20.2勾股定理的逆定理及其应用精析精练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 20.2勾股定理的逆定理及其应用（解析版） 知识点1、勾股定理的逆定理 1．的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设，，，则， ∴，则，，，无角， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； B、∵，且， ∴， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，，，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．下列数据能作为直角三角形三边的是（） A．，， B．2，3，4 C．9，25，27 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，准确找出最大边并验证三边的平方关系是解题的关键．根据勾股定理的逆定理，对每个选项中的三边，先确定最大边，再验证两条较短边的平方和是否等于最大边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】A．∵最大边为1，，，，∴该组数据不能作为直角三角形三边，不合题意； B．∵最大边为4，，，，∴该组数据不能作为直角三角形三边，不合题意； C．∵最大边为27，，，，∴该组数据不能作为直角三角形三边，不合题意； D．∵最大边为13，，，，∴该组数据能作为直角三角形三边，符合题意； 故选：D 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用． 先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，即可求解的面积． 【详解】解：∵在正方形网格中，每个小正方形的边长是1， ∴由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故D错误，A、B、C正确， 故选：D． 4．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义以及面积公式，即可求解； （2）根据勾股定理画出边长为的正方形，即可； （3）根据勾股定理画出长为5的线段，即可； （4）根据勾股定理画出长为，，的三角形，即可． 【详解】（1）∵， ∴即为所求； （2）∵EF=FG=GD=DE=， ∴正方形的面积为13； （3）HI=； （4）∵KL=，JL=，JK=， 且 ∴是直角三角形，且周长为． 【点睛】本题主要考查网格中的勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据（1）可得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由勾股定理和网格的特点可得，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）可得， ∴． 知识点2勾股数 1．判定含字母的式子能否构成勾股数若，，是一组勾股数，则下列四组数中，一定是一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】要判断一组数是否为勾股数，需要同时满足 “是正整数” 和 “满足勾股定理” 两个条件。我们可以通过举反例或代数推导来逐一验证选项． 【详解】解：A、取勾股数，，，则，，，计算，而 ，，不满足勾股定理，不符合题意； B、取勾股数，，，则，，，计算，而 ，，不满足勾股定理，不符合题意； C、已知，对，，进行验证：且，，均为正整数，满足勾股数的定义，符合题意； D、取勾股数，，，则，，，计算，而 ，，不满足勾股定理，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的定义与性质，解题关键是紧扣勾股数的两个核心条件（正整数、满足勾股定理），通过举反例或代数推导来验证选项． 2．有下列说法： ∵，，不是勾股数，∴三边长分别为，，的三角形不是直角三角形； ∵三边长分别为，，的三角形是直角三角形，∴，，是勾股数； 若整数，整数，整数分别是直角三角形的三边长，则，，必定不是勾股数． 其中错误的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】由，，不是勾股数，但三边长分别为，，的三角形能构成直角三角形，故错误； 三边长分别为，，的三角形是直角三角形，但不是正整数，∴，，不是勾股数，故错误； 若整数，整数，整数分别是直角三角形的三边长，则，，可能是勾股数，故错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股数，解题的关键是熟记：满足的三个正整数，称为勾股数． 3．下列四个说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是8、15，那么斜边必是17； ③如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用． 根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③进行判断；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理对④进行判断． 【详解】解：∵a，b，c为一组勾股数，∴，又∵，，∴，∴如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数；故①正确； 如果直角三角形的两边是8、15，当直角边为8、15时，那么斜边是17，当15是斜边时，斜边是15，故②错误； ∵，∴如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形不是直角三角形，故③错误； ∵等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），∴， ∴，∴，∴一个等腰直角三角形的三边是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，故④正确． 正确的有①④． 故选：D． 4．勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（    ） A． B． C．5，15，20 D．9，40，41 【答案】D 【分析】根据勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数进行分析． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、52+152≠202，不能构成直角三角形，不是勾股数，不符合题意； D、92+402＝412，能构成直角三角形，且为正整数，为勾股数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形． 5．材料阅读：给定三个正整数a、b、c，若它们满足，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如： ①，，；∵，即，∴3、4、5这三个数为勾股数． ②，，；∵，即，∴5、12、13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边． 