5.3分式方程 同步复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦分式方程核心知识点，从定义入手，通过解的判断、解法步骤（去分母、检验）、增根分析，到实际问题抽象与应用，构建从概念到应用的完整学习支架，帮助学生逐步掌握分式方程知识体系。 资料以题型为导向，覆盖定义辨析、解法训练、增根探究及实际应用，通过行程问题、工程问题等实例培养学生数学思维中的推理能力和运算能力，强化数学语言的模型意识，课中便于教师系统授课，课后助力学生针对性练习，查漏补缺。

第5章第3节 分式方程 题型1 分式方程的定义 题型2 分式方程的解 题型3 解分式方程 题型4 分式方程的增根 题型5 由实际问题抽象出分式方程 题型6 分式方程的应用 ▉题型1 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 1．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程，是分式方程的是（　　） A． B． C． D．1 3．下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D．6x2+4x+1＝0 4．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． ▉题型2 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 5．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．或﹣1 B．﹣2或0 C．或﹣2或0 D．或﹣2或﹣1 6．若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 7．关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　） A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4 8．已知关于x的分式方程2的解是非负数，则m的取值范围是 　 ． ▉题型3 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 9．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 10．方程的解是 　 ． 11．解方程： （1）； （2）． 12．解分式方程： （1）； （2）． ▉题型4 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 13．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 15．若关于x的方程有增根，则n的值为 　　 ． 16．当关于x的方程的解为增根时，m的值为　　 ． ▉题型5 由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 17．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（　　） A．1 B． C．1 D． 18．绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（　　） A．25 B．25 C．25 D．25 19．DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 20．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 21．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C． D． ▉题型6 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 22．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接2025年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A、B两种糖果，其中A类糖果的价格比B类糖果的价格每千克多2元，花100元购买A类糖果的数量与花90元购买B类糖果的数量相同，则A类糖果的价格　　 元/千克． 23．近年来，人工智能发展迅速，宇树公司研发的智能分拣机器人“小宇”在快递分拣中心大显身手．它能够自动识别快递信息，并根据目的地进行快速分拣，大大提高了工作效率．某快递分拣中心引入“小宇”机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 24．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 25．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 26． 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 27．某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种茶具套装的单价； （2）某茶社准备在该网店购买甲、乙两种茶具套装共10套，花费不超过1600元，则该茶社最多可以购买多少套乙种茶具？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章第3节 分式方程 题型1 分式方程的定义 题型2 分式方程的解 题型3 解分式方程 题型4 分式方程的增根 题型5 由实际问题抽象出分式方程 题型6 分式方程的应用 ▉题型1 分式方程的定义 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 1．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A.1，是整式方程，不符合题意； B.2+x，是整式方程，不符合题意； C.1，是整式方程，不符合题意； D.1，是分式方程，符合题意； 故选：D． 2．下列关于x的方程，是分式方程的是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【解答】解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； C、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数； D、方程分母中含未知数x，故是分式方程． 故选：D． 3．下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D．6x2+4x+1＝0 【答案】B 【解答】解：A、方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数； B、方程分母中含未知数x，故是分式方程． C、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； D、是整式方程， 故选：B． 4．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B、方程分母含字母a，但它不是表示未知数，也不是分式方程； C、方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程； D、方程分母中含未知数x，是分式方程． 故选：D． ▉题型2 分式方程的解 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 5．若关于x的方程无解，则m的值为（　　） A．或﹣1 B．﹣2或0 C．或﹣2或0 D．或﹣2或﹣1 【答案】D 【解答】解：去分母得：x﹣2+m（x﹣1）＝2m+2． 整理得：（m+1）x＝3m+4． 当m+1＝0时， 解得：m＝﹣1，此时分式方程无解； 当m+1≠0时，x． 当x＝1时，1． 解得：m，此时分式方程无解； 当x＝2时，2， 解得：m＝﹣2，此时分式方程无解． 故选：D． 6．若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 7．关于x的分式方程无解，则a的取值是（　　） A．4 B．0或﹣3 C．﹣3或4 D．0或﹣3或4 【答案】C 【解答】解：根据分式有意义，x≠3，x≠0， 将分式方程化为整式方程为：x（x+a）﹣7（x﹣3）＝x（x﹣3），整理得（a﹣4）x＝﹣21， ∵分式方程无解， ∴a＝4，a＝﹣3． 故选：C． 8．已知关于x的分式方程2的解是非负数，则m的取值范围是 m≤5且m≠3　 ． 【答案】m≤5且m≠3 【解答】解：去分母得：1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2， 化简得：2x＝5﹣m， ∴x， ∵分式方程的解为非负数， ∴0， ∴m≤5， 又x1， ∴m≠3， 故答案为：m≤5且m≠3． ▉题型3 解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 9．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　） A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x 【答案】B 【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x， 故选：B． 10．方程的解是 x＝3　 ． 【答案】x＝3． 【解答】解：， 方程两边同时乘x（x﹣1），得2x＝3（x﹣1）， 去括号，得2x＝3x﹣3， 解得：x＝3， 检验：把x＝3代入x（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝3． 故答案为：x＝3． 11．解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝0； （2）无解． 【解答】解：（1）原方程去分母得：x﹣5＝2x﹣5， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，2x﹣5≠0， 故原分式分式方程的解为x＝0； （2）原方程去分母得：（x﹣2）2﹣（x+2）2＝16， 整理得：﹣8x＝16， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，x2﹣4＝0， 则x＝﹣2是分式方程的增根， 故原方程无解． 