由函数单调性求参数问题、由函数零点数量求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

由函数单调性求参数问题、由函数零点数量求参数问题专项训练 由函数单调性求参数问题、由函数零点数量求参数问题专项训练 考点目录 由函数单调性求参数问题 由函数零点数量求参数问题 考点一 由函数单调性求参数问题 例1．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）“”是“函数在区间上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 例3．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为 ． 例5．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 例6．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)若，求函数的极大值； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围． 例7．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 变式1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 变式2．（25-26高三上·安徽·月考）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 变式3．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·江苏南京·期末）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为 . 变式5．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 变式6．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 变式7．（25-26高二上·北京·月考）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 变式8．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求在点处的切线方程； (2)若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 考点二 由函数零点数量求参数问题 例1．（25-26高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·福建厦门·期末）函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数存在唯一零点，则的取值范围是 . 例4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知有三个零点，则的范围是 ． 例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数. (1)若直线为曲线在点处的切线，求实数的值； (2)若有3个零点，求实数的取值范围. 例6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知函数，（）． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围； (3)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 变式1．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 变式3．（25-26高三上·吉林长春·期末）函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 变式4．（2026·江西萍乡·一模）已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为 ． 变式5．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有2个零点，求实数m的取值范围. 变式6．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $由函数单调性求参数问题、由函数零点数量求参数问题专项训练 由函数单调性求参数问题、由函数零点数量求参数问题专项训练 考点目录 由函数单调性求参数问题 由函数零点数量求参数问题 考点一 由函数单调性求参数问题 例1．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）“”是“函数在区间上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，故，， 因函数在上单调递增，故，所以； 若，因，则，则函数在上单调递减.” 故“”是“函数在区间上单调递减”的充要条件. 故选：B. 例2．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知函数在上单调递增，则的最大值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】函数，求导得：，因为在上单调递增， 则对任意的，成立，设，则， 由，得，由，得，从而在上单调递减，在上单调递增， 即，因此， 所以a的最大值是. 故选：B 例3．（25-26高二上·江苏镇江·期末）若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 故选：B 例4．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以. 由函数在区间上为增函数，所以在上恒成立. 所以在上恒成立. 所以. 因为，所以，所以. 故答案为： 例5．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 例6．（25-26高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)若，求函数的极大值； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）当时，， 则 令,得 ， 所以当时，；当时，；当时，； 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增. 所以极大值； （2）由题得， 因为在上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立， 又函数在上单调递减，上单调递增， 且当时，；当时，； 所以， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 例7．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间和极值； (2)若在区间内有极值，求的取值范围； (3)若在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【详解】（1），则， 令，可得，解得或， 则的变化如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由表可得的单调增区间是和，单调减区间是； 函数的极大值为，极小值为； （2）因为 当，即时，，单调递增，故无极值点； 当，即或时，有两个根， ，， 由题意可得，①，或②， ①式无解，②式的解为， 故的取值范围是； （3）由已知，得在上恒成立，即在上恒成立， 设，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，故，所以， 即的取值范围为. 变式1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，则， 若函数在上单调递增，则在上恒成立， 令，则, 即在上恒成立，且， 可得，解得， 若，则， 因为，当且仅当时，等号成立， 则， 可知函数在上单调递增，则，符合题意； 综上所述：实数的最大值为2. 故选：C. 变式2．（25-26高三上·安徽·月考）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 变式3．（24-25高二上·山西·期末）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，可得其定义域为且， 因为函数在定义域内单调递增，所以恒成立， 即在恒成立，即， 设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以. 故选：A. 变式4．（25-26高二上·江苏南京·期末）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】原不等式移项得：， 令，则，， 设，， 故在上单调递增； ， 原不等式等价于： 又单调递增，则， ，令， 求导：，令，得， 当时，，递增；当时，，递减， 因此， 要使得对所有成立，只需. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数单调递增，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】依题意知， 因为函数在单调递增， 所以，即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 又因为（当且仅当时取“”）， 所以. 