根据以上信息，解答下列问题： (1)试判断8、15、17是否为勾股数； (2)若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积； (3)已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 【答案】(1)是； (2)84； (3)24或． 【分析】（1）根据勾股数的定义判定即可； （2）根据勾股数的定义判定7、24、25是一组勾股数，以它们为边长的三角形是直角三角形，根据三角形面积公式即可解答； （3）分两种情况讨论：①若当8是直角边时，则另一条边为，周长为；②当8是斜边时，则另一条边为，周长为． 【详解】（1）∵，，， 且， ∴， ∴8、15、17这三个数是勾股数． （2）∵∵ ∴该三角形是直角三角形，且7、24分别为直角的两条邻边． ∴其面积为． （3）当8是直角边时，则另一条边为，周长为； 当8是斜边时，则另一条边为，周长为． 故其周长为24或． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，勾股数的定义，正确理解阅读材料，分类讨论是解题的关键． 6．观察下列各组勾股数有哪些规律： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 …… a，b，c 请解答： (1)当a=11时，求b，c的值； (2)判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 【答案】(1)b=60、c=61 (2)是勾股数，理由见解析 【分析】（1）观察各组勾股数可得b+1=c，当时，再结合即可求解； （2）只需求出，看结果是否等于即可求解． 【详解】（1）解：由，，， 得． 解得，； （2）是勾股数， 理由如下： 又， ， ，220，221是勾股数． 【点睛】本题考查了勾股定理及其你定理的应用，解题的关键是发现各组勾股数间的规律． 知识点3勾股定理的逆定理的应用 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 2．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 【答案】 7 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，角平分线的性质定理等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，运用勾股定理以及角平分线的性质求解． 过点分别作的垂线，垂足分别为，根据角平分线性质定理得到，由面积法得到，即可求解，即可求解的面积；过点作于点，由面积法得到，则，即可求解，然后通过勾股定理逆定理证明，则，可得为等腰直角三角形，，通过等面积得到，，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵的面积为4， ∴ ∴的面积为； 过点作于点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7，，． 3．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据四边形的面积等于与的面积之和，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ． （2）解：∵，， ， ∴是直角三角形，， ∴ ． 4．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)1800元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理求解即可； （2）求出四边形的面积，即可求解费用． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴，则（舍负） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由（1）知，而 ∴， ∴费用为：（元） 5．某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 【答案】(1)的长度为25米； (2)该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）得，米，利用勾股定理的逆定理证出，利用三角形的面积公式计算出四边形的面积，结合运动型塑胶地板每平方米200元，即可求解． 【详解】（1）解：，米，米， 由勾股定理得：（米）， 答：的长度为25米； （2）解：，， ， 是直角三角形． （平方米） 则（元） 答：该小区购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元． 6．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响海港持续的时间有 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理的应用，关键是将实际台风影响问题转化为直角三角形的几何模型，通过几何计算与运动公式结合求解． （1）先利用勾股定理的逆定理，验证，判断为直角三角形；再通过直角三角形的面积公式求出点到的距离，将与台风影响半径比较，若，则海港受台风影响． （2）先确定台风开始影响和结束影响海港时的位置、，使得；在中，用勾股定理求出的长度，结合对称性质得到影响的路程；最后根用的长度除以台风移动速度，即可求出持续时间． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 由三角形面积公式得， 即，解得． ∵，即点到的距离小于台风影响半径， ∴海港受台风影响； （2）解：在线段上取两点、，使得，连接，． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴． ∵台风中心移动速度为， ∴影响持续时间为小时． 8．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 9．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 【答案】(1) (2)被监控到的道路长度为米 【分析】（1）根据题目易得，，由勾股定理求出的长度,然后由勾股定理的逆定理即可求解； （2）过D作，由轴对称的性质，得到,最后可根据勾股定理求解． 本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：连接， ，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （2）解：过D作，然后作点A关于的对称点F，连接，如图 ∴，， 由（1）：， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 在中，有， ∴， ∴， ∴被监控到的道路长度为米． 知识点4勾股定理及逆定理的综合运用 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)AC=，CD=，AD=5 (2)∠ACD=90° (3)13 【分析】（1）根据勾股定理可求； （2）根据勾股定理逆定理可判断； （3）由S四边形ABCD=可求． 【详解】（1）解：根据题意，得： AC=， CD=， AD==5． （2）解：∵AC+CD=+=25=5=AD． ∴∠ACD=90°． （3）解：．S四边形ABCD==8+5=13． 【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握勾股定理与逆定理是解题的关键． 2．