第七章 复数 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学复数单元复习课件系统梳理了复数的概念、几何意义、代数形式及四则运算，通过体系构建中的知识框架图将虚数单位、复平面向量、运算法则等核心内容串联，清晰呈现知识点间的内在逻辑与联系。 其亮点在于采用分层探究模式，如复数概念典例结合多选对点练，培养抽象能力与推理意识，几何意义探究通过复平面点的轨迹问题发展几何直观，考效衔接环节链接高考真题与教材溯源。这种设计兼顾分层教学，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

章末综合提升 　 第七章　复数 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 探究点一　复数的概念 (1)若复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，则b＝ A.0 B.1 C.2 D.3 √ 典例 1 因为复数＝＝的实部和虚部互为相反数，所以(2－b)＋(－2－b)＝0，解得b＝0.故选A. (2)(双空题)复数的虚部为_____，共轭复数为_______. －2 1＋2i ＝＝1－2i，所以虚部为－2，共轭复数为1＋2i. 规律方法 解决复数的相关概念问题的方法及注意事项 1.复数的相关概念问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部应满足的方程(组)或不等式(组)即可. 2.解题时一定要先判断复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，再确定实部和虚部. 对点练1.(1)(多选)已知z∈C，则下列说法中与“z是纯虚数”等价的是 A.z＋＝0 B.z2＜0 C.实部＝0且虚部≠0 D.z＝｜z｜i或z＝－｜z｜i，且z≠0 √ √ √ 设z＝a＋bi，a，b∈R，对于A，由z＋＝0可得2a＝0，即a＝0，但是不能说明b一定不等于零，所以不能说明z是纯虚数；对于B，由z2＝a2－b2＋2abi＜0可得即a＝0，b≠0，所以可知z是纯虚数；对于C，复数实部为0，虚部不等于0，可知z是纯虚数；对于D，由z＝｜z｜i可知，a＋bi＝i，则a＝0，又z≠0，所以b≠0，同理由z＝－｜z｜ i且z≠0，可知a＝0，b≠0，所以z是纯虚数.故选BCD. (2)(多选)下列关于复数x＋i的说法一定正确的是 A.存在x使得x＋i＜0 B.存在x使得(x＋i)2 027＝－1 C.x＋i不是实数 D.x＋i的实部和虚部均为1 √ √ 当x＝－2－i时，x＋i＜0，故A正确；当x＝－1－i时，(x＋i)2 027＝－1，故B正确；当x＝－i时，x＋i＝0为实数，故C不正确；由于x的取值未知，故D错误.故选AB. 探究点二　复数的几何意义 (1)复数z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 典例 2 因为z＝＝＝[(m－4)－(2＋2m)i]，所以复数z对应的点Z(，－).由此时无解，故复数z对应的点Z不可能位于第一象限.故选A. (2)(双空题)复数z满足｜z＋3－i｜＝，则｜z｜的最大值是_______， ｜z｜的最小值是_____. 3 ｜z＋3－i｜＝表示以－3＋i对应的点P(－3，)为圆心，以为半径的圆，如图所示， 则｜OP｜＝｜－3＋i｜＝＝2，显然｜z｜max＝｜OA｜＝｜OP｜＋＝3，｜z｜min＝｜OB｜＝｜OP｜－＝. 规律方法 1.由复数确定有序实数对，即z＝a＋bi(a，b∈R)确定有序实数对(a，b)，由有序实数对(a，b)确定复平面内的点Z(a，b)与向量＝(a，b). 2.复数的加减运算与复数的模有明确的几何意义，利用几何意义，借助几何直观解题，体现数形结合思想. 对点练2.(1)当实数m＞1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，因为m＞1，所以3m－2＞1＞0，m－1＞0，故该复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A. (2)设复数z1，z2在复平面内对应的点为Z1，Z2，若｜z1｜≤2，z2＝3－4i，则｜｜的最大值为___. 7 不等式｜z1｜≤2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆及其内部的点组成的集合.因为Z2的坐标为(3，－4)，所以｜｜的最大值为＋2＝7. 探究点三　复数的四则运算 (1)已知复数z＝，则＝ A.－＋i B.＋i C.－－i D.－i √ 典例 3 z＝＝＝＝－i，所以＝＋i.故选B. (2)已知i是虚数单位，若复数z满足(2＋i)z＝i，则＝____. i (2＋i)z＝i⇒z＝，故＝＝＝i. 规律方法 1.复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似. 2.复数的除法运算，将分子分母同时乘分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式. 3.利用复数相等，可实现复数问题的实数化. 对点练3.设复数z1＝1－ai(a∈R)，z2＝3－4i. (1)若z1＋z2是实数，则z1·z2＝__________； 19＋8i 由z1＝1－ai，z2＝3－4i，得z1＋z2＝4－(4＋a)i，而z1＋z2是实数，于是4＋a＝0，解得a＝－4，所以z1·z2＝(1＋4i)(3－4i)＝19＋8i. (2)若是纯虚数，则z1＝______. 1＋i ＝＝＝是纯虚数，因此解得a＝－，所以z1＝1＋i. 返回 考教衔接 返回 (2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝ A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i √ 真题 1 因为＝1＋i，所以z＝(z－1)(1＋i)，即z＝z－1＋zi－i，即zi＝1＋i，所以z＝＝＝1－i.故选C. 溯源：(人教A版必修第二册P95T6)已知z1＝5＋10i，z2＝3－4i，＝＋，求z. 点评：教材习题是已知两个复数，求这两个复数的倒数，考查了复数的除法及加法运算；高考题则考查了复数的乘法及除法运算.本质均在考查复数的四则运算，重点是复数的除法运算. (2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝ A.－i B.i C.0 D.1 √ 真题 2 因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A. 溯源：(人教A版必修第二册P95T7)已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及. 点评：教材习题是已知一个复数的共轭复数，求这个复数及这个复数与其共轭复数的除法运算；高考题是已知一个复数，求这个复数与其共轭复数的减法运算；本质均在考查共轭复数的求法及复数的四则运算. (2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 真题 3 因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6，8)，位于第一象限.故选A. 溯源：(人教A版必修第二册P95T1(3))当＜m＜1时，复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 点评：教材习题与高考题都是以复数的四则运算为载体，考查复数的几何意义. 返回 单元检测卷 返回 1.已知a∈R，(2＋ai)i＝4＋2i(i为虚数单位)，则a等于 A.－1 B.1 C.－4 D.3 √ 由题意可得2i－a＝4＋2i，所以a＝－4.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知i为虚数单位，若i＝1，则z＝ A.1＋i B.1－i C.i D.－i √ 因为i＝1，所以1－＝－i，得到＝1＋i，所以z＝1－i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知1＋2i是关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋m＝0的一个根，则 m＝ A.2 B.3 C.4 D.5 √ 由题意，(1＋2i)2－2(1＋2i)＋m＝0，即1＋4i－4－2－4i＋m＝0，解得m＝5.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.在复平面内，复数3＋4i，－2＋i对应的向量分别是，，其中O是原点，则向量对应的复数为 A.－5－3i B.－1－3i C.5＋3i D.5－3i √ 由题意可得＝，＝，所以＝－＝－＝，所以向量对应的复数为－5－3i.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.若复数z＝(2－a)＋(2a－1)i(a∈R)为纯虚数，则复数z－a在复平面上的对应点的位置在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 因为复数z＝(2－a)＋(2a－1)i(a∈R)为纯虚数，所以所以a＝2，复数z－a＝3i－2＝－2＋3i在复平面上的对应点为(－2，3)，位置在第二象限.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.i为虚数单位，复数z满足z(2－i)＝i102，则下列说法正确的是 A.＝ B.＝－－i C.z的虚部为－i D.z在复平面内对应的点在第三象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由已知z(2－i)＝i102＝i100·i2＝－1，所以z＝＝＝－－i，＝＝，故A错误；＝－＋i，故B错误；z的虚部是－，故C错误；z对应的点的坐标为，在第三象限，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.已知复数z满足＝1，则(i是虚数单位)的最小值为 A.－1 B.4 C.＋1 D.6 √ 设z＝x＋yi，则由＝1⇒＋y2＝1，所以 复数z在复平面内对应的点在为圆心，1为半径 的圆上，如下图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 而＝，即求复平面内点 到距离的最小值，由圆的几何性质 可知当点位于与圆心连线交 点时，取到最小值，即－1＝ 4.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数z1＝r1，z2＝r2(r1，r2＞0)，则z1z2＝r1r2.设z＝－＋i，则z2 026的虚部为 A.－ B.－i C. D.i √ 根据题意，由z＝－＋i＝cos＋isin，可得z2 026＝cos(2 026×)＋isin(2 026×)＝cos ＋isin ＝－＋i.故虚部为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.已知复数z＝m2－1＋(m＋1)i(m∈R)，则下列命题正确的是 A.若z为纯虚数，则m＝1 B.若z为实数，则z＝0 C.若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m＝ D.z在复平面内对应的点可能在第三象限 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，若z为纯虚数，则解得m＝1，故A正确；对于B，若z为实数，则m＋1＝0，所以m＝－1，此时z＝0，故B正确；对于C，z在复平面内对应的点为(m2－1，m＋1)，所以m＋1＝2(m2－1)，即2m2－m－3＝0，解得m＝－1或m＝，故C错误；对于D，若z在复平面内对应的点在第三象限，则无解，所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.设z1，z2是复数，则下列命题中是真命题的是 A.若｜z1－z2｜＝0，则＝ B.若｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，则z1z2＝0 C.若｜z1｜＝｜z2｜，则z1＝z2 D.若｜z1｜＝｜z2｜，则＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，｜z1－z2｜＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒＝，故A为真命题；对于B，令z1＝1＋i，z2＝1－i，则z1＋z2＝2，z1－z2＝2i，所以｜z1＋z2｜＝｜z1－z2｜，但是z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2，故B为假命题；对于C，｜z1｜＝｜z2｜⇒｜z1｜2＝｜z2｜2⇒z1＝z2，故C为真命题；对于D，当｜z1｜＝｜z2｜时，可取z1＝1，z2＝i，显然＝1，＝－1，即≠，故D为假命题.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知复数z＝－＋i，则下列结论正确的有 A.＝ B.复数z4＋1的虚部为i C.｜z2｜＝｜z｜2 D.复数w满足｜w－z｜＝1，则｜w｜的最大值为2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，由z＝－＋i可得＝＝＝＝－－i；而＝－－i，所以可得＝，故A正确；对于B，z4＋1＝＋1＝＋1＝＋i，其虚部为，故B错误；对于C，｜z2｜＝＝＝1，｜z｜2＝＝12＝1，即可得C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D，设w＝x＋yi，x，y∈R，则由｜w－z｜＝1可得＋＝1，所以复数w对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，因此｜w｜的最大值为1＋1＝2，即可得D正确；故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.i是虚数单位，复数＝______. 4－i ＝＝＝＝4－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足｜z｜＝5，z＋＝ 6，则＝_________. －i 复数z在复平面内对应的点位于第一象限，设复数z＝a＋bi(a，b∈R，a＞0，b＞0)，所以＝a－bi.因为＝5，z＋＝6，则所以z＝3＋4i.由复数除法运算化简可得＝＝＝－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.若复数z1，z2满足＝1，＝，则的最小值为_____. 6 由＝1可知，z1对应的点是在以A为圆心， 1为半径的圆上.由＝可知，z2对应的点在以 B，C为端点的线段BC的垂直平分线上， 也就是x轴上.的最小值为圆上一点与x轴上一点 的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)已知复数z1＝2－3i，z2＝. 求：(1)z1z2； 解：z2＝＝＝＝＝1－3i， 则：z1z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2). 解：z2＝＝＝＝＝1－3i， 则：＝＝＝＝＋i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)已知复数z1满足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R，若｜z1－｜＜｜z1｜，求实数a的取值范围. 解：由题意，得z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，＝a－2＋i， 所以｜z1－｜＝｜(2＋3i)－(a－2＋i)｜＝｜4－a＋2i｜＝，｜z1｜＝. 又因为｜z1－｜＜｜z1｜，所以＜， 所以a2－8a＋7＜0，解得1＜a＜7. 所以实数a的取值范围是(1，7). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)已知复数z1＝4＋mi(m∈R)，且z1·(1－2i)为纯虚数. (1)求复数z1； 解：由z1＝4＋mi(m∈R)，所以(4＋mi)·(1－2i)＝4＋2m＋(m－8)i. 又z1·(1－2i)为纯虚数，所以 解得m＝－2，所以复数z1＝4－2i. (2)若z2＝，求复数及. 解：由(1)知＝4＋2i，所以z2＝＝＝＝－1＋2i. 故＝－1－2i，＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)已知关于x的实系数一元二次方程x2＋mx＋9＝0. (1)若复数z是该方程的一个虚根，且＋＝4－2i，求m的值； 解：因为＝z·＝9，所以＝3， 因为＋＝4－2i，所以＝1－2i，所以z＝1＋2i， 由韦达定理可得－m＝z＋＝2，所以m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)记方程的两根为x1和x2，若＝2，求m的值. 解：若方程的两根为实数根，则＝＝＝2，解得m＝±4. 若方程的两根为虚数根，则设x1＝a＋bi，x2＝a－bi，a，b∈R，可得＝＝2，则x1＝a＋i，x2＝a－i，x1x2＝a2＋3＝9，所以a2＝6，所以a＝±. 由韦达定理可得－m＝x1＋x2＝±2，所以m＝±2，此时Δ＝m2－36＜0，满足题意. 综上，m＝±2或±4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)设虚数z1，z2满足＝z2. (1)若z1，z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1，z2； 解：设z1＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi. 又z1，z2是虚数，即有ab≠0. 因为z1，z2是一个实系数一元二次方程的两个根，则z1，z2互为共轭复数，因此解得a＝－，b＝±. 所以z1＝－－i，z2＝－＋i或z1＝－＋i，z2＝－－i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)把(1)中虚部大于零的根记作ω，对任意整数m，计算ωm＋ωm＋1＋ωm＋2； 解：由(1)知，ω＝－＋i，则1＋ω＋ω2＝1＋ω(1＋ω)＝1＋(－＋i)(＋i)＝1－1＝0，对任意整数m，ωm＋ωm＋1＋ωm＋2＝ωm(1＋ω＋ω2)＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若z1＝1＋ki(i为虚数单位，k为实数)，≤，复数λ＝z2＋3，求的取值范围. 解：由z1＝1＋ki知k∈R，k≠0，又≤，即1＜1＋k2≤2，则0＜k2≤1. 所以λ＝z2＋3＝＋3＝(1＋ki)2＋3＝4－k2＋2ki，所以｜λ｜＝＝∈[，4). 所以｜λ｜的取值范围为[，4). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 复 数 返回 $