12．解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1）x＝4.5； （2）分式方程无解． 【解答】解：（1）， ， 3（x﹣3）＝x， 3x﹣9＝x， 2x＝9， x＝4.5， 检验：当x＝4.5时，x（x+3）（x﹣3）≠0， ∴x＝4.5是原分式方程的解； （2）， ， 8+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2）， 8+x2﹣4＝x2+2x， 2x＝4， x＝2， 检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴原分式方程无解． ▉题型4 分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 13．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 【答案】A 【解答】解：， x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2， 解得：x＝m﹣4， ∵分式方程有增根， ∴4﹣x2＝0， ∴x＝±2， 当x＝2时，m﹣4＝2， ∴m＝6， 当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2， ∴m＝2， ∴m的值是6或2， 故选：A． 14．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 【答案】A 【解答】解：原分式方程两边同乘（x﹣2）得：m+x﹣1＝2x﹣4， 解得：x＝m+3， ∵原分式方程有增根， ∴x＝2， ∴m+3＝2， 解得：m＝﹣1． 故选：A． 15．若关于x的方程有增根，则n的值为 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：， n﹣2＝x﹣1， 解得：x＝n﹣1， ∵方程有增根， ∴x＝1， 把x＝1代入x＝n﹣1中得：1＝n﹣1， 解得：n＝2， 故答案为：2． 16．当关于x的方程的解为增根时，m的值为　1.5　 ． 【答案】1.5． 【解答】解：去分母，得：x+m﹣3m＝4（x﹣3）， 由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3， 把x＝3代入整式方程，可得：m＝1.5． 故答案为：1.5． ▉题型5 由实际问题抽象出分式方程 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路． 17．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（　　） A．1 B． C．1 D． 【答案】A 【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍， ∴牛车的速度是1.5x里， 由题意可得：1， 故选：A． 18．绿水青山就是金山银山，某工程队承接了50万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前25天完成这一任务．设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下列方程正确的是（　　） A．25 B．25 C．25 D．25 【答案】C 【解答】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米， 根据题意可得：， 故选：C． 19．DeepSeek掀起了“人工智能+”的热测，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间（x+2）小时， 依题意得：． 故选：B． 20．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x﹣3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得： 2， 故选：A． 21．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设江水的流速为x千米/时， ． 故选：A． ▉题型6 分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 22．2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，为了迎接2025年春节到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A、B两种糖果，其中A类糖果的价格比B类糖果的价格每千克多2元，花100元购买A类糖果的数量与花90元购买B类糖果的数量相同，则A类糖果的价格　20　 元/千克． 【答案】20． 【解答】解：设B类糖果的价格为x元/千克，则A类糖果的价格为（x+2）元/千克， ∵花100元购买A类糖果的数量与花90元购买B类糖果的数量相同， ∴， 整理得，10x＝180， 解得x＝18， 经检验，x＝18是方程的解， ∴A类糖果的价格为18+2＝20（元/千克）． 故答案为：20． 23．近年来，人工智能发展迅速，宇树公司研发的智能分拣机器人“小宇”在快递分拣中心大显身手．它能够自动识别快递信息，并根据目的地进行快速分拣，大大提高了工作效率．某快递分拣中心引入“小宇”机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 【答案】“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务． 【解答】解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成（x+3000）件快递分拣任务， 根据题意得：， 解得：x＝1000， 经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意， ∴x+3000＝1000+3000＝4000（件）． 答：“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务． 24．某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元， 根据题意，得， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个． 由题意得：3y﹣5+y≤95． 解得y≤25． 答：商场最多购进乙商品25个； （3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380， 解得：y＞23． ∵y为整数，y≤25， ∴y＝24或25． ∴共有2种方案． 方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个； 方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 25．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是（x+0.2）万元， 由题意得：， 解得：x＝0.6， 经检验，x＝0.6是原方程的解，且符合题意， ∴x+0.2＝0.6+0.2＝0.8， 答：甲型充电桩的单价是0.8万元，乙型充电桩的单价是0.6万元； （2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为（15﹣m）个， 由题意得：15﹣m≤2m， 解得：m≥5， 设所需费用为w万元， 由题意得：w＝0.8m+0.6×（15﹣m）＝0.2m+9， ∵0.2＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝5时，w取得最小值＝0.2×5+9＝10， 答：购买这批充电桩所需的最少总费用为10万元． 26． 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设A种型号无人机平均每小时喷洒x公顷地，则B种型号无人机平均每小时喷洒（x+2）公顷地， 由题意得：， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意， ∴x+2＝8+2＝10， 答：A种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B种型号无人机平均每小时喷洒10公顷地； （2）设购买A型无人机m架，则购买B型无人机（20﹣m）架， 由题意得：8m+10（20﹣m）≥180， 解得：m≤10， ∵A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架， ∴m取最大值时，总成本最低， ∴m＝10， ∴20﹣m＝20﹣10＝10， 最低成本为：10×5+10×6＝110（万元）， 答：购买A型无人机10架，购买B型无人机10架，才能使总成本最低，最低成本为110万元． 27．某网店销售甲、乙两种茶具套装，甲种茶具套装的单价比乙种茶具套装的单价少30元，花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种茶具套装的单价； （2）某茶社准备在该网店购买甲、乙两种茶具套装共10套，花费不超过1600元，则该茶社最多可以购买多少套乙种茶具？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设甲种茶具具套装的单价是x元，则乙种茶具套装的单价是（x+30）元， 根据题意得2， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意， ∴x+30＝180， 答：甲种茶具套装的单价是150元，乙种茶具套装的单价是180元； （2）设学校购进乙种茶具套装m套，则购进甲种茶具套装（10﹣m）套， 根据题意得：150（10﹣m）+180m≤1600， 解得：m≤3， ∴m的最大值为3， 答：学校最多可以购进乙种茶具套装3套． 学科网（北京）股份有限公司 $