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 3．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）证明见解析；（2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】证明：（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 【答案】（1）直角三角形；（2）. 【分析】把a2+b2+c2+338=10a+24b+26c化为（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，根据非负数的性质求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形即可；（2）利用直角三角形面积的两种表示法求得AB边上的高即可. 【详解】（1）∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c， ∴a2-10a+25+b2-24b+144-c2+26c+169=0， ∴（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0， 即a=5，b=12，c=13（a，b，c都是正的）， ∵52+122=132， ∴该三角形是直角三角形，且∠ACB=90°． （2）设AB边上的高为h， 根据直角三角形面积的两种表示法可得，， 即， 解得h=. ∴AB边上的高为. 【点睛】本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键. 1．下列四组数：；；；．能作为直角三角形三条边长度的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，通过验证每组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，判断能否构成直角三角形，统计符合条件的组数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，第一组数能作为直角三角形三边长 ∵，， ∴第二组数不能作为直角三角形三边长 ∵，， ∴第三组数不能作为直角三角形三边长 ∵， ∴，第四组数能作为直角三角形三边长 综上，符合条件的有2组， 故选：B． 2．在中，已知，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，掌握利用勾股定理逆定理判断直角三角形，再结合内角和求角度是解题的关键． 由条件可得，根据勾股定理的逆定理，可知，再结合三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 3．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 【答案】17100元 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形和四边形的面积计算等知识点，解题的关键是通过连接对角线，将不规则四边形的面积转化为两个直角三角形和的面积之和． 先在中，利用勾股定理求出的长度；再根据、、的长度，利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形；然后分别计算和的面积，求和得到四边形的总面积；最后根据每平方米地板的价格，计算出总费用． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积 ， ∵运动型塑胶地板每平方米元， ∴购买运动型塑胶地板的费用为（元）， 答：购买运动型塑胶地板的费用为元． 4．（1）证明命题：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． 已知：如图1，中，是边上的中线，且________． 求证：________．（请写出证明步骤） （2）如图2，已知D，E是平面内两点．请用无刻度的直尺和圆规作图：在的边上找一点F，使得为直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1），，证明见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查线段中点，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，尺规作线段垂直平分线，掌握以上知识是关键． （1）根据线段中点，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理得到，则，即可求证； （2）运用尺规作垂直平分线，结合（1）的结论即可求解． 【详解】解：（1）已知：如图1，中，是边上的中线，且， 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴，则， 即； （2）如图所示， 作线段的垂直平分线，交于点，则， 以点为圆心，以为半径画弧，交于点，则， ∴，即一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形， ∴是直角三角形，， ∴点即为求作的点的位置． 5．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为． (1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？ (2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？ 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案； （2）以点为圆心，为半径作圆，交于点，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题． 【详解】（1）解：能覆盖点，理由如下，如图，过点作，垂足为， ， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， 能覆盖点； （2）解：如图，以点为圆心，为半径作圆，交于点， 则， ， ， 在中，， ， ， ， 着火点能被扑灭． 6．如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查作图—作三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，翻折变换，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，，即可； （2）证明是等边三角形，求得，，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，得，根据即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）∵沿着折叠得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，， ，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 7．阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： (1)如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； (3)如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)点，是线段的勾股分割点，理由见解析 (2)的长为或 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理，尺规作图—作垂线，线段垂直平分线的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据“勾股分割点”的定义判断即可得出结果； （2）设，则，分两种情况：当为最长线段时，由题意可得；当为最长线段时，由题意可得；分别计算即可得出结果； （3）以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作． 【详解】（1）解：点，是线段的勾股分割点，理由如下： ∵，，， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，是线段的勾股分割点； （2）解：设，则， ∵点，是线段的勾股分割点，且为直角边， ∴当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得， 当为最长线段时，由题意可得， ∴， 解得：， 综上所述，的长为或； （3）解：如图，以点为圆心，线段为半径画弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所作， ， 由作图可得：， 由线段垂直平分线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形是一个直角三角形， ∴点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边． 8．造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图1，我们把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，由此方法我们可以得到A系列纸张、、、… 查阅资料知A系列纸张的规格如下： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.41 1.41 ▲ ▲ (1)请计算、纸的长与宽之比（结果保留两位小数），并填在上面表中； (2)通过查阅资料，可知A系列纸的长与宽之比为一个固定的无理数，请求出这个数； (3)如图2，已知长方形是一张纸，点E、F分别为边的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)A系列纸的长与宽的比值均为； (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，算术平方根的实际应用． （1）利用长除以宽即可求解； （2）设的长和宽分别为和，根据题意得到，求得，据此即可求得，可推出A系列纸的长与宽的比值均为； （3）设，则，利用勾股定理及其逆定理即可判断是直角三角形． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：设的长和宽分别为和， 由题意可知，A系列纸张的长与宽的比值为一个固定的无理数， ∴， ∴或(舍去) ， ∴，即纸的长与宽的比值是； 同理可知，纸的长为，宽为，纸的长为，宽为， ∴， 又∵， ∴， 即纸的长与宽的比值是； 同理可得：A系列纸的长与宽的比值均为； （3）解：是直角三角形，理由如下： 由（2）知，A系列纸的长与宽的比值均为， 设，则， ∵点E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 1．我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长至，使得，连接，证明，得出，，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）延长至，使，连接，过点作于点，则，、和都是直角三角形，设，求出，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得，则，，，再由中线的性质即可得出结果； （3）延长到，使得，连接，过点作于点，则，，和都是直角三角形，设，则，，同（1）证明，得出，由勾股定理可得 ，则，，求出，再结合中线的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：延长至，使得，连接，如图所示： ∴， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接，过点作于点，如图： ∴，、和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为； （3）解：延长到，使得，连接，过点作于点，如图： ∴，，和都是直角三角形， 设， ∴，， 同（1）证明：， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∵是边上的中线， ∴， 即的长度为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理逆定理，三角形中线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 4．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【答案】(1)25 (2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解： 在中， ， 小路的长为. 故答案为：25. （2）解：如图所示，过点作于点． 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ，，，， ， 是直角三角形，， 则， ， ， ． ． 故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容． 拓展 素养训练 基础 分点训练 中档 提分训练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下精析精练 20.2勾股定理的逆定理及其应用 知识点1、勾股定理的逆定理 1．的三边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（  ） A． B． C． D． 2．下列数据能作为直角三角形三边的是（） A．，， B．2，3，4 C．9，25，27 D．5，12，13 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1，点，，都在格点上，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，请按要求画图： （1）在图1中画出一个面积为1的格点等腰直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为13的格点正方形； （3）在图3中画出一条长为5，且不与正方形方格纸的边平行的格点线段； （4）在图4中画出一个周长为的格点直角三角形． 5．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 知识点2勾股数 1．判定含字母的式子能否构成勾股数若，，是一组勾股数，则下列四组数中，一定是一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．有下列说法： ∵，，不是勾股数，∴三边长分别为，，的三角形不是直角三角形； ∵三边长分别为，，的三角形是直角三角形，∴，，是勾股数； 若整数，整数，整数分别是直角三角形的三边长，则，，必定不是勾股数． 其中错误的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列四个说法： ①如果a，b，c为一组勾股数，那么仍是勾股数； ②如果直角三角形的两边是8、15，那么斜边必是17； ③如果一个三角形的三边是12、25、20，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a，b，c，那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 4．勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（    ） A． B． C．5，15，20 D．9，40，41 5．材料阅读：给定三个正整数a、b、c，若它们满足，则称a、b、c这三个数为“勾股数”．例如： ①，，；∵，即，∴3、4、5这三个数为勾股数． ②，，；∵，即，∴5、12、13这三个数为勾股数． 若三角形的三条边a、b、c满足勾股数，即，则这个三角形为直角三角形，且a、b分别为直角的两条邻边． 根据以上信息，解答下列问题： (1)试判断8、15、17是否为勾股数； (2)若某三角形的三边长分别为7、24、25，求其面积； (3)已知某直角三角形的两边长为6和8，求其周长． 6．观察下列各组勾股数有哪些规律： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 …… a，b，c 请解答： (1)当a=11时，求b，c的值； (2)判断21，220，221是否为一组勾股数？若是，请说明理由． 知识点3勾股定理的逆定理的应用 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 2．如图，在中，平分，，，且的面积为4，则的面积为 ． 变式：若，则 ， ． 3．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 4．为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？ 5．某小区准备将辖区内一块如图所示的四边形平地进行改造，经测量，，米，米，米，米，连接． (1)求的长度； (2)若在四边形地面上全部铺设运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，请计算该小区购买运动型塑胶地板所需的费用． 6．渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 7．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点，的距离、分别为、，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？ 8．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 9．如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且． (1)求的度数； (2)若直线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多 知识点4勾股定理及逆定理的综合运用 1．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均在格点上． (1)直接写出线段AC、CD、AD的长； (2)求∠ACD的度数； (3)求四边形ABCD的面积． 2．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 3．课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. （1）试判断△ABC的形状. （2）求AB边上的高． 1．下列四组数：；；；．能作为直角三角形三条边长度的组数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，已知，，则的度数为 ． ． 3．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米元．经测量．求购买运动型塑胶地板的费用． 4．（1）证明命题：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形． 已知：如图1，中，是边上的中线，且________． 求证：________．（请写出证明步骤） （2）如图2，已知D，E是平面内两点．请用无刻度的直尺和圆规作图：在的边上找一点F，使得为直角三角形，且．（不写作法，保留作图痕迹） 5．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用无人机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式．如图，有一台救火无人机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，点与直线上两点的距离分别为和，且，无人机的洒水半径为． (1)无人机的洒水半径能覆盖点吗？为什么？ (2)若无人机的速度为，要想扑灭着火点，估计需要持续洒水20秒，请你通过计算判断着火点能否被无人机扑灭？ 6．如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 7．阅读与思考 定义：如图1，点，把线段分割成线段，和，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 请根据阅读信息回答下列问题： (1)如图2，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长； (3)如图3，已知线段，于，若点，点是线段的勾股分割点，且，均为直角边，请你在图3中作出点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 8．造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图1，我们把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，由此方法我们可以得到A系列纸张、、、… 查阅资料知A系列纸张的规格如下： 规格 长（） 1189 841 594 420 297 宽（） 841 594 420 297 210 长与宽的比值 1.41 1.41 1.41 ▲ ▲ (1)请计算、纸的长与宽之比（结果保留两位小数），并填在上面表中； (2)通过查阅资料，可知A系列纸的长与宽之比为一个固定的无理数，请求出这个数； (3)如图2，已知长方形是一张纸，点E、F分别为边的中点，请判断的形状，并说明理由． 1．我们知道，两边及一条中线对应相等的两个三角形全等．已知，是边上中线． (1)若，，，则 ． (2)如图①，若，，，求的长度． (3)如图②，若，，，求的长度． 2．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 3．如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 4．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 中档 提分训练 拓展 素养训练 基础 分点训练 学科网（北京）股份有限公司 $