故答案为： 变式6．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可得在上恒成立， 因为的图像是开口向上的抛物线，对称轴为， 所以. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 变式7．（25-26高二上·北京·月考）已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，， 则切线的斜率，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立.记函数，则， 因为，所以，所以在区间上为增函数， 故，所以，所以的取值范围为. 变式8．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数的最小正周期为． (1)求在点处的切线方程； (2)若，函数在上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得， ， 因为的最小正周期为，所以，则， 则， 故切线的斜率， 在点处的切线方程为． （2）因为在上单调递减， 所以， 则，得， 由，可得，于是， 设，下面证明恒成立． 求导得， 当时， ， 因为正弦函数在上单调递增，所以在上单调递增， 故在上单调递减， 则， 当时，， 因为正弦函数在上单调递减，所以单调递减， 故在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得，结合的单调性， 可得当时，单调递减； 当时，单调递增． 又因，所以， 故． 综上，的取值范围为． 考点二 由函数零点数量求参数问题 例1．（25-26高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 例2．（25-26高二上·福建厦门·期末）函数有两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题函数定义域为， 函数有两个零点，等价于方程 有两个解， 即 与直线有两个交点. ， 因为，所以， 令， 易知在单调递增， 当时，，当时，， 令，则存在唯一的， 所以，即, 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 在处取得最小值， ， 代入，， 当时，当时， 所以大致图象如图所示， 所以， 即. 故选：B. 例3．（25-26高二上·福建厦门·期末）若函数存在唯一零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得， 可知方程存在唯一解，即射线与曲线和共有一个交点. 当时，与交于一点，与无公共点，符合题意； 当时，若与曲线或相切，有唯一公共点， 可知曲线的导函数为， 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 可知曲线的导函数为 设切点为，则切线斜率为，切线方程为， 当切线经过原点时，解得，此时斜率为，即； 综上，. 例4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知有三个零点，则的范围是 ． 【答案】 【详解】函数有三个零点， 等价于关于x的方程有三个实根．显然， ∴方程有三个实根． 设函数， 则． 当和时，，在和为减函数； 当时，，在为增函数； ∴在时取极小值3， 当时，， 当时，，当时，， 如图，    所以的范围是. 故答案为： 例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）已知函数. (1)若直线为曲线在点处的切线，求实数的值； (2)若有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，则. 因为切线方程为，所以.将代入可得. 所以. （2）令.可得， 令，则， 令，可得或2， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示. 观察可知，，所以实数的取值范围是. 例6．（25-26高二上·安徽宣城·期末）已知函数，（）． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围； (3)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值． 【答案】(1)答案见解析. (2) (3)1 【详解】（1）由题意，， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令，得， 当，，当， 在单调递增，在单调递减 （2）有两个零点，等价于有两个实数根，即， 即，等价于与有两个交点． 由得，， 当，，当，， 在单增，单减． 且，， ，，，，且时，，图象如图， 的取值范围是 （3）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立． 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，所以a的最小值为1 变式1．（25-26高二上·浙江台州·期末）若函数在区间各恰有一个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在区间各恰有一个零点，所以在区间各有一个解， 当时，，故可化为， 令，，则问题转化为与在各有一个交点. 设， ， 时，， 故，在单调递增， 又，所以时，，，在单调递增. 时，设， 故在上单调递增， 又，故存在使成立， ，，单调递减；，，单调递增. 又，，所以存在使成立， ，，单调递增；，，单调递减. 又, 所以大致图像如图所示， 故的取值范围为 故选：A. 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知函数在上有两个零点，则的取值为（   ） A．0或 B． C．4 D．0或4 【答案】A 【详解】，， ，则在上单调递增，在上单调递减. 为使在R上有两个零点， 则或，得或， 从而或. 故选：A 变式3．（25-26高三上·吉林长春·期末）函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数定义域为 ，，所以 是函数的零点； 因为函数有三个不同的零点，所以函数在内有两个零点； 即在内方程有两个不相等的实数解， 即在内有两个不相等的实数解， 即与有两个交点， 令，， 则，令， ， 因此在 上单调递减，且. 当 时， ，故单调递增； 当 时， ，故单调递减； 当时，，当时，，当时，， 所以的值域为 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式4．（2026·江西萍乡·一模）已知有且仅有两个零点，则所有满足条件的的乘积为 ． 【答案】 【详解】有且仅有两个零点，等价于方程有两个根. 令， 所以函数有且仅有两个零点等价于与的图象有两个交点. 在上单调递减， 的图象为以为顶点，向左上方和右上方延伸的“V”型. 当直线与相切时， 设切点为，，则切线斜率，切点为，代入，解得. 结合，知当时，与的图象有两个交点. 当时，结合图象可知与的图象有两个交点. 所以当时，与的图象有1个交点. 当时，与的图象有3个交点. 当时，与的图象有1个交点. 满足条件的为和，其乘积为. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数在处有极值. (1)求的值； (2)若函数恰有2个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由函数，可得， 因为在处取极值，可得，解得， 当时，， 当或时，；当，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故满足在处取极值，所以. （2）由（1）知：函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以，， 由于当时，，时，， 时，，当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又因为方程有2个实数根时，即函数与的图象有两个公共点， 结合图象，可得或， 所以恰有2个零点时，实数的取值范围为. 变式6．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数. (1)若，求的极值； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围； (3)若存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，无极小值 (2) (3) 【详解】（1）时，， 则， 时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 故时，的极大值是，无极小值 （2）由于，对任意的恒成立， 取，，则； ， 当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减， 在取到了极大值，也是最大值， 故对任意的恒成立，等价于， 即，即， 解得 （3）由（2）知，时，， 且取到了等号， 即恒成立，且取等号， 设，， 时，，在上递增； 时，，在上递减， 故时取到极大值也是最大值， 故， 显然， ， 若，则恒成立，不可能有零点； 当时，，， ，因此存在，使得. 故存在零点时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $