17．如图，正方形网格中所有小正方形的边长都为1，规定每个小正方形的顶点为格点，点A、B、C都在格点上． (1)的面积______； (2)只用直尺画出的高； (3)只用直尺过点C画． 18．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图． 学科网（北京）股份有限公司 $